【数学】2019届一轮复习人教A版第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入学案 67页

第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第一节 平面向量的概念及其线性运算 1．向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的 大小叫做向量的长度(或称模 ) 平面向量是自由向量 零向量 长度为0 的向量 记作 0，其方向是 任意的 单位向量 长度等于 1 个单位的向量 非零向量 a 的单位向量为± a |a| 平行向量 方向相同或相反的非零向量(又 叫做共线向量) 0 与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比 较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0 的相反向量为 0 2.向量的线性运算 向量运 算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律：a＋b＝b＋ a； (2)结合律：(a＋b)＋c ＝a＋(b＋c) 减法 求 a 与 b 的相反向量－b 的 和的运算叫做 a 与 b 的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数 λ 与向量 a 的积的运 算 （1）|λa|＝|λ||a|； （2）当 λ＞0 时， λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λa 的方向与 a 的方 向相同；当 λ＜0 时， λa 的方向与 a 的方 向相反；当 λ＝0 时， λa＝0 λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使得 b＝λa. 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(　　) (2)|a|与|b|是否相等与 a，b 的方向无关．(　　) (3)若向量 AB ―→ 与向量 CD ―→ 是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上．(　　) (4)当两个非零向量 a，b 共线时，一定有 b＝λa，反之成立．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2.如图，设 P，Q 两点把线段 AB 三等分，则下列向量表达式错误的 是(　　) A． AP ―→ ＝1 3 AB ―→ 　　　　　　 B． AQ ―→ ＝2 3 AB ―→ C． BP ―→ ＝－2 3 AB ―→ D． AQ ―→ ＝ BP ―→ 解析：选 D　由数乘向量的定义可以得到 A、B、C 都是正确的，只有 D 错误． 3．设 a，b 都是非零向量，下列四个选项中，一定能使 a |a|＋ b |b|＝0 成立的是(　　) A．a＝2b B．a∥b C．a＝－1 3b D．a⊥b 解析：选 C　“ a |a|＋ b |b|＝0，且 a，b 都是非零向量”等价于“非零向量 a，b 共线且反 向”，故答案为 C. 4．设 D 为△ABC 所在平面内一点， BC ―→ ＝3 CD ―→ ，则(　　) A． AD ―→ ＝－1 3 AB ―→ ＋4 3 AC ―→ B． AD ―→ ＝1 3 AB ―→ －4 3 AC ―→ C． AD ―→ ＝4 3 AB ―→ ＋1 3 AC ―→ D． AD ―→ ＝4 3 AB ―→ －1 3 AC ―→ 解析：选 A　由题意得 AD ―→ ＝ AC ―→ ＋ CD ―→ ＝ AC ―→ ＋1 3 BC ―→ ＝ AC ―→ ＋1 3 AC ―→ －1 3 AB ―→ ＝ －1 3 AB ―→ ＋4 3 AC ―→ . 5．若菱形 ABCD 的边长为 2，则| AB ―→ － CB ―→ ＋ CD ―→ |＝________. 解析：| AB ―→ － CB ―→ ＋c|＝| AB ―→ ＋ BC ―→ ＋ CD ―→ |＝| AD ―→ |＝2. 答案：2 6．已知 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a＋λb 与－(b－3a)共线，则 λ＝________. 解析：由题意知存在 k∈R，使得 a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以Error!解得Error! 答案：－1 3 考点一　平面向量的有关概念　　　　(基础送分型考点——自主练透) [考什么·怎么考] 高考对本部分内容不会单独考查，多渗透到平面向量的线性运算中，难度较小. 1．设 a0 为单位向量，下列命题中：①若 a 为平面内的某个向量，则 a＝|a|·a0；②若 a 与 a0 平行，则 a＝|a|a0；③若 a 与 a0 平行且|a|＝1，则 a＝a0，假命题的个数是(　　) A．0　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 解析：选 D　向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0 的模相同，但方向不一定相同， 故①是假命题；若 a 与 a0 平行，则 a 与 a0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向 时 a＝－|a|a0，故②③也是假命题． 综上所述，假命题的个数是 3. 2．给出下列命题： ①若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则 AB ―→ ＝ DC ―→ 是四边形 ABCD 为平行四边形的充 要条件； ③a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b； ④若 a∥b，b∥c，则 a∥c. 其中正确命题的序号是________． 解析：①正确．∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同， 又 b＝c，∴b，c 的长度相等且方向相同， ∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c. ②正确．∵ AB ―→ ＝ DC ―→ ，∴| AB ―→ |＝| DC ―→ |且 AB ―→ ∥ DC ―→ ， 又 A，B，C，D 是不共线的四点， ∴四边形 ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形 ABCD 为平行四边形， 则 AB ―→ ∥ DC ―→ 且| AB ―→ |＝| DC ―→ |，因此， AB ―→ ＝ DC ―→ . ③不正确．当 a∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到 a＝b，故|a|＝|b|且 a∥b 不是 a＝b 的充要条件，而是必要不充分条件． ④不正确．考虑 b＝0 这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是①②. 答案：①② [怎样快解·准解] 有关平面向量概念的 6 个注意点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的 移动混淆． (4)非零向量 a 与 a |a|的关系： a |a|是与 a 同方向的单位向量，－ a |a|是与 a 反方向的单位向 量． (5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小． (6)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件． 