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- 2021-06-16 发布
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套用18个解题模板
模板一 函数值的求解
例1 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且是以2为周期的周期函数.当x∈[0,1)时, f(x)=2x-1,则f(lo6)的值是( )
A.- B.-5 C.- D.-6
答案 C
解析 因为-30,故排除D.(判别)
故选C.(得结论)
▲模板构建 由函数解析式判断函数图象问题的关键是:根据函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等,根据这些性质对函数图象进行具体分析判断.
其解题步骤为:
跟踪集训
2.函数f(x)=(x-1)ln|x|的图象为( )
模板三 求函数零点问题
例3 已知函数f(x)=x-ln x(x>0),则y=f(x)( )
A.在区间,(1,e)内均有零点
B.在区间,(1,e)内均无零点
C.在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点
D.在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点
答案 D
解析 当00, f(e)=-1=<0,(求值、定号)
根据函数零点存在性定理可知函数y=f(x)在区间(1,e)内有零点.
故选D.(下结论)
▲模板构建 求解函数零点的一般步骤:
跟踪集训
3.已知f(x)=则函数的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
模板四 已知函数零点个数求参数
例4 设f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x∈R,都有f(x+2)=f(x-2),且当x∈[-2,0]时, f(x)=-1,若在区间(-2,6]内关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)有3个不同的实数根,则a的取值范围是( )
A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,) D.(,2)
答案 D
解析 依题意,知f(x+4)=f[(x+2)+ 2]=f[(x+2)-2]=f(x),所以函数f(x)的一个周期为4.
再结合题意作出函数f(x)在区间(-2,6]上的图象,如图,
作出函数y=loga(x+2)(a>1)的图象,由题意,可知其与函数f(x)在(-2,6]上的图象有三个交点.(转化)
根据两个函数图象,可知必有即(列式)
解得0,ω>0的情况;( 3)将ωx+φ视为一个整体.解题步骤如下:
跟踪集训
5.已知函数f(x)=sin2x-sin2,x∈R.
(1)求f的值;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
模板六 边角互化解三角形
例6 △ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cos A=,B=A+.
(1)求b的值;
(2)求△ABC的面积.
解析 (1)在△ABC中,由题意知,sin A==,
因为B=A+,
所以sin B=sin=cos A=.(找条件)
由正弦定理,得b===3.(定理)
(2)由余弦定理得
cos A==(定理)
⇒c2-4c+9=0
⇒c1=,c2=3,
又因为B=A+为钝角,
所以b>c,则c=,
所以S△ABC=acsin B=.(得结果)
▲模板构建 解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则考虑两个定理都有可能用到.解题步骤为:
跟踪集训
6.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=,b=2,asin B=bcos A.求△ABC的面积.
模板七 一元二次不等式的解法
例7 已知不等式x2+ax+b>0的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞),解不等式bx2-ax+1<0.
解析 因为不等式x2+ax+b>0的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞),
所以-1,3为方程x2+ax+b=0的两根,(转化)
由根与系数之间的关系得解得(求系数)
所以不等式bx2-ax+1<0为-3x2+2x+1<0,即3x2-2x-1>0.(定系数)
方程3x2-2x-1=0即(3x+1)(x-1)=0的两根为1,-.(解方程)
所以3x2-2x-1>0的解集为∪(1,+∞),
即原不等式的解集为∪(1,+∞).(写解集)
▲模板构建 求根法解一元二次不等式的实质就是利用相对应的二次函数的图象及其性质,根据函数图象的开口方向与函数零点的分布,直接写出不等式的解集.解题步骤为:
跟踪集训
7.已知不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|-1,所以4x-2>0,且×(4x-2)=2,(找定值)
由基本不等式可得+(4x-2)+2≥2+2=2+2.
即函数的最小值为2+2.(求最值)
▲模板构建 拼凑法的关键在于对函数解析式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解函数最值的步骤如下:
跟踪集训
8.若a>0,b>0,lg a+lg b=lg(a+b),则a+b的最小值为( )
A.8 B.6 C.4 D.2
模板九 不等式恒(能)成立问题
例9 已知x>0,y>0,且+=1,若x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围为 .
