【数学】2019届一轮复习人教A版数列的概念与简单表示法学案 16页

第1讲　数列的概念与简单表示法 板块一　知识梳理·自主学习 ‎[必备知识]‎ 考点1　数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．‎ 考点2　数列的分类 考点3　数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．‎ 考点4　数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．‎ ‎[必会结论]‎ ‎1．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，‎ 则an＝ ‎2．在数列{an}中，若an最大，则 若an最小，则 ‎3．数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．‎ ‎[考点自测]　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(　　)‎ ‎(2)数列：1,0,1,0,1,0，…，通项公式只能是an＝.(　　)‎ ‎(3)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　)‎ ‎(4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．(　　)‎ 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2．[课本改编]数列1，，，，，…的一个通项公式an是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　由已知得，数列可写成，，，…，故该数列的一个通项公式为 .故选B.‎ ‎3．[课本改编]在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则的值是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，∴‎2a3＝2＋(－1)3，a3＝，∴a4＝＋(－1)4，a4＝3，∴‎3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝，∴＝×＝.故选C.‎ ‎4．已知f(1)＝3，f(n＋1)＝(n∈N*)．则f(4)＝________.‎ 答案　 解析　由f(1)＝3，得f(2)＝2，f(3)＝，f(4)＝.‎ ‎5．[2018·山东师大附中月考]已知数列{an}的前n项和Sn＝，则a5＋a6＝________.‎ 答案　 解析　a5＋a6＝S6－S4＝－＝－＝.‎ ‎6．[课本改编]在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋，则数列an＝________.‎ 答案　3－ 解析　由题意，得an＋1－an＝＝－，‎ an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1‎ ‎＝＋＋…＋＋＋2＝3－.‎ 板块二　典例探究·考向突破 考向　由数列的前几项求数列的通项公式　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 例1　写出下面各数列的一个通项公式：‎ ‎(1)－1,7，－13,19，…；‎ ‎(2)，1，，，…；‎ ‎(3)，，－，，－，，…；‎ ‎(4)1,3,6,10,15，…；‎ ‎(5)3,33,333,3333，….‎ 解　(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．‎ ‎(2)将数列统一为，，，，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，因此可得它的一个通项公式为an＝.‎ ‎(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－，原数列可化为－，，－，，…，‎ 所以an＝(－1)n·.‎ ‎(4)将数列改写为，，，，，…，因而有an＝‎ eq f(n(n＋1),2)，也可用逐差法a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，各式累加得an＝.‎ ‎(5)将数列各项改写为，，，，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以an＝(10n－1)．‎ 触类旁通 观察法求通项公式的常用技巧 求数列的通项公式实际上是寻找数列的第n项与序号n之间的关系，常用技巧有：(1)借助于(－1)n或(－1)n＋1来解决项的符号问题；(2)项为分数的数列，可进行恰当的变形，寻找分子、分母各自的规律以及分子、分母间的关系；(3)对较复杂的数列的通项公式的探求，可采用添项、还原、分割等方法，转化为熟知的数列，如等差数列、等比数列等来解决．‎ 考向　由an与Sn的关系求通项an　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 例2　(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝________.‎ 答案　4n－5‎ 解析　a1＝S1＝2－3＝－1，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，‎ 由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.‎ ‎(2)设Sn为数列{an}的前n项的和，且Sn＝(an－1)(n∈N*)，则an＝________.‎ 答案　3n 解析　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，整理，得an＝3an－1，即＝3，又a1＝3，∴数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴an＝3n.‎ ‎(3)已知数列{an}，满足a1＋‎2a2＋‎3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________.‎ 答案　 解析　当n＝1时，由已知，可得a1＝21＝2，‎ 当n≥2时，a1＋‎2a2＋‎3a3＋…＋nan＝2n，　①‎ 故a1＋‎2a2＋‎3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1，　②‎ 由①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1，∴an＝.‎ 显然n＝1时不满足上式，∴an＝ 触类旁通 给出Sn与an的递推关系，求an的常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.‎ ‎【变式训练】　(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________.