考点二　向量的线性运算　　　　(基础送分型考点——自主练透) [考什么·怎么考] 平面向量的线性运算是高考对平面向量考查的一个重点内容，主要考查三角形法则及平 行四边形法则的应用，通常有两个考查角度： (1)向量的线性表示； (2)加(减)法运算几何意义的应用． 考题多以选择题或填空题的形式出现，属于低档题目． 1．(2018·武汉调研)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所 在平面内的任意一点，则 OA ―→ ＋ OB ―→ ＋ OC ―→ ＋ OD ―→ 等于(　　) A． OM ―→ 　　　　　　　　　 B．2 OM ―→ C．3 OM ―→ D．4 OM ―→ 解析：选 D　因为 M 是平行四边形 ABCD 对角线 AC，BD 的交点，所以 OA ―→ ＋ OC ―→ ＝ 2 OM ―→ ， OB ―→ ＋ OD ―→ ＝2 OM ―→ ，所以 OA ―→ ＋ OB ―→ ＋ OC ―→ ＋ OD ―→ ＝4 OM ―→ . 2．(2018·广东五校协作体第一次诊断考试)设 D 是△ABC 所在平面内一点， AB ―→ ＝2 DC ―→ ，则(　　) A． BD ―→ ＝ AC ―→ －3 2 AB ―→ B． BD ―→ ＝3 2 AC ―→ － AB ―→ C． BD ―→ ＝1 2 AC ―→ － AB ―→ D． BD ―→ ＝ AC ―→ －1 2 AB ―→ 解析：选 A　 BD ―→ ＝ BC ―→ ＋ CD ―→ ＝ BC ―→ － DC ―→ ＝ AC ―→ － AB ―→ －1 2 AB ―→ ＝ AC ―→ －3 2 AB ―→ ，选 A. 3．设 D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点，AD＝1 2AB，BE＝2 3BC.若 DE ―→ ＝λ1 AB ―→ ＋λ2 AC ―→ (λ1，λ2 为实数)，则 λ1＋λ2＝________. 解析： DE ―→ ＝ DB ―→ ＋ BE ―→ ＝1 2 AB ―→ ＋2 3 BC ―→ ＝1 2 AB ―→ ＋2 3( BA ―→ ＋ AC ―→ )＝－1 6 AB ―→ ＋2 3 AC ―→ ，所以 λ1＝－1 6，λ2＝2 3，即 λ1＋λ2＝1 2. 答案：1 2 [怎样快解·准解] 1．用已知向量表示未知向量的方法 构造三角形，关键在于搞清构成三角形的三个向量间的相互关系，能熟练地找出图形中 的相等向量，熟练运用相反向量将加减法相互转化． 2．用已知向量表示未知向量的 4 步骤 (1)观察各向量的位置； (2)寻找相应的三角形或多边形； (3)运用法则找关系； (4)化简结果． 3．向量线性运算的 2 个常用结论 (1)在△ABC 中，D 是 BC 的中点，则 AD ―→ ＝1 2( AC ―→ ＋ AB ―→ )； (2)O 为△ABC 的重心的充要条件是 OA ―→ ＋ OB ―→ ＋ OC ―→ ＝0. 考点三　共线向量定理的应用　　　　(重点保分型考点——师生共研) 向量共线问题常见题型有两种，一是根据条件证明三点共线，二是利用三点共线求参数 的值.题目难度一般较小. [典题领悟] 设两个非零向量 a 与 b 不共线， (1)若 AB ―→ ＝a＋b， BC ―→ ＝2a＋8b， CD ―→ ＝3(a－b)， 求证：A，B，D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 同向． 解：(1)证明：∵ AB ―→ ＝a＋b， BC ―→ ＝2a＋8b， CD ―→ ＝3a－3b， ∴ BD ―→ ＝ BC ―→ ＋ CD ―→ ＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5 AB ―→ ， ∴ AB ―→ ， BD ―→ 共线．又∵它们有公共点 B，∴A，B，D 三点共线． (2)∵ka＋b 与 a＋kb 同向， ∴存在实数 λ(λ>0)，使 ka＋b＝λ(a＋kb)， 即 ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a，b 是不共线的两个非零向量， ∴Error!解得Error!或Error! 又∵λ>0，∴k＝1. [解题师说] 1．共线向量定理的 3 个应用 证明向量 共线 对于向量 a，b，若存在实数 λ，使 a＝λb，则 a 与 b 共线 证明三点 共线 若存在实数 λ，使 AB ―→ ＝λ AC ―→ ，则 A，B，C 三点共线 求参数 的值 利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值 2．求解向量共线问题的注意事项 (1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其 他向量，注意待定系数法和方程思想的运用． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联 系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线． (3)若 a 与 b 不共线且 λa＝μb，则 λ＝μ＝0. (4)直线的向量式参数方程，A，P，B 三点共线⇔ OP ―→ ＝(1－t) OA ―→ ＋t OB ―→ (O 为平面 内任一点，t∈R)． (5) OA ―→ ＝λ OB ―→ ＋μ OC ―→ (λ，μ 为实数)，若 A，B，C 三点共线，则 λ＋μ＝1. [冲关演练] 1．在四边形 ABCD 中， AB ―→ ＝a＋2b， BC ―→ ＝－4a－b， CD ―→ ＝－5a－3b，则四边形 ABCD 的形状是(　　) A．矩形　　　　　　　　　 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对 解析：选 C　由已知，得 AD ―→ ＝ AB ―→ ＋ BC ―→ ＋ CD ―→ ＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝ 2 BC ―→ ，故 AD ―→ ∥ BC ―→ .又因为 AB ―→ 与 CD ―→ 不平行，所以四边形 ABCD 是梯形． 2．(2018·贵州适应性考试)已知向量 e1 与 e2 不共线，且向量 AB ―→ ＝e1＋me2， AC ―→ ＝ne1 ＋e2，若 A，B，C 三点共线，则实数 m，n 满足的条件是(　　) A．mn＝1 B．mn＝－1 C．m＋n＝1 D．m＋n＝－1 解析：选 A　因为 A，B，C 三点共线，所以一定存在一个确定的实数 λ，使得AB ―→ ＝λ AC ―→ ， 所以有 e1＋me2＝nλe1＋λe2，由此可得Error!所以 mn＝1. (一)普通高中适用作业 A 级——基础小题练熟练快 1．设 D，E，F 分别为△ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则 EB ―→ ＋ FC ―→ ＝(　　) A． AD ―→ 　　　　　　　　　　　 B.1 2 AD ―→ C.1 2 BC ―→ D． BC ―→ 解析：选 A　由题意得 EB ―→ ＋ FC ―→ ＝1 2( AB ―→ ＋ CB ―→ )＋1 2( AC ―→ ＋ BC ―→ )＝1 2( AB ―→ ＋ AC ―→ )＝ AD ―→ . 2．已知 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，则与向量 OA ―→ 平行的向量为(　　) A． AB ―→ ＋ AC ―→ B． AB ―→ ＋ BC ―→ ＋ CD ―→ C． AB ―→ ＋ AF ―→ ＋ CD ―→ D． AB ―→ ＋ CD ―→ ＋ DE ―→ 解析：选 B　 AB ―→ ＋ BC ―→ ＋ CD ―→ ＝ AD ―→ ＝2 AO ―→ ＝－2 OA ―→ . 3．设向量 a，b 不共线， AB ―→ ＝2a＋pb， BC ―→ ＝a＋b， CD ―→ ＝a－2b，若 A，B，D 三点共线，则实数 p 的值为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选 B　因为 BC ―→ ＝a＋b， CD ―→ ＝a－2b，所以 BD ―→ ＝ BC ―→ ＋ CD ―→ ＝2a－b.