2019届二轮（理科数学）　数学归纳法课件（23张）（全国通用） 23页

第5节　数学归纳法 内容简介 (1)归纳法是由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法.归纳法分为不完全归纳法与完全归纳法; (2)数学归纳法是一种证明方法,数学归纳法适用的范围:用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明; (3)数学归纳法步骤包括:两步,一结论.具体步骤:①证明n取第一个允许值n 0 时结论成立;②假设n=k(k≥n 0 且k∈ N )时结论正确,证明n=k+1时结论也成立.然后由两步作一个结论性总结. 【 注意 】 数学归纳法的两个基本步骤 : 第一步验证初始值成立 , 它是归纳的基础 , 但要注意初始值不一定是 1. 第二步是利用归纳假设进行归纳论证 , 是数学归纳法的核心 ; 两个步骤缺一不可 . 知识梳理 例题精讲 课前检测 知识梳理 用数学归纳法证题的一般步骤 设P(n)是关于正整数n的命题.如果: (1)当n=n 0 时,命题成立(即P(n 0 )真). (2)假设当n=k(k≥n 0 ,k∈ N * )时命题成立(即P(k)真),证明n=k+1时命题也成立(即P(k+1)也真). 根据(1),(2)可断定对一切n≥n 0 (n∈ N * )命题P(n)都成立. 课前检测 4. 用数学归纳法证明等式 1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1) 时 , 当 n=1 时左边表达式是 　　　　 ; 从 k→k+1 需增添的项是 　　　　　　　　 .  解析 : 因为用数学归纳法证明等式 1+2+3+ … +(2n+1)=(n+1)(2n+1), 当 n=1 时左边表达式是 1+2+3; 从 k→k+1 需增添的项是 (2k+2)+(2k+3) 答案 : 1+2+3 　 (2k+2)+(2k+3) 5.用数学归纳法证明 “ 1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 = n(n+1)(2n+1)(n∈ N * ) ” ,当n=k+1时,应在n=k时的等式左边添加的项是 　　　　　　　　　 .   解析: [1 2 +2 2 + … +k 2 +(k+1) 2 ]-(1 2 +2 2 + … +k 2 )=(k+1) 2 . 答案: (k+1) 2 例题精讲 考点一 证明代数和三角等式 【 例 1】 用数学归纳法证明 : 1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+(n-1)·2+n·1= n(n+1)(n+2). 考点二 证明整除性与几何命题 【 例 2】 用数学归纳法证明 :(3n+1) · 7 n -1 能被 9 整除 .(n∈ N * ) 证明: (1)当n=1时,原式=(3×1+1) · 7-1=27能被9整除,命题成立. (2) 假设当 n=k 时 ,(3k+1) · 7 k -1 能被 9 整除 , 则当 n=k+1 时 , [3(k+1)+1] · 7 k+1 -1=[21(k+1)+7] · 7 k -1=[(3k+1)+(18k+27)] · 7 k -1 =[(3k+1) · 7 k -1]+9(2k+3) · 7 k . 因为 [(3k+1) · 7 k -1] 和 9(2k+3) · 7 k 都能被 9 整除 , 所以 [(3k+1) · 7 k -1]+9(2k+3) · 7 k 能被 9 整除 , 即当 n=k+1 时 , 命题成立 . 由 (1)(2) 可知 , 对任何 n∈ N * , 命题都成立 . 变式 : 是否存在正整数 m 使得 f(n)=(2n+7)·3 n +9 对任意自然数 n 都能被 m 整除 , 若存在 , 求出最大的 m 的值 , 并证明你的结论 . 若不存在说明理由 . 解 : 由 f(n)=(2n+7) · 3 n +9f(1)=36,f(2)=3×36,f(3)=10×36,f(4)=34×36, 由此猜想 m=36. 下面用数学归纳法证明 (1) 当 n=1 时 , 显然成立 . (2) 假设 n=k 时 ,f(k) 能被 36 整除 , 即 f(k)=(2k+7) · 3 k +9 能被 36 整除 ; 当 n=k+1 时 ,[2(k+1)+7] · 3 k+1 +9=3[(2k+7) · 3 k +9]+18(3 k-1 -1) 由于 3 k-1 -1 是 2 的倍数 , 故 18(3 k-1 -1) 能被 36 整除 , 这就说 , 当 n=k+1 时 ,f(n) 也能被 36 整除 . 由 (1)(2) 可知对一切正整数 n 都有 f(n)=(2n+7) · 3 n +9 能被 36 整除 , 即 m 最大值为 36. 考点三 “ 观察 — 归纳 — 猜想 — 证明 ” 【 例 3】 数列 {a n } 的前 n 项的和 S n 与 a n 满足 :S n =1-na n (n∈ N * ), 试求 {a n } 的通项公式 . 变式: 是否存在常数a,b,c,使等式1·2 2 +2·3 2 +…+n(n+1) 2 = (an 2 +bn+c)对一切正整数n都成立?证明你的结论. 下面用数学归纳法证明 : (1) 当 n=1 时 , 由上面的探求可知等式成立 ; 考点四 证明不等式 点击进入 课时训练