‎ 答案　 解析　当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1.‎ 当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，‎ 所以an＝ ‎(2)[2018·广州模拟]设数列{an}满足a1＋‎3a2＋‎32a3＋…＋3n－1an＝，则an＝________.‎ 答案　 解析　因为a1＋‎3a2＋‎32a3＋…＋3n－1an＝，①‎ 则当n≥2时，‎ a1＋‎3a2＋‎32a3＋…＋3n－2an－1＝，②‎ ‎①－②得3n－1an＝，所以an＝(n≥2)．‎ 由题意知a1＝，符合上式，所以an＝.‎ ‎(3)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝________.‎ 答案　n－1‎ 解析　由已知Sn＝2an＋1，得Sn＝2(Sn＋1－Sn)，‎ 即2Sn＋1＝3Sn，＝，而S1＝a1＝1，‎ 所以Sn＝n－1.‎ 考向　由递推公式求数列的通项公式　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 命题角度1　形如an＋1＝anf(n)，求an 例3　在数列{an}中，a1＝4，nan＋1＝(n＋2)an，求数列{an}的通项公式．‎ 解　由递推关系得＝，‎ 又a1＝4，‎ ‎∴an＝··…···a1＝···…···4＝·4＝2n(n＋1)(n∈N*)．‎ 命题角度2　形如an＋1＝an＋f(n)，求an 例　4　(1)[2015·江苏高考]设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，求数列前10项的和．‎ 解　由题意可得，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋3＋…＋n＝，则＝＝2，数列的前10项的和为＋＋…＋＝2＝.‎ ‎(2)若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋2n，求数列{an}的通项公式．‎ 解　由题意知an＋1－an＝2n，‎ an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1.‎ 命题角度3　形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an 例5　已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求an.‎ 解　设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，解得t＝－3.‎ 故递推公式为an＋1＋3＝2(an＋3)．‎ 令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且＝＝2.‎ 所以{bn}是以b1＝4为首项，2为公比的等比数列．‎ 所以bn＝4×2n－1＝2n＋1，即an＝2n＋1－3.‎ 命题角度4　形如an＋1＝(A，B，C为常数)，求an 例6　已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，求数列{an}的通项公式．‎ 解　∵an＋1＝，a1＝1，∴an≠0，‎ ‎∴＝＋，即－＝，又a1＝1，则＝1，‎ ‎∴是以1为首项，为公差的等差数列，‎ ‎∴＝＋(n－1)×＝，∴an＝(n∈N*)．‎ 触类旁通 由递推关系式求通项公式的常用方法 ‎(1)已知a1且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.‎ ‎(2)已知a1且＝f(n)，可用“累乘法”求an.‎ ‎(3)已知a1且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{an＋k}．‎ ‎(4)形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．‎ 核心规律 已知递推关系求通项，一般有以下方法：‎ ‎(1)算出前几项，再归纳、猜想；‎ ‎(2)累加法、累乘法、待定系数法．‎ 满分策略 ‎1.数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列an＝f(n)和函数y＝f(x)的单调性是不同的．‎ ‎2.数列的通项公式不一定唯一．‎ ‎3.在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形.‎ 板块三　启智培优·破译高考 数学思想系列 6——用函数思想解决数列的单调性问题 ‎[2018·南京段考]数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.‎ ‎(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值．‎ ‎(2)对于n∈N*，都有an＋1>an.求实数k的取值范围．‎ 解题视点　(1)求使an<0的n值；从二次函数看an的最小值．(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f(n)＝n2＋kn＋4.f(n)在N*上单调递增，可利用二次函数的对称轴研究单调性，但应注意数列通项中n的取值．‎ 解　(1)由n2－5n＋4<0，解得1an知该数列是一个递增数列，‎ 又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，‎ 可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，‎ 所以－<，即得k>－3.‎ 答题启示　(1)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取.,(2)本题易错答案为k>－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 跟踪训练 已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)．‎ ‎(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；‎ ‎(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．‎ 解　(1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，‎ 又∵a＝－7，∴an＝1＋.‎ 结合函数f(x)＝1＋的单调性，可知1>a1>a2>a3>a4，‎ a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*)．‎ ‎∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.‎ ‎(2)an＝1＋＝1＋.‎ ‎∵对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，‎ 结合函数f(x)＝1＋的单调性，‎ 知5<<6，∴－10