又因 为 A，B，D 三点共线，所以 AB ―→ ， BD ―→ 共线．设 AB ―→ ＝λ BD ―→ ，所以 2a＋pb＝λ(2a－b)， 所以 2＝2λ，p＝－λ，即 λ＝1，p＝－1. 4．下列四个结论： ① AB ―→ ＋ BC ―→ ＋ CA ―→ ＝0；② AB ―→ ＋ MB ―→ ＋ BO ―→ ＋ OM ―→ ＝0； ③ AB ―→ － AC ―→ ＋ BD ―→ － CD ―→ ＝0；④ NQ ―→ ＋ QP ―→ ＋ MN ―→ － MP ―→ ＝0， 其中一定正确的结论个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选 C　① AB ―→ ＋ BC ―→ ＋ CA ―→ ＝ AC ―→ ＋ CA ―→ ＝0，①正确；② AB ―→ ＋ MB ―→ ＋ BO ―→ ＋ OM ―→ ＝ AB ―→ ＋MO―→＋ OM ―→ ＝ AB ―→ ，②错误；③ AB ―→ － AC ―→ ＋ BD ―→ － CD ―→ ＝ CB ―→ ＋ BD ―→ ＋ DC ―→ ＝ CD ―→ ＋ DC ―→ ＝0，③正确；④ NQ ―→ ＋ QP ―→ ＋ MN ―→ － MP ―→ ＝ NP ―→ ＋ PN ―→ ＝ 0，④正确，故①③④正确． 5．(2018·广东东莞二模)如图所示，已知 AC ―→ ＝3 BC ―→ ， OA ―→ ＝a， OB ―→ ＝b， OC ―→ ＝ c，则下列等式中成立的是(　　) A．c＝3 2b－1 2a B．c＝2b－a C．c＝2a－b D．c＝3 2a－1 2b 解析：选 A　因为 AC ―→ ＝3 BC ―→ ， OA ―→ ＝a， OB ―→ ＝b，所以 OC ―→ ＝ OA ―→ ＋ AC ―→ ＝ OA ―→ ＋3 2 AB ―→ ＝ OA ―→ ＋3 2( OB ―→ － OA ―→ )＝3 2 OB ―→ －1 2 OA ―→ ＝3 2b－1 2a，故选 A. 6．设平行四边形 ABCD 的对角线交于点 P，则下列命题中正确的个数是(　　) ① AC ―→ ＝ AB ―→ ＋ AD ―→ ；② AP ―→ ＝1 2( AB ―→ ＋ AD ―→ )； ③ DB ―→ ＝ AB ―→ － AD ―→ ；④ PD ―→ ＝ PB ―→ . A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选 C　由向量加法的平行四边形法则，知① AC ―→ ＝ AB ―→ ＋ AD ―→ ，② AP ―→ ＝1 2 ( AB ―→ ＋ AD ―→ )都是正确的，由向量减法的三角形法则，知③ DB ―→ ＝ AB ―→ － AD ―→ 是正确的， 因为 PD ―→ ， PB ―→ 的大小相同，方向相反，所以④ PD ―→ ＝ PB ―→ 是错误的． 7．设向量 a，b 不平行，向量 λa＋b 与 a＋2b 平行，则实数 λ＝________. 解析：因为向量 λa＋b 与 a＋2b 平行， 所以可设 λa＋b＝k(a＋2b)，则Error!所以 λ＝1 2. 答案：1 2 8．已知▱ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O，且 OA ―→ ＝a， OB ―→ ＝b，则 DC ―→ ＝ ________， BC ―→ ＝________.(用 a，b 表示) 解析：如图， DC ―→ ＝ AB ―→ ＝ OB ―→ － OA ―→ ＝b －a ， BC ―→ ＝ OC ―→ － OB ―→ ＝－ OA ―→ － OB ―→ ＝－a－b. 答案：b－a　－a－b 9．(2018·河南三市联考)在锐角△ABC 中， CM ―→ ＝3 MB ―→ ， AM ―→ ＝x AB ―→ ＋y AC ―→ ，则 x y＝________. 解析：由题设可得 CA ―→ ＋ AM ―→ ＝3( AB ―→ － AM ―→ )， 即 4 AM ―→ ＝3 AB ―→ ＋ AC ―→ ， 亦即 AM ―→ ＝3 4 AB ―→ ＋1 4 AC ―→ ， 则 x＝3 4，y＝1 4，故x y＝3. 答案：3 10．已知 S 是△ABC 所在平面外一点，D 是 SC 的中点，若 BD ―→ ＝x AB ―→ ＋y AC ―→ ＋z AS ―→ ，则 x＋y＋z＝________. 解析：依题意得 BD ―→ ＝ AD ―→ － AB ―→ ＝1 2( AS ―→ ＋ AC ―→ )－ AB ―→ ＝－ AB ―→ ＋1 2 AC ―→ ＋1 2 AS ―→ ，因此 x＋y＋z＝－1＋1 2＋1 2＝0. 答案：0 B 级——中档题目练通抓牢 1．已知在等腰梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝2CD，点 M 是腰 BC 的中点，若 AM ―→ ＝ λ AB ―→ ＋μ AD ―→ ，则 λ，μ 的值分别为(　　) A.3 4，1 2 B.1 2，3 4 C．1，3 4 D.1 2，1 2 解析：选 A　因为 AM ―→ ＝1 2( AB ―→ ＋ AC ―→ )＝1 2( AB ―→ ＋ AD ―→ ＋ DC ―→ )＝1 2( AB ―→ ＋ AD ―→ ＋ 1 2 AB ―→ )＝3 4 AB ―→ ＋1 2 AD ―→ ，所以 λ＝3 4，μ＝1 2. 2．已知向量 a，b 不共线，且 c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若 c 与 d 共线反向，则实数 λ 的值为(　　) A．1 B．－1 2 C．1 或－1 2 D．－1 或－1 2 解析：选 B　由于 c 与 d 共线反向，则存在实数 k 使 c＝kd(k＜0)，于是 λa＋b＝k [a＋(2λ－1)b]. 整理得 λa＋b＝ka＋(2λk－k)b. 由于 a，b 不共线，所以有Error! 整理得 2λ2－λ－1＝0，解得 λ＝1 或 λ＝－1 2. 又因为 k＜0，所以 λ＜0，故 λ＝－1 2. 3．(2018·长春质检)在△ABC 中，D 为△ABC 所在平面内一点，且AD ―→ ＝1 3 AB ―→ ＋1 2 AC ―→ ， 则S △ BCD S △ ABD＝(　　) A.1 6 B.1 3 C.1 2 D.2 3 解析：选 B　如图，由已知得，点 D 在△ABC 中与 AB 平行的中位 线上，且在靠近 BC 边的三等分点处，从而有 S△ABD＝1 2S△ABC，S△ACD＝1 3 S△ABC，S△BCD＝(1－1 2－1 3)S△ABC＝1 6S△ABC，所以S △ BCD S △ ABD＝1 3. 4．已知 a，b 是非零向量，命题 p：a＝b，命题 q：|a＋b|＝|a|＋|b|，则 p 是 q 的__________ 条件(选填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”)． 解析：若 a＝b，则|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即 p⇒q. 若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算法则知 a 与 b 同向共线， 即 a＝λb，且 λ>0，故 q⇒/ p. 所以 p 是 q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要 5．在梯形 ABCD 中，已知 AB∥CD，AB＝2CD，M，N 分别为 CD，BC 的中点．若AB ―→ ＝λ AM ―→ ＋μ AN ―→ ，则 λ＋μ＝________. 解析：法一：由 AB ―→ ＝λ AM ―→ ＋μ AN ―→ ， 得 AB ―→ ＝λ·1 2( AD ―→ ＋ AC ―→ )＋μ·1 2( AC ―→ ＋ AB ―→ )， 则(μ 2－1 ) AB ―→ ＋λ 2 AD ―→ ＋(λ 2＋μ 2 ) AC ―→ ＝0， 得(μ 2－1 ) AB ―→ ＋λ 2 AD ―→ ＋(λ 2＋μ 2 )(＋1 2 )＝0， 得(1 4λ＋3 4μ－1) AB ―→ ＋(λ＋μ 2 ) AD ―→ ＝0. 