答案 (-4,2)
解析 记t=x+2y,由不等式恒成立可得m2+2m0,y>0,所以+≥2=4当且仅当=,即x=2y时等号成立.
所以t=4++≥4+4=8,即tmin=8.(求最值)
故m2+2m<8,即(m-2)(m+4)<0,(建关系)
解得-4b>0)的离心率为,且点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆E:+=1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.
(i)求的值;
(ii)求△ABQ面积的最大值.
解析 (1)由题意知+=1,又=,解得a2=4,b2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)由(1)知椭圆E的方程为+=1.
(i)设P(x0,y0),=λ(λ>0),
由题意知Q(-λx0,-λy0).
因为+=1,
又+=1,即=1,
所以λ=2或λ=-2(舍去),即=2.
(ii)设A(x1,y1),B(x2,y2),(设点)
将y=kx+m代入椭圆E的方程,
可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,(联立方程转化)
则有x1+x2=-,x1x2=,
所以|x1-x2|=.
由Δ>0,可得m2<4+16k2, ①
因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m),所以△OAB的面积S=|m|·|x1-x2|=
==2.
设=t.(设出参数)
将直线y=kx+m代入椭圆C的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,
由Δ≥0,可得m2≤1+4k2. ②
由①②可知00)上的动点P到右焦点距离的最小值为3-2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l和椭圆C交于M,N两点,A为椭圆的右顶点,·=0,求△AMN面积的最大值.
模板十六 圆锥曲线中的定点问题
例16 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,且经过点A(0,1).过点F作直线AF的垂线经过点B(-2,1),点O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)点M(x1,y1)(y1≠0)是椭圆C上的一点,直线MF与椭圆C的另一个交点为N(x2,y2),直线l:+=1与直线x=-2交于点D.求证:直线OD恰好经过线段MN的中点.
解析 (1)依题意得b=1.设F(-c,0),(设点)
则直线AF的斜率kAF==.
因为AF⊥BF,所以直线BF的方程为y=-c(x+c).(用垂直)
将点B(-2,1)代入y=-c(x+c)得1=-c(-2+c),
解得c=1.
所以a2=b2+c2=2,
所以椭圆C的方程为+y2=1.(得结果)
(2)证明:由(1)知直线l的方程为+y1y=1,
即x1x+2y1y=2,
由得
即D.
①若直线MF⊥x轴,则x1=-1,MN的中点为F(-1,0).
由椭圆的对称性,不妨取y1=-,
所以yD===0.
所以直线OD即x轴,恰好经过线段MN的中点.
②若直线MF与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+1)(k≠0).如图.(设出参数)
则yD===,即D,
所以直线OD的方程为y=-x.(求直线系方程)
由得(1+2k2)x2+4k2x+2(k2-1)=0,
所以x1+x2=-.
设线段MN的中点为P,
则xP=(x1+x2)=-,
yP=k(xP+1)=,(求定点坐标)
所以yP=,
所以点P在直线OD上,即直线OD恰好经过线段MN的中点.
综上所述,直线OD恰好经过线段MN的中点.(得出结论)
▲模板构建 求解以圆锥曲线为背景的直线过定点问题的解题步骤:
跟踪集训
16.已知椭圆Γ的方程为+=1(a>b>0),离心率e=,点P在椭圆Γ上.
(1)求椭圆Γ的方程;
(2)过Γ的右焦点F作两条弦AB,CD,满足·=0,且=2,=2,证明直线MN必过定点,并求此定点.
模板十七 圆锥曲线中的定值问题
例17 已知椭圆C:+ =1(a>b>0)的离心率为,点(2,)在C上.
(1)求C的方程;
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
解析 (1)依题意有解得
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)证明:设直线l的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0),(引进参数)
A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),
由得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0,(联立方程)
所以x1+x2=-.
