【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版5-1平面向量的概念及线性运算学案 17页

‎§5.1　平面向量的概念及线性运算 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解向量的实际背景．‎ ‎2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．‎ ‎3.理解向量的几何表示．‎ ‎4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．‎ ‎5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．‎ ‎6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.‎ 主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理，常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现.‎ ‎1．向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)‎ 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量；其方向不确定 记作0‎ 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量(‎ 共线向量的方向相同或相反 ‎0与任一向量平行或共线 共线向量)‎ 相等向量 同向且等长的有向线段 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 ‎0的相反向量为0‎ ‎2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义)‎ 运算律 向量的加法 求两个向量和的运算 ‎(1)交换律：a＋b＝b＋a；‎ ‎(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)‎ 向量的减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 a－b＝a＋(－b)‎ 数乘向量 求实数λ与向量a的积的运算 ‎(1)|λa|＝|λ||a|；‎ ‎(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0‎ ‎(1)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(2)λ(μa)＝(λμ)a；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb ‎3.平行向量基本定理 如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a＝λb.‎ 概念方法微思考 ‎1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？‎ 提示　不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.‎ ‎2．如何理解数乘向量？‎ 提示　λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量，方向不确定．‎ ‎3．如何理解平行向量基本定理？‎ 提示　如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a＝λb.‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．(　√　)‎ ‎(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．(　√　)‎ ‎(3)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　×　)‎ ‎(4)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　×　)‎ ‎(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　√　)‎ ‎(6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(　×　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝________，＝________.(用a，b表示)‎ 答案　b－a　－a－b 解析　如图，＝＝－＝b－a，‎ ＝－＝－－＝－a－b.‎ ‎3．在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|－|，则四边形ABCD的形状为________．‎ 答案　矩形 解析　如图，因为＋＝，‎ －＝，‎ 所以||＝||.‎ 由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．‎ 题组三　易错自纠 ‎4．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)‎ A．充分不必要条件 ‎ B．必要不充分条件 C．充要条件 ‎ D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.‎ 若a∥b，则a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．‎ ‎5．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.‎ 答案　 解析　∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则解得λ＝μ＝.‎ ‎6．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．‎ 答案　 解析　＝＋＝＋ ‎＝＋(＋)＝－＋，‎ ‎∴λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.‎ 题型一　平面向量的概念 ‎1．给出下列命题：‎ ‎①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；‎ ‎②若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；‎ ‎③若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则ABCD为平行四边形；‎ ‎④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；‎ ‎⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．‎ 其中真命题的序号是________．‎ 答案　③‎ 解析　①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；‎ ‎②错误，若b＝0，则a与c不一定共线；‎ ‎③正确，因为＝，所以||＝||且∥；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；‎ ‎④错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；‎ ‎⑤错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．