又因为 AB ―→ ， AD ―→ 不共线， 所以由平面向量基本定理得Error! 解得Error!所以 λ＋μ＝4 5. 法二：连接 MN 并延长交 AB 的延长线于点 T， 由已知易得 AB＝4 5AT， ∴4 5 AT ―→ ＝ AB ―→ ＝λ AM ―→ ＋μ AN ―→ ， 即 AT ―→ ＝5 4λ AM ―→ ＋5 4μ AN ―→ ， ∵T，M，N 三点共线，∴5 4λ＋5 4μ＝1.∴λ＋μ＝4 5. 答案：4 5 6.在△ABC 中，D，E 分别为 BC，AC 边上的中点，G 为 BE 上一 点，且 GB＝2GE，设 AB ―→ ＝a， AC ―→ ＝b，试用 a，b 表示 AD ―→ ， AG ―→ . 解： AD ―→ ＝1 2( AB ―→ ＋ AC ―→ )＝1 2a＋1 2b. AG ―→ ＝ AB ―→ ＋ BG ―→ ＝ AB ―→ ＋2 3 BE ―→ ＝ AB ―→ ＋1 3( BA ―→ ＋ BC ―→ ) ＝2 3 AB ―→ ＋1 3( AC ―→ － AB ―→ ) ＝1 3 AB ―→ ＋1 3 AC ―→ ＝1 3a＋1 3b. 7．设 e1，e2 是两个不共线的向量，已知 AB ―→ ＝2e1－8e2， CB ―→ ＝e1＋3e2， CD ―→ ＝2e1 －e2. (1)求证：A，B，D 三点共线； (2)若 BF ―→ ＝3e1－ke2，且 B，D，F 三点共线，求 k 的值． 解：(1)证明：由已知得 BD ―→ ＝ CD ―→ － CB ―→ ＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2， ∵ AB ―→ ＝2e1－8e2，∴ AB ―→ ＝2 BD ―→ . 又∵ AB ―→ 与 BD ―→ 有公共点 B，∴A，B，D 三点共线． (2)由(1)可知 BD ―→ ＝e1－4e2， ∵ BF ―→ ＝3e1－ke2，且 B，D，F 三点共线， ∴存在实数 λ，使 BF ―→ ＝λ BD ―→ ， 即 3e1－ke2＝λe1－4λe2， 得Error! 解得 k＝12. C 级——重难题目自主选做 1.如图，直线 EF 与平行四边形 ABCD 的两边 AB，AD 分别交于 E，F 两 点，且交其对角线于 K，其中， AE ―→ ＝2 5 AB ―→ ， AF ―→ ＝1 2 AD ―→ ， AK ―→ ＝λ AC ―→ ，则 λ 的值为(　　) A.2 9 B.2 7 C.2 5 D.2 3 解析：选 A　因为 AE ―→ ＝2 5 AB ―→ ， AF ―→ ＝1 2 AD ―→ ， 则 AB ―→ ＝5 2 AE ―→ ， AD ―→ ＝2 AF ―→ ， 由向量加法的平行四边形法则可知 AC ―→ ＝ AB ―→ ＋ AD ―→ ， 所以 AK ―→ ＝λ AC ―→ ＝λ( AB ―→ ＋ AD ―→ )＝λ(5 2 ＋2)＝5 2λ AE ―→ ＋2λ AF ―→ ，由 E，F，K 三点 共线可得 5 2λ＋2λ＝1，所以 λ＝2 9. 2．在直角梯形 ABCD 中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2 3，BC＝2，点 E 在线段 CD 上，若 AE ―→ ＝ AD ―→ ＋μ AB ―→ ，则 μ 的取值范围是________． 解析：由题意可求得 AD＝1，CD＝ 3，所以 AB ―→ ＝2 DC ―→ . ∵点 E 在线段 CD 上， ∴ DE ―→ ＝λ DC ―→ (0≤λ≤1)． ∵ AE ―→ ＝ AD ―→ ＋ DE ―→ ， 又 AE ―→ ＝ AD ―→ ＋μ AB ―→ ＝ AD ―→ ＋2μ DC ―→ ＝ AD ―→ ＋2μ λ DE ―→ ， ∴2μ λ ＝1，即 μ＝λ 2. ∵0≤λ≤1， ∴0≤μ≤1 2. 即 μ 的取值范围是[0，1 2 ]. 答案：[0，1 2 ] (二)重点高中适用作业 A 级——保分题目巧做快做 1.设 D，E，F 分别为△ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则 EB ―→ ＋ FC ―→ ＝(　　) A． AD ―→ 　　　　　　　　　　　B.1 2 AD ―→ C.1 2 BC ―→ D． BC ―→ 解析：选 A　由题意得 EB ―→ ＋ FC ―→ ＝1 2( AB ―→ ＋ CB ―→ )＋1 2( AC ―→ ＋ BC ―→ )＝1 2( AB ―→ ＋ AC ―→ )＝ AD ―→ . 2.(2018·合肥质检)已知 O，A，B，C 为同一平面内的四个点，若 2 AC ―→ ＋ CB ―→ ＝0，则 向量 OC ―→ 等于(　　) A.2 3 OA ―→ －1 3 OB ―→ B．－1 3 OA ―→ ＋2 3 OB ―→ C．2 OA ―→ － OB ―→ D．－ OA ―→ ＋2 OB ―→ 解析：选 C　因为 AC ―→ ＝ OC ―→ － OA ―→ ， CB ―→ ＝ OB ―→ － OC ―→ ，所以 2 AC ―→ ＋ CB ―→ ＝ 2( OC ―→ － OA ―→ )＋( OB ―→ － OC ―→ )＝ OC ―→ －2 OA ―→ ＋ OB ―→ ＝0，所以 OC ―→ ＝2 OA ―→ － OB ―→ . 3.(2018·江西八校联考)在△ABC 中，P，Q 分别是边 AB，BC 上的点，且 AP＝1 3AB，BQ ＝1 3BC.若 AB ―→ ＝a， AC ―→ ＝b，则 PQ ―→ ＝(　　) A.1 3a＋1 3b B．－1 3a＋1 3b C.1 3a－1 3b D．－1 3a－1 3b 解析：选 A　 PQ ―→ ＝ PB ―→ ＋ BQ ―→ ＝2 3 AB ―→ ＋1 3 BC ―→ ＝2 3 AB ―→ ＋1 3( AC ―→ － AB ―→ )＝1 3 AB ―→ ＋1 3 AC ―→ ＝1 3a＋1 3b，故选 A. 4．下列四个结论： ① AB ―→ ＋ BC ―→ ＋ CA ―→ ＝0；② AB ―→ ＋ MB ―→ ＋ BO ―→ ＋ OM ―→ ＝0； ③ AB ―→ － AC ―→ ＋ BD ―→ － CD ―→ ＝0；④ NQ ―→ ＋ QP ―→ ＋ MN ―→ － MP ―→ ＝0， 其中一定正确的结论个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选 C　① AB ―→ ＋ BC ―→ ＋ CA ―→ ＝ AC ―→ ＋ CA ―→ ＝0，①正确；② AB ―→ ＋ MB ―→ ＋ BO ―→ ＋ OM ―→ ＝ AB ―→ ＋ MO ―→ ＋ OM ―→ ＝ AB ―→ ，②错误；③ AB ―→ － AC ―→ ＋ BD ―→ － CD ―→ ＝ CB ―→ ＋ BD ―→ ＋ DC ―→ ＝ CD ―→ ＋ DC ―→ ＝0，③正确；④ NQ ―→ ＋ QP ―→ ＋ MN ―→ － MP ―→ ＝ NP ―→ ＋ PN ―→ ＝ 0，④正确．故①③④正确． 5．已知向量 a，b 不共线，且 c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若 c 与 d 共线反向，则实数 λ 的值为(　　) A．1 B．－1 2 C．1 或－1 2 D．－1 或－1 2 解析：选 B　由于 c 与 d 共线反向，则存在实数 k 使 c＝kd(k＜0)，于是 λa＋b＝k [a＋(2λ－1)b]. 整理得 λa＋b＝ka＋(2λk－k)b. 由于 a，b 不共线，所以有Error! 整理得 2λ2－λ－1＝0，解得 λ＝1 或 λ＝－1 2. 又因为 k＜0，所以 λ＜0，故 λ＝－1 2. 6.(2018·南宁模拟)已知 e 1，e2 是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且 mn≠0， 若 a∥b，则m n＝________. 