2020学年高一数学下册期末基本不等式知识梳理 6页

高一数学下学期期末备考基本不等式知识点 知识点总结： 1．重要不等式 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)(当且仅当 a＝b 时等号成立)． 2．基本不等式 ab ≤ a＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时等号成立； (3)其中 a＋b 2 叫做正数 a，b 的算术平均数， ab叫做正数 a，b 的几何平均数. 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果 x，y∈(0，＋∞)，且 xy＝P(定值)， 那么当 x＝y 时，x＋y 有最小值 2 P(简记：“积定和最小”)． (2)如果 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝S(定值)， 那么当 x＝y 时，xy 有最大值 S2 4 (简记：“和定积最大”)． 4．常用的几个重要不等式 (1)a＋b≥2 ab(a>0，b>0)． (2)ab≤ a＋b 2 2(a，b∈R)． (3) a＋b 2 2≤ a2＋b2 2 (a，b∈R)． (4) b a ＋ a b ≥2(a，b 同号)． 以上不等式等号成立的条件均为 a＝b． 5、利用基本不等式求最值问题的解题策略 (1)利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所 谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相 等”是指满足等号成立的条件． (2)在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数 的形式，然后再利用基本(均值)不等式． (3)“当且仅当 a＝b 时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至 关重要，忽略它往往会导致解题错误． (4)要多次运用基本不等式才能求出最后结果的题目切记等号成立的条件要一致． (5)注意基本不等式成立的条件是 a>0，b>0，若 a<0，b<0，应先转化为－a>0，－b>0， 再运用基本不等式求解． 考点练习 考点一、通过配凑法求最值 例 1、若函数 f(x)＝x＋ 1 x－2 (x>2)在 x＝a 处取得最小值，则 a 等于( ) A．1＋ 2 B．1＋ 3 C．3 D．4 【答案】C [∵x>2，∴x－2>0，∴f(x)＝x＋ 1 x－2 ＝(x－2)＋ 1 x－2 ＋2≥2· x－2· 1 x－2 ＋2＝2＋2＝4， 当且仅当 x－2＝ 1 x－2 ，即(x－2)2＝1 时等号成立， 解得 x＝1 或 3. 又∵x>2，∴x＝3，即 a 等于 3 时，函数 f(x)在 x＝3 处取得最小值．] 练习、(2019·山东济宁月考)已知 00，则 f(x)＝4x－2＋ 1 4x－5 ＝－ 5－4x＋ 1 5－4x ＋3 ≤－2＋3＝1. 当且仅当 5－4x＝ 1 5－4x ，即 x＝1 时，等号成立．故 f(x)＝4x－2＋ 1 4x－5 的最 大值为 1.] 考点二、通过常数代换法利用基本(均值)不等式求最值 例 2、(2019·山东聊城检测)已知 a>0，b>0，且 2a＋b＝4，则 1 ab 的最小值为( ) A． 1 4 B．4 C． 1 2 D．2 【答案】C [∵a>0，b>0，∴4＝2a＋b≥2 2ab，∴ab≤2，∴ 1 ab ≥ 1 2 ，等号在 a＝1，b ＝2 时成立．] 练习、已知 a＞0，b＞0，a＋b＝1，则 1 a ＋ 1 b 的最小值为________. 【答案】4 [∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴ 1 a ＋ 1 b ＝ a＋b a ＋ a＋b b ＝2＋ b a ＋ a b ≥2＋2 b a · a b ＝4，即 1 a ＋ 1 b 的最小值为 4，当且仅当 a＝b＝ 1 2 时等号成立．] 考点三、通过消元法利用基本(均值)不等式求最值 例 3、已知正实数 x，y 满足 xy＋2x＋y＝4，则 x＋y 的最小值为________. 【答案】2 6－3 [因为 xy＋2x＋y＝4，所以 x＝ 4－y y＋2 . 由 x＝ 4－y y＋2 >0，得－20，则 0