【数学】2020届一轮复习人教A版 复杂的排列组合问题 学案 7页

‎ 专题九 计数原理 问题一：复杂的排列组合问题 一、考情分析 高考对这部分的要求还是比较高的.考查两个计数原理、排列、组合在解决实际问题上的应用.值得提醒地是：计数模型不一定是排列或组合.画一画,数一数,算一算,是基本的计数方法,不可废弃. ‎ 二、经验分享 ‎1.排列应用问题的分类与解法 ‎(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．‎ ‎(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.‎ ‎2.组合问题常有以下两类题型变化 ‎(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．-‎ ‎(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．‎ ‎3.排列与组合综合问题的常见类型及解题策略 ‎(1)相邻问题捆绑法．在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列．‎ ‎(2)相间问题插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用．‎ ‎(3)特殊元素(位置)优先安排法．优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置．‎ ‎(4)多元问题分类法．将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类加法计数原理求出排列总数．‎ 三、知识拓展 ‎1.‎ 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置．首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类．‎ ‎2.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．‎ ‎3.解排列、组合问题的基本原则：特殊优先，先分组再分解，先取后排；较复杂问题可采用间接法，转化为求它的对立事件．‎ ‎4.解决排列组合综合性问题的一般过程如下:‎ ‎1.认真审题弄清要做什么事 ‎2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类.‎ ‎3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.‎ 解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略 解排列（或）组合问题,应按元素的性质进行分类,分类标准明确,不重不漏；按事情的发生的连续过程分步,做到分步层次清楚.‎ 四、题型分析 ‎(一)“相邻”与“不相邻”问题 ‎【例1】甲、乙、丙、丁四名同排成一排,分别计算满足下列条件的排法种数：‎ ‎（1）甲不在排头、乙不在排尾；‎ ‎（2）甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位；‎ ‎（3）甲一定在乙的右端(可以不相邻)．‎ ‎【点评】‎ 对于相邻问题,可以先将要求相邻的元素作为一个元素与其他元素进行排列,同时要考虑相邻元素的内部是否需要排列,这种方法称为“捆绑法”；对于不相邻的元素,可先排其他元素,然后将这些要求不相邻的元素插入空当,这种方法称为“插空法”；对于“在”或者“不在”的排列问题的计算方法主要有：位置优先法、元素优先法、间接计算法．‎ ‎【小试牛刀】【山西大附属中2017级上期11月模块诊断】已知身穿红,黄两种颜色衣服的各两人,身穿蓝衣服的有1人,现将五人排成一列,要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法有（ ）‎ A. 72种 B. 78种 C. 48种 D. 84种 ‎【答案】C ‎【解析】方法一： 方法二：a,a,c c,a,a, , a,c,a ,故共有选C.‎ ‎(二)涂色问题 ‎ ‎【例2】如图,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数有________.‎ ‎【分析】由于区域1,2,3与区域4相邻,由条件宜采用分步处理,又相邻区域不同色,因此应按区域1和区域3是否同色分类求解．‎ ‎【点评】（1）解决涂色问题,一定要分清所给的颜色是否用完,并选择恰当的涂色顺序．‎ ‎（2）切实选择好分类标准,分清哪些可以同色,哪些不同色．‎ ‎【小试牛刀】【河南省天一大联考2017届高三上期阶段性测试】如图,图案共分9个区域,有6种不同颜色的涂料可供涂色,每个区域只能涂一种颜色的涂料,‎ 其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色,且相邻区域的颜色不相同,则涂色方法有（ ）‎ A．360种 B．720种 C．780种 D．840种 ‎【答案】B ‎【解析】先排,有种方法,再排有种方法,故一共有种.‎ ‎(三)分配问题 ‎【例3】有6本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配方式？‎ ‎（1）分成每组都是2本的三组；‎ ‎（2）分给甲、乙、丙三人,每人2本．‎ ‎【分析】（1）组合知识及分步计数原理求解；（2）均匀分组问题.‎ ‎【点评】不同元素的分配问题,往往是先分组再分配．在分组时,通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组,注意各种分组类型中,不同分组方法的求法．‎ ‎【小试牛刀】【2017届广东七校联合体高三上期联考二】把四件玩具分给三个小朋友,每位小朋友至少分到一件玩具,且两件玩具不能分给同一个人,则不同的分法有（ ）‎ A．36种 B．30种 C．24种 D．18种 ‎【答案】B ‎【解析】分两步进行分析:先计算把四件玩具分给三个小朋友,每位小朋友至少分到一件玩具的分法数目:首先将件玩具分成组,其中组有件,剩余组各件,有种分组方法,再将这组对应三个小朋友,有种方法,则有种情况；‚计算两件玩具分给同一个人的分法数目,若两件玩具分给同一个人,则剩余的件玩具分给其他人,有种情况.