解析：∵a∥b，∴a＝λb，即 me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，则Error!故m n＝－2. 答案：－2 7．已知 a，b 是非零向量，命题 p：a＝b，命题 q：|a＋b|＝|a|＋|b|，则 p 是 q 的 ____________________条件(选填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必 要”)． 解析：若 a＝b，则|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即 p⇒q. 若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算法则知 a 与 b 同向共线，即 a＝λb，且 λ>0，故 q⇒/ p. 所以 p 是 q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要 8．已知 S 是△ABC 所在平面外一点，D 是 SC 的中点，若BD ―→ ＝x AB ―→ ＋y AC ―→ ＋z AS ―→ ， 则 x＋y＋z＝________. 解析：依题意得 BD ―→ ＝ AD ―→ － AB ―→ ＝1 2( AS ―→ ＋ AC ―→ )－ AB ―→ ＝－ AB ―→ ＋1 2 AC ―→ ＋1 2 AS ―→ ，因此 x＋y＋z＝－1＋1 2＋1 2＝0. 答案：0 9.已知 D 为三角形 ABC 边 BC 的中点，点 P 满足 PA ―→ ＋ BP ―→ ＋ CP ―→ ＝0， AP ―→ ＝λ PD ―→ ，求实数 λ 的值． 解：如图所示，由 AP ―→ ＝λ PD ―→ 且 PA ―→ ＋ BP ―→ ＋ CP ―→ ＝0，得 P 为 以 AB，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点， 因此 AP ―→ ＝－2 PD ―→ ，所以 λ＝－2. 10．设 e1，e2 是两个不共线的向量，已知 AB ―→ ＝2e1－8e2， CB ―→ ＝e1＋3e2， CD ―→ ＝2e1 －e2. (1)求证：A，B，D 三点共线； (2)若 BF ―→ ＝3e1－ke2，且 B，D，F 三点共线，求 k 的值． 解：(1)证明：由已知得 BD ―→ ＝ CD ―→ － CB ―→ ＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2， ∵ AB ―→ ＝2e1－8e2， ∴ AB ―→ ＝2 BD ―→ . 又∵ AB ―→ 与 BD ―→ 有公共点 B， ∴A，B，D 三点共线． (2)由(1)可知 BD ―→ ＝e1－4e2， ∵ BF ―→ ＝3e1－ke2，且 B，D，F 三点共线， ∴存在实数 λ，使 BF ―→ ＝λ BD ―→ ， 即 3e1－ke2＝λe1－4λe2， 得Error! 解得 k＝12. B 级——拔高题目稳做准做 1．(2018·长春质检)在△ABC 中，D 为△ABC 所在平面内一点，且AD ―→ ＝1 3 AB ―→ ＋1 2 AC ―→ ， 则S △ BCD S △ ABD＝(　　) A.1 6 B.1 3 C.1 2 D.2 3 解析：选 B　如图，由已知得，点 D 在△ABC 中与 AB 平行的中位 线上，且在靠近 BC 边的三等分点处，从而有 S△ABD＝1 2S△ABC，S△ACD＝ 1 3S△ABC，S△BCD＝(1－1 2－1 3)S△ABC＝1 6S△ABC，所以S △ BCD S △ ABD＝1 3. 2.(2018·河南中原名校联考)如图，在直角梯形 ABCD 中，AB＝ 2AD＝2DC，E 为 BC 边上一点， BC ―→ ＝3 EC ―→ ，F 为 AE 的中点，则 BF ―→ ＝(　　) A.2 3 AB ―→ －1 3 AD ―→ B.1 3 AB ―→ －2 3 AD ―→ C．－2 3 AB ―→ ＋1 3 AD ―→ D．－1 3 AB ―→ ＋2 3 AD ―→ 解析：选 C　 BF ―→ ＝ BA ―→ ＋ AF ―→ ＝ BA ―→ ＋1 2 AE ―→ ＝－ AB ―→ ＋1 2( AD ―→ ＋1 2 AB ―→ ＋ CE ―→ ) ＝－ AB ―→ ＋1 2(＋1 2 ＋1 3) ＝－ AB ―→ ＋1 2 AD ―→ ＋1 4 AB ―→ ＋1 6( CD ―→ ＋ DA ―→ ＋ AB ―→ ) ＝－2 3 AB ―→ ＋1 3 AD ―→ . 3.在梯形 ABCD 中，已知 AB∥CD，AB＝2CD，M，N 分别为 CD，BC 的中点．若AB ―→ ＝λ AM ―→ ＋μ AN ―→ ，则 λ＋μ＝________. 解析：法一：由 AB ―→ ＝λ AM ―→ ＋μ AN ―→ ， 得 AB ―→ ＝λ·1 2( AD ―→ ＋ AC ―→ )＋μ·1 2( AC ―→ ＋ AB ―→ )， 则(μ 2－1 ) AB ―→ ＋λ 2 AD ―→ ＋(λ 2＋μ 2 ) AC ―→ ＝0， 得(μ 2－1 ) AB ―→ ＋λ 2 AD ―→ ＋(λ 2＋μ 2 )(＋1 2 )＝0， 得(1 4λ＋3 4μ－1) AB ―→ ＋(λ＋μ 2 ) AD ―→ ＝0. 又因为 AB ―→ ， AD ―→ 不共线， 所以由平面向量基本定理得Error! 解得Error!所以 λ＋μ＝4 5. 法二：连接 MN 并延长交 AB 的延长线于 T， 由已知易得 AB＝4 5AT， ∴4 5 AT ―→ ＝ AB ―→ ＝λ AM ―→ ＋μ AN ―→ ， 即 AT ―→ ＝5 4λ AM ―→ ＋5 4μ AN ―→ ， ∵T，M，N 三点共线，∴5 4λ＋5 4μ＝1. ∴λ＋μ＝4 5. 答案：4 5 4．在直角梯形 ABCD 中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2 3，BC＝2，点 E 在线段 CD 上，若 AE ―→ ＝ AD ―→ ＋μ AB ―→ ，则 μ 的取值范围是________． 解析：由题意可求得 AD＝1，CD＝ 3，所以 AB ―→ ＝2 DC ―→ . ∵点 E 在线段 CD 上， ∴ DE ―→ ＝λ DC ―→ (0≤λ≤1)． ∵ AE ―→ ＝ AD ―→ ＋ DE ―→ ， 又 AE ―→ ＝ AD ―→ ＋μ AB ―→ ＝ AD ―→ ＋2μ DC ―→ ＝ AD ―→ ＋2μ λ DE ―→ ， ∴2μ λ ＝1，即 μ＝λ 2. ∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤1 2. 即 μ 的取值范围是[0，1 2 ]. 答案：[0，1 2 ] 5．经过△OAB 重心 G 的直线与 OA，OB 分别交于点 P，Q，设OP ―→ ＝m OA ―→ ， OQ ―→ ＝ n OB ―→ ，m，n∈R，求1 n＋1 m的值． 解：设 OA ―→ ＝a， OB ―→ ＝b，则 OG ―→ ＝1 3(a＋b)， PQ ―→ ＝ OQ ―→ － OP ―→ ＝nb－ma， PG ―→ ＝ OG ―→ － OP ―→ ＝1 3(a＋b)－ma＝(1 3－m)a＋1 3b. 由 P，G，Q 共线得，存在实数 λ 使得 PQ ―→ ＝λ PG ―→ ， 即 nb－ma＝λ(1 3－m)a＋1 3λb， 则Error!消去 λ，得1 n＋1 m＝3. 6．已知 O，A，B 是不共线的三点，且 OP ―→ ＝m OA ―→ ＋n OB ―→ (m，n∈R)． (1)若 m＋n＝1，求证：A，P，B 三点共线； (2)若 A，P，B 三点共线，求证：m＋n＝1. 证明：(1)若 m＋n＝1， 则 OP ―→ ＝m OA ―→ ＋(1－m) OB ―→ ＝ OB ―→ ＋m( OA ―→ － OB ―→ )， ∴ OP ―→ － OB ―→ ＝m( OA ―→ － OB ―→ )， 即 BP ―→ ＝m BA ―→ ，∴ BP ―→ 与 BA ―→ 共线． 