因为线段AB的中点为M,所以xM==-,
所以yM=kxM+m=,
所以直线OM的斜率kOM==-,
所以kOM·k=-,
即直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值-.(求出定值)
▲模板构建 解圆锥曲线中的定值问题的解题步骤如下:
跟踪集训
17.设椭圆+=1(a>b≥1)的离心率e=,右焦点到直线2ax+by-=0的距离为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过原点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于A,B两点,证明点O到直线AB的距离为定值,并求弦AB长度的最小值.
模板十八 圆锥曲线中的探索性问题
例18 已知定点C(-1,0)及椭圆x2+3y2=5,过点C的动直线与椭圆相交于A,B两点.
(1)若线段AB中点的横坐标是-,求直线AB的方程;
(2)在x轴上是否存在点M,使·为常数?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
解析 (1)依题意,直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x+1),
将y=k(x+1)代入x2+3y2=5,消去y,整理得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-.
由线段AB中点的横坐标是-,得=-=-,
解得k=±,经检验符合题意.
所以直线AB的方程为x-y+1=0或x+y+1=0.
(2)假设在x轴上存在点M(m,0),使·为常数.(假设)
(i)当直线AB与x轴不垂直时,由(1)知x1+x2=-,x1x2=. ①
所以·=(x1-m)(x2-m)+y1y2=(x1-m)(x2-m)+k2(x1+1)(x2+1)=(k2+1)x1x2+(k2-m)(x1+x2)+k2+m2.
将①代入,整理得·
=+m2=+m2
=m2+2m--.(推理)
注意到·是与k无关的常数,从而有6m+14=0,m=-,此时·=.(下结论)
(ii)当直线AB与x轴垂直时,此时点A、B的坐标分别为、,
当m=-时,也有·=.(推理)
综上,在x轴上存在定点M,使·为常数.(下结论)
▲模板构建 圆锥曲线的探索性问题的解题步骤如下:
跟踪集训
18.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,其左、右顶点分别为A1(-3,0),A2
(3,0).一条不经过原点的直线l:y=kx+m与该椭圆相交于M,N两点.如图.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若m+k=0,直线A1M与NA2的斜率分别为k1,k2.试问:是否存在实数λ,使得k1+λk2=0?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.
答案全解全析
模板一 函数值的求解
跟踪集训
1.D 因为函数f(x)为奇函数,
所以f(0)=-a=0,
解得a=,
所以当x≥0时, f(x)=-.
所以f(log32)=-
=-=-.
从而f=f(-log32)=-f(log32)=.
模板二 函数图象辨析
跟踪集训
2.A 函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),可排除B.
当x∈(0,1)时,x-1<0,ln x<0,所以(x-1)·ln x>0;
当x∈(1,+∞)时,x-1>0,ln x>0,
所以(x-1)ln x>0.
故函数f(x)在y轴右侧部分的图象在x轴的上方(除点(1,0)外).只有A选项满足.
模板三 求函数零点问题
跟踪集训
3.B 当x>0时,令f(x)=0,即ln(x2-x+1)=0,得x2-x+1=1,即x2-x=0,解得x=0(舍)或x=1.
当x≤0时, f(x)=ex-x-2, f '(x)=ex-1,
当x<0时,ex-1<0,所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递减.
而f(0)=e0-0-2=-1<0, f(-2)=e-2-(-2)-2=e-2>0,
所以当x≤0时, f(x)有且只有一个零点.
综上,函数f(x)只有两个零点,故选B.
模板四 已知函数零点个数求参数
跟踪集训
4.C 画出函数f(x)的草图,当a=1时,直线y=-x+1与曲线y=f(x)恰有2个交点,故排除A、B;当a=时,直线y=-x+与曲线y=f(x)恰有2个交点,如图所示,根据函数的周期性,选C.
模板五 三角函数求值
跟踪集训
5.解析 (1)f(x)=sin2x-sin2=-=cos 2x+sin 2x-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin,
所以f=sin=sin=.
