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  • 2021-06-16 发布

【数学】2020届数学(理)一轮复习人教A版第23讲正弦定理和余弦定理学案

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第23讲 正弦定理和余弦定理 ‎1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 公式 asinA‎=     =     =2R(其中R是△ABC的外接圆的半径) ‎ a2=       , ‎ b2=       , ‎ c2=       ‎ 定理 的变 形 a=2Rsin A,b=     ,c=     ,a∶b∶c= ‎ ‎              ‎ cos A=     , ‎ cos B=     , ‎ cos C=     ‎ ‎2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:‎ A为锐角 A为钝角 或直角 图形 关系式 a=bsin A bsin Ab 解的个数 ‎    ‎ ‎    ‎ ‎    ‎ ‎    ‎ ‎3.三角形面积公式 ‎(1)S=‎1‎‎2‎ah(h表示边a上的高);‎ ‎(2)S=‎1‎‎2‎bcsin A=‎1‎‎2‎acsin B=‎1‎‎2‎absin C;‎ ‎(3)S=‎1‎‎2‎r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).‎ 常用结论 ‎1.三角形内角和定理:在△ABC中,A+B+C=π;‎ 变形:A+B‎2‎=π‎2‎-C‎2‎.‎ ‎2.三角形中的三角函数关系:‎ ‎(1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C;‎ ‎(3)sin A+B‎2‎=cos C‎2‎;(4)cos A+B‎2‎=sin C‎2‎.‎ ‎3.三角形中的射影定理 在△ABC中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B.‎ 题组一 常识题 ‎1.[教材改编] 在△ABC中,B=45°,C=60°,c=2,则最短边的边长等于    . ‎ ‎2.[教材改编] 在△ABC中,已知a=5,b=2‎3‎,C=30°,则c=    . ‎ ‎3.[教材改编] 在△ABC中,已知a2-c2+b2=ab,则C等于    . ‎ ‎4.[教材改编] 在△ABC中,已知a=3‎2‎,b=2‎3‎,cos C=‎1‎‎3‎,则△ABC的面积为    . ‎ 题组二 常错题 ‎◆索引:在△ABC中角与角的正弦的关系弄错;利用正弦定理求角时解的个数弄错;余弦定理、面积公式中边与角的三角函数的对应 关系弄错;三角形中的三角函数关系弄错.‎ ‎5.在△ABC中,若sin A=sin B,则A,B的关系为    ;若sin A>sin B,则A,B的关系为    . ‎ ‎6.在△ABC中,若A=60°,a=4‎3‎,b=4‎2‎,则B等于    . ‎ ‎7.在△ABC中,a=2,b=3,C=60°,则c=    ,△ABC的面积等于    . ‎ ‎8.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若ccos A=b,则△ABC为    三角形. ‎ 探究点一 利用正弦、余弦定理解三角形 例1 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=‎3‎,且b2+c2=3+bc.‎ ‎                  ‎ ‎(1)求角A的大小;‎ ‎(2)求bsin C的最大值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎[总结反思] (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素;(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系;(3)涉及最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解.‎ 变式题 (1)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2‎3‎,c=2‎2‎,1+tanAtanB=‎2cb,则C= (  )‎ A.π‎6‎ B.‎π‎4‎ C.π‎4‎或‎3π‎4‎ D.‎π‎3‎ ‎(2)[2018·衡水中学月考] 已知△ABC满足BC·AC=2‎2‎,若C=‎3π‎4‎,sinAsinB=‎1‎‎2cos(A+B)‎,则AB=    . ‎ 探究点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 例2 已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc.若sin B·sin C=sin2A,则△ABC的形状是 (  )‎ A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎[总结反思] 判断三角形的形状主要从两个角度考虑:(1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;(2)化角:通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.‎ 变式题 在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若tanAtanB=a‎2‎b‎2‎,则△ABC是 (  )‎ A.直角三角形 ‎ B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 ‎ D.直角三角形或等腰三角形 探究点三 与三角形面积有关的问题 例3 [2018·洛阳三模] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c且bsin B+(c-b)sin C=asin A.‎ ‎(1)求角A的大小;‎ ‎(2)若sin Bsin C=‎3‎‎8‎,且△ABC的面积为2‎3‎,求a.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ [总结反思] (1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值),一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积,再代入公式求解;(2)若已知三边,可先求一个角的余弦值,再求正弦值,最后代入公式得面积;(3)若求面积的最值,一般表示为一个内角的三角函数,利用三角函数的性质求解,也可结合基本不等式求解.‎ 变式题 [2018·黄冈中学月考] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足bc=1,a2-bc=(b-c)2.‎ ‎(1)求△ABC的面积;‎ ‎(2)若cos Bcos C=‎1‎‎4‎,求△ABC的周长.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 第23讲 正弦定理和余弦定理 考试说明 1.通过对任意三角形边长和角度的探索,掌握正弦定理、余弦定理.‎ ‎2.能利用正弦定理和余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.‎ ‎【课前双基巩固】‎ 知识聚焦 ‎1.bsinB csinC b2+c2-2bccos A c2+a2-2accos B a2+b2-2abcos C 2Rsin B 2Rsin C sin A∶sin B∶sin C b‎2‎‎+c‎2‎-‎a‎2‎‎2bc a‎2‎‎+c‎2‎-‎b‎2‎‎2ca ‎a‎2‎‎+b‎2‎-‎c‎2‎‎2ab ‎2.一解 两解 一解 一解 对点演练 ‎1.‎2‎‎6‎‎3‎ [解析] 易知A=75°,角B最小,所以边b最短.由正弦定理bsinB=csinC,得bsin45°‎=‎2‎sin60°‎,解得b=‎2‎‎6‎‎3‎.‎ ‎2.‎7‎ [解析] 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=52+(2‎3‎)2-2×5×2‎3‎cos 30°=7,所以c=‎7‎.‎ ‎3.60° [解析] 因为cos C=a‎2‎‎+b‎2‎-‎c‎2‎‎2ab=‎1‎‎2‎,所以C=60°.‎ ‎4.4‎3‎ [解析] 因为sin C=‎1-cos‎2‎C=‎2‎‎2‎‎3‎,所以△ABC的面积S=‎1‎‎2‎absin C=4‎3‎.‎ ‎5.A=B A>B [解析] 根据正弦定理知,在△ABC中有sin A=sin B⇔a=b⇔A=B,sin A>sin B⇔a>b⇔A>B.‎ ‎6.45° [解析] 由正弦定理知asinA=bsinB,则sin B=bsinAa=‎4‎2‎×‎‎3‎‎2‎‎4‎‎3‎=‎2‎‎2‎.又a>b,所以A>B,所以B为锐角,故B=45°.‎ ‎7.‎7‎ ‎3‎‎3‎‎2‎ [解析] 易知c=‎4+9-2×2×3×‎‎1‎‎2‎=‎7‎,△ABC的面积等于‎1‎‎2‎×2×3×‎3‎‎2‎=‎3‎‎3‎‎2‎.‎ ‎8.直角 [解析] ∵ccos A=b,∴由正弦定理得sin Ccos A=sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,‎ 整理得sin Acos C=0,‎ ‎∵sin A≠0,‎ ‎∴cos C=0,即C=90°,则△ABC为直角三角形. ‎ ‎【课堂考点探究】‎ 例1 [思路点拨] (1)由余弦定理可得出;(2)用正弦定理将bsin C表示为关于C的三角函数,再结合C的取值范围求最大值.‎ 解:(1)由a=‎3‎,b2+c2=3+bc,得b‎2‎‎+c‎2‎-‎a‎2‎‎2bc=‎3+bc-‎a‎2‎‎2bc=‎1‎‎2‎,‎ 即cos A=‎1‎‎2‎,又∵A∈(0,π),∴A=π‎3‎.‎ ‎(2)由正弦定理,得b=asinAsin B=2sin B,‎ ‎∴bsin C=2sin Csin B=2sin Csin‎2π‎3‎‎-C=2sin C‎1‎‎2‎sinC+‎3‎‎2‎cosC=sin2C+‎3‎sin Ccos C=‎3‎‎2‎sin 2C-‎1‎‎2‎cos 2C+‎1‎‎2‎=sin‎2C-‎π‎6‎+‎1‎‎2‎.∵0