又∵ BP ―→ 与 BA ―→ 有公共点 B， ∴A，P，B 三点共线． (2)若 A，P，B 三点共线， 则存在实数 λ，使 BP ―→ ＝λ BA ―→ ， ∴ OP ―→ － OB ―→ ＝λ( OA ―→ － OB ―→ )． 又 OP ―→ ＝m OA ―→ ＋n OB ―→ . 故有 m OA ―→ ＋(n－1) OB ―→ ＝λ OA ―→ －λ OB ―→ ， 即(m－λ) OA ―→ ＋(n＋λ－1) OB ―→ ＝0. ∵O，A，B 不共线，∴ OA ―→ ， OB ―→ 不共线， ∴Error!∴m＋n＝1. 第二节 平面向量的基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且 只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算 (1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模： 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝ x21＋y21. (2)向量坐标的求法： ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB ―→ ＝(x2－x1，y2－y1)， | AB ―→ |＝ (x2－x1)2＋(y2－y1)2. 3．平面向量共线的坐标表示 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，则 a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　) (2)若 a，b 不共线，且 λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则 λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　) (3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯 一表示．(　　) (4)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件可表示成x1 x2＝y1 y2.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　 2．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量 1 2a－3 2b＝(　　) A．(－2，－1)　　　　　　　 B．(－2,1) C．(－1,0) D．(－1,2) 解析：选 D　因为 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以 1 2a－3 2b＝1 2(1,1)－3 2(1，－1)＝(1 2，1 2 )－ (3 2，－3 2)＝(－1,2)． 3．设向量 a＝(x,1)，b＝(4，x)，且 a，b 方向相反，则 x 的值是(　　) A．2 B．－2 C．±2 D．0 解析：选 B　因为 a 与 b 方向相反，所以 b＝ma，m<0，则有(4，x)＝m(x,1)，所以Error! 解得 x＝±2.又 m<0， 所以 x＝m＝－2. 4．已知平行四边形 ABCD 中， AD ―→ ＝(3,7)， AB ―→ ＝(－2,3)，对角线 AC 与 BD 交于点 O，则 CO ―→ 的坐标为(　　) A.(－1 2，5) B.(1 2，5 ) C.(1 2，－5) D.(－1 2，－5) 解析：选 D　∵ AC ―→ ＝ AB ―→ ＋ AD ―→ ＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，∴ OC ―→ ＝1 2 AC ―→ ＝(1 2，5 )， ∴ CO ―→ ＝(－1 2，－5). 5．已知向量 a＝(1,3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数 k＝________. 解析：a＋2b＝(－3,3＋2k)，3a－b＝(5,9－k)，由题意可得－3(9－k)＝5(3＋2k)，解得 k ＝－6. 答案：－6 6．在▱ABCD 中， AB ―→ ＝a， AD ―→ ＝b， AN ―→ ＝3 NC ―→ ，M 为 BC 的中点，则 MN ―→ ＝ ________(用 a，b 表示)． 解析：因为 AN ―→ ＝3 NC ―→ ，所以 AN ―→ ＝3 4 AC ―→ ＝3 4(a＋b)，又因为 AM ―→ ＝a＋1 2b，所以 MN ―→ ＝ AN ―→ － AM ―→ ＝3 4(a＋b)－(a＋1 2b)＝－1 4a＋1 4b. 答案：－1 4a＋1 4b 考点一　平面向量基本定理及其应用　　　　(基础送分型考点——自主练透) [考什么·怎么考] 高考对平面向量基本定理的考查主要是用基底表示其他向量，一般多以选择题、填空题 的形式出现，难度中等. 1.如图，在△ABC 中，BE 是边 AC 的中线，O 是边 BE 的中 点，若 AB ―→ ＝a， AC ―→ ＝b，则 AO ―→ ＝(　　) A.1 2a＋1 2b　　　　　 B.1 2a＋1 3b C.1 4a＋1 2b D.1 2a＋1 4b 解析：选 D　∵在△ABC 中，BE 是边 AC 上的中线， ∴ AE ―→ ＝1 2 AC ―→ . ∵O 是边 BE 的中点， ∴ AO ―→ ＝1 2( AB ―→ ＋ AE ―→ )＝1 2 AB ―→ ＋1 4 AC ―→ ＝1 2a＋1 4b. 2．已知向量 e1，e2 不共线，实数 x，y 满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则 2x－ y＝________. 解析：由平面向量基本定理可知Error! 解得Error!故 2x－y＝9. 答案：9 3.如图，已知▱ABCD 的边 BC，CD 的中点分别是 K，L，且 AK ―→ ＝e1， AL ―→ ＝e2，试用 e1，e2 表示 BC ―→ ， CD ―→ . 解：设 BC ―→ ＝x， CD ―→ ＝y，则 BK ―→ ＝1 2x， DL ―→ ＝－1 2y. 由 AB ―→ ＋ BK ―→ ＝ AK ―→ ， AD ―→ ＋ DL ―→ ＝ AL ―→ ， 得Error! ①＋②×(－2)，得 1 2x－2x＝e1－2e2， 即 x＝－2 3(e1－2e2)＝－2 3e1＋4 3e2， 所以 BC ―→ ＝－2 3e1＋4 3e2. 同理可得 y＝－4 3e1＋2 3e2，即 CD ―→ ＝－4 3e1＋2 3e2. 4．如图，以向量 OA ―→ ＝a， OB ―→ ＝b 为邻边作▱OADB， BM ―→ ＝1 3 BC ―→ ， CN ―→ ＝1 3 CD ―→ ，用 a，b 表示 OM ―→ ，ON ―→ ， MN ―→ . 解：∵ BA ―→ ＝ OA ―→ － OB ―→ ＝a－b， BM ―→ ＝1 6 BA ―→ ＝1 6a－1 6b， ∴ OM ―→ ＝ OB ―→ ＋ BM ―→ ＝1 6a＋5 6b. ∵ OD ―→ ＝a＋b， ∴ ON ―→ ＝ OC ―→ ＋1 3 CD ―→ ＝1 2 OD ―→ ＋1 6 OD ―→ ＝2 3 OD ―→ ＝2 3a＋2 3b， ∴ MN ―→ ＝ ON ―→ － OM ―→ ＝2 3a＋2 3b－1 6a－5 6b＝1 2a－1 6b. 综上， OM ―→ ＝1 6a＋5 6b， ON ―→ ＝2 3a＋2 3b， MN ―→ ＝1 2a－1 6b. [怎样快解·准解] 1．用平面向量基本定理解决问题的一般思路 (1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算 来解决． (2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面 几何的一些性质定理． 2．