‎ 故填③.‎ ‎2．给出下列四个命题：‎ ‎①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|，其中正确命题的个数是(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 答案　A 解析　只有④正确．‎ 思维升华 向量有关概念的关键点 ‎(1)向量定义的关键是方向和长度．‎ ‎(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．‎ ‎(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．‎ ‎(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．‎ ‎(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．‎ 题型二　平面向量的线性运算 命题点1　向量加、减法的几何意义 例1 (2017·全国Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　)‎ A．a⊥b B．|a|＝|b|‎ C．a∥b D．|a|>|b|‎ 答案　A 解析　方法一　∵|a＋b|＝|a－b|，‎ ‎∴|a＋b|2＝|a－b|2.‎ ‎∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.‎ ‎∴a·b＝0.∴a⊥b.‎ 故选A.‎ 方法二　利用向量加法的平行四边形法则．‎ 在▱ABCD中，设＝a，＝b，‎ 由|a＋b|＝|a－b|知，||＝||，‎ 从而四边形ABCD为矩形，‎ 即AB⊥AD，故a⊥b.‎ 故选A.‎ 命题点2　向量的线性运算 例2 (1)(2019·包头模拟)在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设＝a，＝b，则向量等于(　　)‎ A.a＋b B．－a－b C．－a＋b D.a－b 答案　C 解析　＝＝(＋)＝＝－a＋b，故选C.‎ ‎(2)(2018·全国Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于(　　)‎ A.－ B.－ C.＋ D.＋ 答案　A 解析　作出示意图如图所示．‎ ＝＋＝＋ ‎＝×(＋)＋(－)‎ ‎＝－.‎ 故选A.‎ 命题点3　根据向量线性运算求参数 例3 在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若 ＝＋μ，则μ的取值范围是________．‎ 答案　 解析　由题意可求得AD＝1，CD＝，‎ ‎∴＝2.‎ ‎∵点E在线段CD上，‎ ‎∴＝λ(0≤λ≤1)．‎ ‎∵＝＋＝＋λ，‎ 又＝＋μ＝＋2μ，‎ ‎∴2μ＝λ，即μ＝.‎ ‎∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤.‎ 思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 ‎(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．‎ ‎(2)求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．‎ ‎(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．‎ 跟踪训练1 (1)在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且＝2，＝3，若＝a，＝b，则等于(　　)‎ A.a＋b B.a－b C．－a－b D．－a＋b 答案　C 解析　＝＋ ‎＝＋ ‎＝(－)－ ‎＝－－＝－a－b，故选C.‎ ‎(2)(2018·营口模拟)在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若＝x＋y(x，y∈R)，则x－y＝________.‎ 答案　2‎ 解析　由题意得＝＋＝＋，‎ ＝＋＝＋，‎ 因为＝x＋y，‎ 所以＝＋，‎ 所以解得 所以x－y＝2.‎ 题型三　平行向量基本定理的应用 例4 设两个非零向量a与b不共线．‎ ‎(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，‎ 求证：A，B，D三点共线；‎ ‎(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．‎ ‎(1)证明　∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，‎ ‎∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)‎ ‎＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5，‎ ‎∴，共线．‎ 又∵它们有公共点B，‎ ‎∴A，B，D三点共线．‎ ‎(2)解　假设ka＋b与a＋kb共线，‎ 则存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，‎ 即(k－λ)a＝(λk－1)b.‎ 又a，b是两个不共线的非零向量，‎ ‎∴k－λ＝λk－1＝0.‎ 消去λ，得k2－1＝0，∴k＝±1.‎ 引申探究　‎ ‎1．若将本例(1)中“＝2a＋8b”改为“＝a＋mb”，则m为何值时，A，B，D三点共线？‎ 解　＋＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b，‎ 即＝4a＋(m－3)b.‎ 若A，B，D三点共线，‎ 则存在实数λ，使＝λ.‎ 即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)．‎ 所以解得m＝7.‎ 故当m＝7时，A，B，D三点共线．‎ ‎2．若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？‎ 解　因为ka＋b与a＋kb反向共线，‎ 所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0)．‎ 所以所以k＝±1.‎ 又λ<0，k＝λ，‎ 所以k＝－1.‎ 故当k＝－1时两向量反向共线．‎ 思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．‎ ‎(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立；若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线．‎ 跟踪训练2 已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)．‎ ‎(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；‎ ‎(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.‎ 证明　(1)若m＋n＝1，‎ 则＝m＋(1－m)＝＋m(－)，‎ ‎∴－＝m(－)，‎ 即＝m，∴与共线．‎ 又∵与有公共点B，‎ 则A，P，B三点共线．‎ ‎(2)若A，P，B三点共线，‎ 则存在实数λ，使＝λ，‎ ‎∴－＝λ(－)．‎ 又＝m＋n.‎ 故有m＋(n－1)＝λ－λ，‎ 即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0.