(2)设t=2x-,则t∈,
所以sin t∈,所以sin t∈,
故f(x)在区间上的最大值为f=,最小值为f=-.
模板六 边角互化解三角形
跟踪集训
6.解析 因为asin B=bcos A,
所以sin Asin B=sin Bcos A.
因为sin B≠0,所以sin A=cos A,
即tan A=,因为A为△ABC的内角,
所以A=,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,
即7=4+c2-2c,解得c=3.
所以△ABC的面积为bcsin A=×2×3×=.
模板七 一元二次不等式的解法
跟踪集训
7.解析 因为不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|-10,b>0,所以>0,>0,
由基本不等式可得+≥2=2当且仅当=,即a=b时等号成立.
所以a+b=2++≥2+2=4,即a+b的最小值为4.故选C.
模板九 不等式恒(能)成立问题
跟踪集训
9.B 解法一:(直接法)由不等式x+.
因为+=1,所以x+==2++,
又x>0,y>0,所以x+=2++≥2+2=4当且仅当=,即y=4x时等号成立.
所以m2-3m>4,即(m+1)(m-4)>0.
解得m<-1或m>4.故选B.
解法二:(间接法)记不等式x+0,y>0,所以x+=2++≥2+2=4当且仅当=,即y=4x时等号成立.
故∁RP={m|m2-3m≤4},解得∁RP={m|-1≤m≤4}.
所以P=∁R(∁RP)={m|m<-1或m>4}.
模板十 线性规划问题
跟踪集训
10.B 作出不等式组所表示的可行域,如图中阴影部分所示,
由于可以看作直线的斜率形式,于是问题可以转化为求可行域内的点与点A(-1,1)连线的斜率最大、最小问题.
如图,当直线过点B(1,0)时,斜率最小,此时ω==-;
当直线与x-y=0平行时,斜率最大,此时ω=1,但它与阴影区域无交点,
故ω=的取值范围是.故选B.
模板十一 数列的通项、求和
跟踪集训
11.解析 (1)设数列{an}的公比为q(q>0),数列{bn}的公差为d,
由已知,有
消去d,整理得q4-2q2-8=0,
因为q>0,所以q=2,所以d=2.
所以数列{an}的通项公式为an=2n-1,n∈N ;
数列{bn}的通项公式为bn=2n-1,n∈N .
(2)由(1)有cn=(2n-1)·2n-1,
设{cn}的前n项和为Sn,则
Sn=1×20+3×21+5×22+…+(2n-3)×2n-2+(2n-1)×2n-1,
2Sn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n,
两式相减,得
-Sn=1+22+23+…+2n-(2n-1)×2n=2n+1-3-(2n-1)×2n=-(2n-3)×2n-3,
所以,Sn=(2n-3)·2n+3,n∈N .
模板十二 空间中的平行与垂直
跟踪集训
12.证明 (1)如图,连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知AD1∥BC1,因为F,P分别是AD,DD1的中点,所以FP∥AD1,从而BC1∥FP.
而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,
故直线BC1∥平面EFPQ.
(2)连接B1D1,AC,BD,则AC⊥BD.
由CC1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,可得CC1⊥BD.
又AC∩CC1=C,
所以BD⊥平面ACC1.
而AC1⊂平面ACC1,
所以BD⊥AC1.
因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点,
所以MN∥B1D1,
因为B1D1∥BD,
所以MN∥BD,
从而MN⊥AC1.
同理可证PN⊥AC1.
又PN∩MN=N,
所以直线AC1⊥平面PQMN.
模板十三 空间点面距离的求法
跟踪集训
13.解析 (1)证明:因为四边形ABCD是矩形,所以BC⊥CD.
因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面PDC.因为PD⊂平面PDC,所以BC⊥PD.
(2)取CD的中点E,连接PE.
因为PD=PC,所以PE⊥CD.
因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,PE⊂平面PDC,
所以PE⊥平面ABCD.
由(1)知BC⊥平面PDC,又BC∥AD,所以AD⊥平面PDC.