应用平面向量基本定理应注意的问题 (1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组． (2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的 加减运算或数乘运算． 考点二　平面向量的坐标运算　　　　(基础送分型考点——自主练透) [考什么·怎么考] 高考对平面向量坐标运算的考查主要是用坐标进行线性运算、用坐标运算进行向量的分 解.高考中该类问题多以选择题、填空题的形式出现，难度一般，为中低档题. 1．若向量 a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝(0，5 2 )，则 c 可用向量 a，b 表示为(　　) A.1 2a＋b　　　　　　 B．－1 2a－b C.3 2a＋1 2b D.3 2a－1 2b 解析：选 A　设 c＝xa＋yb，则(0，5 2 )＝(2x－y，x＋2y)，所以Error!解得Error!则 c＝1 2a ＋b. 2．(2018·江西九校联考)已知 O 为坐标原点，向量 OA ―→ ＝(2,3)， OB ―→ ＝(4，－1)，且 AP ―→ ＝3 PB ―→ ，则| OP ―→ |＝________. 解析：设 P(x，y)，由题意可得 A，B 两点的坐标分别为(2,3)，(4，－1)，由 AP ―→ ＝ 3 PB ―→ ，可得Error! 解得Error!故| OP ―→ |＝7 2. 答案：7 2 3．已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设 AB ―→ ＝a， BC ―→ ＝b， CA ―→ ＝c，且 CM ―→ ＝3c， CN ―→ ＝－2b， (1)求 3a＋b－3c； (2)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n； (3)求 M，N 的坐标及向量 MN ―→ 的坐标． 解：由已知得 a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴Error! 解得Error! (3)设 O 为坐标原点， ∵ CM ―→ ＝ OM ―→ － OC ―→ ＝3c， ∴ OM ―→ ＝3c＋ OC ―→ ＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M(0,20)． 又∵ CN ―→ ＝ ON ―→ － OC ―→ ＝－2b， ∴ ON ―→ ＝－2b＋ OC ―→ ＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)，∴ MN ―→ ＝(9，－18)． [怎样快解·准解] 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向 线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个 向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标． (2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 考点三　平面向量共线的坐标表示　　　　(重点保分型考点——师生共研) 高考中对用坐标表示平面向量共线的条件的考查是比较突出的.考查的形式以选择题、填 空题为主，难度中等. [典题领悟] 已知 a＝(1,0)，b＝(2,1)． (1)当 k 为何值时，ka－b 与 a＋2b 共线； (2)若 AB ―→ ＝2a＋3b， BC ―→ ＝a＋mb，且 A，B，C 三点共线，求 m 的值． 解：(1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)， ∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)， a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵ka－b 与 a＋2b 共线， ∴2(k－2)－(－1)×5＝0， ∴k＝－1 2. (2) AB ―→ ＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC ―→ ＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)． ∵A，B，C 三点共线， ∴ AB ―→ ∥ BC ―→ ， ∴8m－3(2m＋1)＝0， ∴m＝3 2. [解题师说] 1．平面向量共线的充要条件的 2 种形式 (1)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件是 x1y2－x2y1＝0. (2)若 a∥b(b≠0)，则 a＝λb. 2．共线问题解含参，列出方程求得解 向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均 非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解． [冲关演练] 1．已知向量 a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若 λ 为实数，(a＋λb)∥c，则 λ＝(　　) A.1 4　　　　　　　　　　　 B.1 2 C．1 D．2 解析：选 B　因为 a＋λb＝(1＋λ，2)，(a＋λb)∥c， 所以1＋λ 3 ＝2 4，所以 λ＝1 2. 2．已知 A(－1，－1)，B(1,3)，C(2,5)，求证：A，B，C 三点共线． 证明：由题意得 AB ―→ ＝(1,3)－(－1，－1)＝(1＋1,3＋1)＝(2,4)， AC ―→ ＝(2,5)－(－1，－1) ＝(2＋1,5＋1)＝(3,6)． 因为 2×6－4×3＝0，所以 AB ―→ ∥ AC ―→ ，又直线 AB 和直线 AC 有公共点 A，所以 A， B，C 三点共线． 普通高中、重点高中共用作业(高考难度一般，无须挖潜) A 级——基础小题练熟练快 1．向量 a，b 满足 a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，则 b＝(　　) A．(－3,4)　　　　　　　　 B．(3,4) C．(3，－4) D．(－3，－4) 解析：选 A　由 a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，得 2b＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)， 所以 b＝1 2(－6,8)＝(－3,4)． 2．若向量 AB ―→ ＝(2,4)， AC ―→ ＝(1,3)，则 BC ―→ ＝(　　) A．(1,1) B．(－1，－1) C．(3,7) D．(－3，－7) 解析：选 B　由向量的三角形法则， BC ―→ ＝ AC ―→ － AB ―→ ＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)． 3．已知向量 a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若 3a－2b＋c＝0，则 c＝(　　) A．(－23，－12) B．(23,12) C．(7,0) D．(－7,0) 解析：选 A　由题意可得 3a－2b＋c＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x，y)＝(23＋x,12＋y)＝ (0,0)，所以Error!解得Error!所以 c＝(－23，－12)． 4．在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线，若 AB ―→ ＝(2,4)， AC ―→ ＝(1,3)，则 BD ―→ ＝(　　) A．(－2，－4) B．