- 501.50 KB
- 2021-06-16 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2021届一轮复习人教A版 立体几何热点问题 学案
三年考情分析
热点预测
真题印证
核心素养
线、面位置关系的证明与线面角
2018·Ⅰ,18;2018·Ⅱ,20;2016·天津,17;2018·天津,17;2017·北京·16
数学运算、逻辑推理、空间想象
线、面位置关系的证明与二面角
2018·Ⅲ,19;2017·Ⅲ,19;2017·Ⅰ,18;2017·Ⅱ,19;2016·Ⅰ,18;2016·Ⅱ,19
数学运算、逻辑推理、空间想象
审题答题指引
1.教材与高考对接——线面位置关系与空间角
【题根与题源】 (选修2-1 P109例4)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,点E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证:PA∥平面EDB; (2)求证:PB⊥平面EFD;
(3)求二面角C-PB-D的大小.
【试题评析】
1.本例包括了空间向量在立体几何中最主要的两个应用:(1)证明或判定空间中的线面位置关系,(2)求空间角.
2.教材给出的解法虽然都用到了向量,但第(1)(2)题仍然没有脱离线面平行、线面垂直的判定定理,第(3)题是先找到二面角的平面角,然后利用向量求解.
3.除了教材给出的解法外,我们还可以利用相关平面的法向量解答本题,其优点是可以使几何问题代数化.
【教材拓展】
已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为正方形,且PA⊥平面ABCD,tan ∠PBA=,F为PC的中点,求二面角C-AF-D的余弦值.
解 如图所示,因为底面ABCD为正方形,且PA⊥底面ABCD,
所以PA,AB,AD两两垂直,建立空间直角坐标系A-xyz,设AB=1,
则PA=AB·tan ∠PBA=,则B(1,0,0),P,C(1,1,0),
故F,D(0,1,0),
所以=(0,1,0),=,
设平面AFD的法向量为n=(x,y,z),则
得
令z=,得x=-2.所以n=(-2,0,).
连接BD,则BD⊥AC,
又BD⊥PA,所以BD⊥平面AFC,
则=(-1,1,0)就是平面AFC的法向量.
设二面角C-AF-D的大小为θ,
则cos θ===.所以二面角C-AF-D的余弦值为.
【探究提高】
1.本题与教材选修2-1P109例4相比其难点在于不易找到二面角C-AF-D的平面角,或者说找到二面角的平面角对学生来说是一个难点,而利用空间向量,即找到相关平面的法向量来求
二面角,就可化解这个难点,这也是向量法的优势所在.
2.利用向量法解决问题时,要注意运算的正确性.
【链接高考】 (2018·全国Ⅲ卷)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.
(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;
(2)当三棱锥M-ABC体积最大时,求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值.
(1)证明 由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.
因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,
故BC⊥DM.
因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,
所以DM⊥CM.
又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.
而DM⊂平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.
(2)解 以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.
当三棱锥M-ABC体积最大时,M为的中点.
由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),
M(0,1,1),=(-2,1,1),=(0,2,0),=(2,0,0).
设n=(x,y,z)是平面MAB的法向量,
则即可取n=(1,0,2).
是平面MCD的法向量,
因此cos〈n,〉==,sin〈n,〉=.
所以平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值为.
2.教你如何审题——立体几何中的折叠问题
【例题】 (2018·全国Ⅰ卷)如图,四边形ABCD为正方形, E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF.
(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD;
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
【审题路线】
【自主解答】
(1)证明 由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,
又PF∩EF=F,PF,EF⊂平面PEF,
所以BF⊥平面PEF.
又BF⊂平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.
(2)解 作PH⊥EF,垂足为H.由(1)得,PH⊥平面ABFD.
以H为坐标原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.
由(1)可得,DE⊥PE.又DP=2,DE=1,所以PE=.又PF=1,EF=2,故EF2=PE2+PF2,所以PE⊥PF.