‎ ‎∵O，A，B不共线，∴，不共线，‎ ‎∴∴m＋n＝1.‎ ‎1．对于非零向量a，b，“a＋2b＝0”是“a∥b”的(　　)‎ A．充分不必要条件 ‎ B．必要不充分条件 C．充要条件 ‎ D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若a＋2b＝0，则a＝－2b，所以a∥b.‎ 若a∥b，则a＋2b＝0不一定成立，‎ 故前者是后者的充分不必要条件．‎ ‎2．已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则(　　)‎ A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 答案　B 解析　∵＝＋＝2a＋6b＝2，‎ ‎∴与共线，由于与有公共点B，‎ 因此A，B，D三点共线，故选B.‎ ‎3.如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC上的一个靠近点B的三等分点，那么等于(　　)‎ A.－ B.＋ C.＋ D.－ 答案　D 解析　在△CEF中，有＝＋.‎ 因为点E为DC的中点，所以＝.‎ 因为点F为BC上的一个靠近点B的三等分点，‎ 所以＝.‎ 所以＝＋＝＋ ‎＝－，故选D.‎ ‎4．(2018·锦州模拟)在△ABC中，点G满足＋＋＝0.若存在点O，使得＝，且＝m＋n，则m－n等于(　　)‎ A．2 B．－2 C．1 D．－1‎ 答案　D 解析　∵ ＋＋＝0，‎ ‎∴－＋－＋－＝0，‎ ‎∴＝＝ ‎＝，‎ 可得＝－－，‎ ‎∴m＝－，n＝－，m－n＝－1，故选D.‎ ‎5.如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则等于(　　)‎ A．a－b B.a－b C．a＋b D.a＋b 答案　D 解析　连接OC，OD，CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，‎ 可得∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，且△OAC和△OCD均为边长等于圆O半径的等边三角形，所以四边形OACD为菱形，所以＝＋＝＋＝a＋b，故选D.‎ ‎6.如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　注意到N，P，B三点共线，‎ 因此＝m＋＝m＋，‎ 从而m＋＝1，所以m＝.‎ ‎7．若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝________.‎ 答案　2 解析　因为||＝||＝|－|＝2，‎ 所以△ABC是边长为2的正三角形，‎ 所以|＋|为△ABC的边BC上的高的2倍，‎ 所以|＋|＝2.‎ ‎8．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________．‎ 答案　直角三角形 解析　因为＋－2＝－＋－ ‎＝＋，－＝＝－，‎ 所以|＋|＝|－|，‎ 即·＝0，‎ 故⊥，△ABC为直角三角形．‎ ‎9．若M是△ABC的边BC上的一点，且＝3，设＝λ＋μ，则λ的值为________．‎ 答案　 解析　由题设知＝3，过M作MN∥AC交AB于N，‎ 则＝＝＝，‎ 从而＝，‎ 又＝λ＋μ＝＋＝＋，‎ 所以λ＝.‎ ‎10．(2019·包头质检)已知e1，e2为平面内两个不共线的向量，＝2e1－3e2，＝λe1＋6e2，若M，N，P三点共线，则λ＝________.‎ 答案　－4‎ 解析　因为M，N，P三点共线，‎ 所以存在实数k使得＝k，‎ 所以2e1－3e2＝k(λe1＋6e2)，‎ 又e1，e2为平面内两个不共线的向量，‎ 可得解得λ＝－4.‎ ‎11．如图所示，设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，求△ABC与△AOC的面积之比．‎ 解　取AC的中点D，连接OD，‎ 则＋＝2，‎ ‎∴＝－，‎ ‎∴O是AC边上的中线BD的中点，‎ ‎∴S△ABC＝2S△OAC，‎ ‎∴△ABC与△AOC面积之比为2∶1.‎ ‎12.如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设＝a，＝b，试用a，b表示向量.‎ 解　方法一　由D，O，C三点共线，‎ 可设＝k1＝k1(－)＝k1 ‎＝－k1a＋k1b(k1为实数)，‎ 同理，可设＝k2＝k2(－)‎ ‎＝k2＝－k2a＋k2b(k2为实数)，①‎ 又＝＋＝－a＋ ‎＝－(1＋k1)a＋k1b，②‎ 所以由①②，得－k2a＋k2b＝－(1＋k1)a＋k1b，‎ 即(1＋k1－2k2)a＋b＝0.‎ 又a，b不共线，‎ 所以　解得 所以＝－a＋b.‎ 所以＝＋ ‎＝a＋＝(a＋b)．‎ 方法二　延长AO交BC于点E，O为△ABC的重心，则E为BC的中点，‎ 所以＝＝×(＋)＝(a＋b)．‎ ‎13．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于(　　)‎ A. B. C．1 D. 答案　A 解析　＝＋＝＋ ‎＝＋(＋)＝－，‎ 所以λ＝，μ＝－，故λ2＋μ2＝，故选A.‎ ‎14．A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若 ＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是(　　)‎ A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(1，] D．(－1,0)‎ 答案　B 解析　设＝m，则m>1，‎ 因为＝λ＋μ，‎ 所以m＝λ＋μ，‎ 即＝＋，又知A，B，D三点共线，‎ 所以＋＝1，即λ＋μ＝m，‎ 所以λ＋μ>1，故选B.‎ ‎15．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足＝，则点P一定为△ABC的(　　)‎ A．BC边中线的中点 B．BC边中线的三等分点(非重心)‎ C．重心 D．BC边的中点 答案　B 解析　设BC的中点为M，‎ 则＋＝，‎ ‎∴＝(＋2)＝＋，‎ 即3＝＋2，也就是＝2，‎ ‎∴P，M，A三点共线，‎ 且P是AM上靠近A点的一个三等分点．‎ ‎16．设W是由一平面内的n(n≥3)个向量组成的集合．若a∈W，且a的模不小于W中除a外的所有向量和的模．则称a是W的极大向量．有下列命题：‎ ‎①若W中每个向量的方向都相同，则W中必存在一个极大向量；‎ ‎②给定平面内两个不共线向量a，b，在该平面内总存在唯一的平面向量c＝－a－b，使得W ‎＝{a，b，c}中的每个元素都是极大向量；‎ ‎③若W1＝{a1，a2，a3}，W2＝{b1，b2，b3}中的每个元素都是极大向量，且W1，W2中无公共元素，则W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量．‎ 其中真命题的序号是________．‎ 答案　②③‎ 解析　①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由题意得a，b，c围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；③3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W1＝{a1，a2，a3}，W2＝{b1，b2，b3}中的每个元素都是极大向量时，W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量，故正确．‎