(－3，－5) C．(3,5) D．(2,4) 解析：选 B　由题意得 BD ―→ ＝ AD ―→ － AB ―→ ＝ BC ―→ － AB ―→ ＝( AC ―→ － AB ―→ )－ AB ―→ ＝ AC ―→ －2 AB ―→ ＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)． 5．已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，向量 m＝(a， 3b)与 n＝(cos A，sin B)平行，则 A＝(　　) A.π 6 B.π 3 C.π 2 D.2π 3 解析：选 B　因为 m∥n，所以 asin B－ 3bcos A＝0，由正弦定理，得 sin Asin B－ 3 sin Bcos A＝0，又 sin B≠0，从而 tan A＝ 3，由于 00 且向量 a，b 不共线； ②向量 a，b 的夹角为钝角⇔a·b<0 且向量 a，b 不共线． (2)向量的绝对值三角不等式： ||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，可用来求向量模的取值范围． [冲关演练] 1．(2018·广东五校协作体诊断)已知向量 a＝(λ，1)，b＝(λ＋2,1)，若|a＋b|＝|a－b|，则 实数 λ 的值为(　　) A．－1 B．2 C．1 D．－2 解析：选 A　法一：a＋b＝(2λ＋2,2)，a－b＝(－2,0)，由|a＋b|＝|a－b|，可得(2λ＋2)2＋ 4＝4，解得 λ＝－1. 法二：由|a＋b|＝|a－b|，可得 a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，所以 a·b＝0，故 a·b＝(λ， 1)·(λ＋2,1)＝λ2＋2λ＋1＝0，解得 λ＝－1. 2．(2017·山东高考)已知 e1，e2 是互相垂直的单位向量．若 3e1－e2 与 e1＋λe2 的夹角 为 60°，则实数 λ 的值是________． 解析：由题意，得 ( 3e1－e2)·(e1＋λe2) | 3e1－e2|·|e1＋λe2| ＝cos 60°， 故 3－λ 2 1＋λ2＝1 2，解得 λ＝ 3 3 . 答案： 3 3 3．已知 AB ―→ · BC ―→ ＝0，| AB ―→ |＝1，| BC ―→ |＝2， AD ―→ · DC ―→ ＝0，则| BD ―→ |的最大值为 ________． 解析：由 AB ―→ · BC ―→ ＝0 可知， AB ―→ ⊥ BC ―→ . 故以 B 为坐标原点，分别以 BA，BC 所在的直线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系(图 略)， 则由题意，可得 B(0,0)，A(1,0)，C(0,2)．设 D(x，y)， 则 AD ―→ ＝(x－1，y)， DC ―→ ＝(－x,2－y)． 由 AD ―→ · DC ―→ ＝0，可得(x－1)(－x)＋y(2－y)＝0， 整理得 (x－1 2 )2＋(y－1)2＝5 4. 所以点 D 在以 E (1 2，1 )为圆心，半径 r＝ 5 2 的圆上． 因为| BD ―→ |表示 B，D 两点间的距离，而| EB ―→ |＝ (1 2 )2＋12＝ 5 2 . 所以| BD ―→ |的最大值为| EB ―→ |＋r＝ 5 2 ＋ 5 2 ＝ 5. 答案： 5 考点三　平面向量与三角函数的综合　　　　(重点保分型考点——师生共研) 平面向量与三角函数的综合在高考中常有考查.题型多以解答题形式呈现，难度中等，其 共同特点是充分体现平面向量的载体性与工具性. [典题领悟] (2017·江苏高考)已知向量 a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ 3)，x∈[0，π]． (1)若 a∥b，求 x 的值； (2)记 f(x)＝a·b，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值． [思维路径] (1)要求 x 的值，需得到 x 的关系式．由已知条件及两向量共线的坐标表示可得到关于 x 的三角函数式，进而求得 x 的值． (2)要求 f(x)的最值，需把 f(x)的关系式表示出来，由已知条件及 f(x)＝a·b 可得到 f(x)的 关系式是三角函数式，进而把问题转化为三角函数的最值问题，可求解． 解：(1)因为 a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ 3)，a∥b， 所以－ 3cos x＝3sin x. 则 tan x＝－ 3 3 . 又 x∈[0，π]，所以 x＝5π 6 . (2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－ 3) ＝3cos x－ 3sin x＝2 3cos(x＋π 6 ). 因为 x∈[0，π]，所以 x＋π 6∈[π 6，7π 6 ]， 从而－1≤cos(x＋π 6 )≤ 3 2 . 于是，当 x＋π 6＝π 6，即 x＝0 时，f(x)取到最大值 3； 当 x＋π 6＝π，即 x＝5π 6 时，f(x)取到最小值－2 3. [解题师说] 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)给出的向量坐标中含有三角函数，求角的大小，解题思路是运用向量共线或垂直的坐 标表示，或等式成立的条件等，得到三角函数的关系式，然后求解． (2)给出的向量坐标中含有三角函数，求向量的模或者向量的其他表达形式，解题思路是 利用向量的运算，结合三角函数在定义域内的有界性或基本不等式进行求解． [冲关演练] 已知函数 f(x)＝a·b，其中 a＝(2cos x，－ 3sin 2x)，b＝(cos x,1)，x∈R. (1)求函数 y＝f(x)的单调递减区间； (2)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，f(A)＝－1，a＝ 7，且向量 m ＝(3，sin B)与 n＝(2，sin C)共线，求边长 b 和 c 的值． 解：(1)f(x)＝a·b＝2cos2x－ 3sin 2x＝1＋cos 2x－ 3sin 2x＝1＋2cos(2x＋π 3)， 由 2kπ≤2x＋π 3≤2kπ＋π(k∈Z)， 解得 kπ－π 6≤x≤kπ＋π 3(k∈Z)， ∴f(x)的单调递减区间为[kπ－π 6，kπ＋π 3](k∈Z)． (2)∵f(A)＝1＋2cos(2A＋π 3)＝－1， ∴cos(2A＋π 3)＝－1. ∵0I3，作 AG⊥BD 于 G，又 AB＝AD， ∴OB OC ―→ · OD ―→ ，即 I1>I3， ∴I30，∴n>m. 从而∠DBC>45°，又∠BCO＝45°，∴∠BOC 为锐角． 从而∠AOB 为钝角．故 I1<0，I3<0，I2>0. 又 OA1)， OC ―→ ＝－λ2 OA ―→ (λ2>1)， 从而 I3＝ OC ―→ · OD ―→ ＝λ1λ2 OA ―→ · OB ―→ ＝λ1λ2I1， 又 λ1λ2>1，I1<0，I3<0，∴I30，n>0)，若 m＋n＝1，则| OC ―→ |的最小值为(　　) A. 5 2 B. 10 2 C. 5 D. 10 解析：选 C　由 OA ―→ ＝(3,1)， OB ―→ ＝(－1,3)， 得 OC ―→ ＝m OA ―→ －n OB ―→ ＝(3m＋n，m－3n)． 因为 m＋n＝1(m>0，n>0)，所以 n＝1－m，且 0I3，作 AG⊥BD 于 G，又 AB＝AD， ∴OB OC ―→ · OD ―→ ，即 I1>I3， ∴I30，∴n>m. 从而∠DBC>45°，又∠BCO＝45°，∴∠BOC 为锐角． 从而∠AOB 为钝角．故 I1<0，I3<0，I2>0. 又 OA1)， OC ―→ ＝－λ2 OA ―→ (λ2>1)， 从而 I3＝ OC ―→ · OD ―→ ＝λ1λ2 OA ―→ · OB ―→ ＝λ1λ2I1， 又 λ1λ2>1，I1<0，I3<0，∴I3