可得PH=,EH=.则H(0,0,0),P,D,=,=为平面ABFD的一个法向量.
设DP与平面ABFD所成角为θ,
则sin θ===.
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.
【探究提高】
立体几何中折叠问题的解决方法:
解决立体几何中的折叠问题,关键是搞清楚翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况,一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化,不在同一平面上的性质发生变化.
【尝试训练】 (2019·青岛模拟)如图(1),在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,且BC=2AD=4,E,F分别为线段AB,DC的中点,沿EF把AEFD折起,使AE⊥CF,得到如图(2)的立体图形.
(1)证明:平面AEFD⊥平面EBCF;
(2)若BD⊥EC,求二面角F-BD-C的余弦值.
(1)证明 由折叠可知,AE⊥EF.
因为AE⊥CF,且EF∩CF=F,所以AE⊥平面EBCF.因为AE⊂平面AEFD,所以平面AEFD⊥平面EBCF.(2)解 如图所示,过点D作DG∥AE交EF于点G,连接BG,则DG⊥平面EBCF,所以DG⊥EC.
因为BD⊥EC,BD∩DG=D,
所以EC⊥平面BDG,
所以EC⊥BG.
所以∠BGE+∠GEC=∠CEB+∠GEC,
所以∠BGE=∠CEB,且∠EBC=∠GEB=90°,
所以△EGB∽△BEC,则=,
因为EG=AD=2,BC=4,所以EB=2.
以E为坐标原点,的方向为x轴的正方向,的方向为y轴的正方向,的方向为z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,则F(0,3,0),D(0,2,2),C(2,4,0),A(0,0,2),B(2,0,0).
故=(-2,2,2),=(0,-1,2),=(0,4,0),=(-2,-2,2).
设平面FBD的法向量n=(x,y,z),
则
令z=1,得y=2,x=3,
所以平面FBD的一个法向量是n=(3,2,1).
设平面BCD的法向量m=(a,b,c),
则
令a=1,得b=0,c=1,所以平面BCD的一个法向量是m=(1,0,1).则cos〈n,m〉===.
易知,所求二面角为锐角,
所以二面角F-BD-C的余弦值为.
3.满分答题示范——立体几何中的开放问题
【例题】 (12分)如图所示,在正四棱锥P-ABCD中,底面ABCD的边长为2,侧棱长为2.
(1)若点E为PD上的点,且PB∥平面EAC,试确定E点的位置;
(2)在(1)的条件下,在线段PA上是否存在点F,使平面AEC和平面BDF所成的锐二面角的余弦值为,若存在,求线段PF的长度,若不存在,请说明理由.
【规范解答】
4.高考状元满分心得
❶得步骤分:抓住得分点的步骤,“步步为赢”,求得满分.
如第(1)问中利用线面平行的性质证明线线平行,第(2)问中建系时证明PO,AC,BD两两垂直,以及建系后得到各点的坐标.
❷得关键分:解题过程不可忽视关键点,有则给分,无则没分.如第(1)问中指出点E的位置,第(2)问中求两个平面的法向量和.
❸得计算分:解题过程中计算准确是得满分的根本保证.如第(2)中计算λ的值以及计算线段PF的长度等.
【构建模板】
【规范训练】 (2019·杭州质检)如图,在几何体ABCDEF中,四边形ABCD是边长为2的菱形,DE⊥平面ABCD,BF⊥平面ABCD,DE=2,DE>BF,∠ABC=120°.
(1)当BF长为多少时,平面AEF⊥平面CEF?
(2)在(1)的条件下,求二面角E-AC-F的余弦值.
解 (1)连接BD交AC于点O,则AC⊥BD.
取EF的中点G,连接OG,则OG∥DE.
∵DE⊥平面ABCD,∴OG⊥平面ABCD.
∴OG,AC,BD两两垂直.
以AC,BD,OG所在直线分别作为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系(如图),
设BF=m(0