综上可得,‎ 两件玩具不能分给同一个人的不同分法有种,故选B.‎ ‎(四)排数问题 ‎【例4】在某种信息传输过程中,用四个数字的一个排列（数字允许重复）表示以一个信息,不提排列表示不同信息. 若所有数字只有0,1,则与信息0110之多由四个相对应位置上数字相同的信息个数为（ ）‎ A. 9 B.10 C.11 D. 12‎ ‎【分析】信息0110是四个数字,此类“至多”、“至少”类型的问题,可以直接利用分类讨论求解,也可以转化为反面的问题,利用间接法求解.‎ ‎【解析一】（直接法）若0相同,只有1个；若1相同,共有个；若2相同,共有个,故共有个.‎ ‎【解析二】（间接法）若3个数字相同,共有个,若4个数字相同共4个,二不同排列个数为个,所以共有个.‎ ‎【点评】该题中要求的是“至多”有两个位置上数字相同,易出现的问题是分类混淆,漏掉各位数字信息均不同的情况,解决此类问题的关键是准确确定分类标准,分类计数时要做到不重不漏.‎ ‎【小试牛刀】【2016届湖南省长沙市雅礼中高三月考】用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有（ ）‎ A．144个 B．120个 C．96个 D．72个 ‎【答案】B ‎【解析】据题意,万位上只能排4、5．若万位上排4,则有个；若万位上排5,则有个．所以共有个．选B．‎ ‎(五)摸球问题 ‎【例5】【浙江温州市十校联合体2014届高三上期期初联考】将四个相同的红球和四个相同的黑球排成一排,然后从左至右依次给它们赋以编号l,2,…,8.则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有 种.‎ ‎【分析】注意到4个相同的红球没有区别,4个相同的黑球也没有区别,先求出任意排放的排法,编号相等的结果必有四组,其中每组一黑球一白球的编号和为9,则有,,,四种,红黑互换编号就有8种,因为红球的编号之和小于黑球编号之和的排法和大于的排法一样,则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有种.‎ ‎【解析】依题意,任意排放的排法,红球编号与黑球编号相等的情况有,,,四种,红黑互换编号就是8种,所以红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有种.‎ ‎【点评】要搞清组合与排列的区别与联系：组合与顺序无关,排列与顺序有关；排列可以分成先选取(组合)后排列两个步骤进行．‎ ‎【小试牛刀】四个不同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,则恰有一个空盒的放法共有 种（用数字作答）．‎ ‎【答案】42‎ ‎ ‎ ‎(六)“至多”、“至少”问题 ‎【例6】某医院有内医生12名,外医生8名,现选派5名参加赈灾医疗队,其中 ‎（1）甲、乙两人至少有一人参加,有多少种选法？‎ ‎（2）队中至少有一名内医生和一名外医生,有几种选法？‎ ‎【分析】“无序问题”用组合,注意分类处理．‎ ‎【解析】（1）分两类：甲、乙中有一人参加,甲、乙都参加,共有CC＋C＝6 936(种)；‎ ‎（2）方法一(直接法)：至少有一名内医生和一名外医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外,所以共有CC＋CC＋CC＋CC＝14 656(种)．‎ 方法二(间接法)：由总数中减去五名都是内医生和五名都是外医生的选法种数,得C－(C＋C)＝14 656(种)．‎ ‎【点评】 对于有条件的组合问题,可能遇到含某个(些)元素与不含某个(些)元素问题；也可能遇到“至多”或“至少”等组合问题的计算,此类问题要注意分类处理或间接计算,切记不要因为“先取再后取”产生顺序造成计算错误．选择恰当分类标准,避免重复遗漏,出现“至少、至多”型问题,注意间接法的运用．‎ ‎【小试牛刀】【江西省新余市第一中2017届高三上期调研考试】西部某县委将位大生志愿者(男女) 分成两组, 分配到两所小支教, 若要求女生不能单独成组, 且每组最多人, 则不同的分配方案共有（ ）‎ A．种 B．种 C．种 D．种 ‎【答案】C ‎【解析】分组的方案有3、4和2、5两类,第一类有种;第二类有种,所以共有N=68+36=104种不同的方案.‎ ‎(七)信息迁移题 ‎【例7】回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3 443,94 249等．显然2位回文数有9个：11,22,33,…,99.3位回文数有90个：101,111,121,…,191,202,…,999.(*)‎ 则：（1）4位回文数有________个；（2）2n＋1(n∈N*)位回文数有________个．(**)‎ ‎【分析】由(*)式,理解“特殊”背景——回文数的含义,借助计数原理计算．‎ 结合(**),可从2位回文数,3位回文数,4位回文数探索求解方法,从特殊到一般发现规律．‎ ‎【解析】（1）4位回文数相当于填4个方格,首尾相同,且不为0,共9种填法；中间两位一样,有10种填法．共计9×10＝90(种)填法,即4位回文数有90个．‎ ‎（2）根据回文数的定义,此问题也可以转化成填方格．由计数原理,共有9×10n种填空．‎ ‎【点评】 （1）一题两问,以“回文数”为新背景,考查计数原理,体现了化归思想,将确定回文数的问题转化为“填方格”问题,进而利用分步乘法计数原理解决,将新信息转化为所的数知识来解决．‎ ‎（2）从特殊情形入手,通过分析、归纳,发现问题中隐含的一些本质特征和规律,然后再推广到一般情形,必要时可以多列举一些特殊情形,使规律方法更加明确．‎ ‎【小试牛刀】【浙江省金华、丽水、衢州市十二校2017届高三8月联考数（理）试题】回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数,如2,11,242,6776,83238等,设位回文数个数为（为正整数）,如11是2位回文数,则下列说法正确的是（ ）‎ A. B. C. D.以上说法都不正确 ‎【答案】B.‎ ‎【解析】A：,故A错误；根据对称性可知,,故B正确,C,错误,故选 B.‎ 种情况.‎