因为PD⊂平面PDC,所以AD⊥PD.
设三棱锥C-PDA的高为h,在Rt△PED中,
PE===,因为V三棱锥C-PDA=V三棱锥P-ACD,
所以S△PDA·h=S△ACD·PE,
即h===,
所以三棱锥C-PDA的高是.
模板十四 概率的求法
跟踪集训
14.D 因为骰子是均匀的,所以各面朝下的可能性相等,出现的所有可能情况为(1,1),(1,2),(1,3),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,5),共16种.
记事件A为“x不小于6”,则其包含的可能情况有:(1,5),(2,5),(3,3),(3,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,5),共8种,所以P(A)==.故选D.
模板十五 圆锥曲线的最值问题
跟踪集训
15.解析 (1)由已知得a=3, a-c=3-2,
所以c=2,所以b=1,
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)设直线AM的方程为y=k(x-3),不妨令k>0.
因为·=0,则直线AN的方程为y=-(x-3).
由可得(9k2+1)x2-54k2x+81k2-9=0.
设M(x1,y1),因为点A(3,0)在直线AM上,
所以3x1=,即x1=,
所以|AM|=|3-x1|=·.
同理可得|AN|=·=·,
所以△AMN的面积
S=|AM|·|AN|=(1+k2)·
==
=≤=,
当且仅当64k2=9(k2+1)2,
即k=时等号成立.
所以Smax=.
模板十六 圆锥曲线中的定点问题
跟踪集训
16.解析 (1)由题意可知解得a2=3,b2=2,
即椭圆Γ的方程为+=1.
(2)由(1)得F(1,0).
①当弦AB,CD的斜率均存在时,设AB的斜率为k,
因为·=0,则⊥,则CD的斜率为-.
令A(x1,y1),B(x2,y2),
因为=2,
所以M为线段AB的中点,设M(x0,y0).
将直线AB的方程y=k(x-1)代入椭圆方程+=1,得(3k2+2)x2-6k2x+3k2-6=0,
则x0==,y0=k(x0-1)=-,
于是M.
因为=2,所以点N为线段CD的中点.
同理可得点N.
当k≠±1时,直线MN的方程为y-=.
令y=0,得x=,则直线MN过定点.
当k=±1时,易得直线MN的方程为x=,也过点.
②当弦AB或CD的斜率不存在时,易知直线MN为x轴,也过点.
综上,直线MN必过定点.
模板十七 圆锥曲线中的定值问题
跟踪集训
17.解析 (1)由e==,得a=c,则b=c.
由右焦点(c,0)到直线2ax+by-=0的距离为,得=,解得a=,c=1,b=1,
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),点O到直线AB的距离为d.
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m,与椭圆+y2=1联立,消去y,可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,x1+x2=,x1x2=,由Δ>0⇒1+2k2>m2.
因为OA⊥OB⇒x1x2+y1y2=0,即x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0⇒3m2=2(k2+1),所以d==.
当直线AB的斜率不存在时,易得d=,即命题得证.
又OA2+OB2=AB2≥2OA·OB(当且仅当OA=OB时取等号),由d·AB=OA·OB,得AB≥2d=,即弦AB的长度的最小值是.
模板十八 圆锥曲线中的探索性问题
跟踪集训
18.解析 (1)因为椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,
所以2c=4,解得c=2.
因为椭圆的左、右顶点分别为A1(-3,0),A2(3,0),所以a=3.
又b2=a2-c2=9-8=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)由m+k=0知直线l过定点D(1,0).
由题意知直线A1M的方程为y=k1(x+3),直线NA2的方程为y=k2(x-3).
联立方程消去y,得
(1+9)x2+54x+81-9=0,
解得点M的坐标为.
同理,可解得点N的坐标为.
由M,D,N三点共线,可得=,
化简得(k2-2k1)(9k1k2+1)=0.
由题设可知k1与k2同号,
所以k2=2k1,即k1+k2=0,
所以存在λ=-使得k1+λk2=0.
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