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  • 2021-06-16 发布

【数学】2019届一轮复习人教A版高考解答题专项突破-概率统计分布列学案

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热点题型1 统计与统计案例 以实际生活中的事例为背景,通过对相关数据的分析进行统计、抽象概括,做出估计与判断.常与抽样方法、频率分布直方图、茎叶图、概率等知识交汇考查,考查考生的数据处理能力和运算求解能力.‎   (2018·合肥质检)为了调查学生星期天晚上学习时间的利用问题,某校从高二年级1000名学生(其中走读生450名,住宿生550名)中,采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷调查.根据问卷取得了这n名同学星期天晚上学习时间(单位:分钟)的数据,按照以下区间分为八组:①[0,30),②[30,60),③[60,90),④[90,120),⑤[120,150),⑥[150,180),⑦[180,210),⑧[210,240),得到频率分布直方图如图.已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人.‎ ‎(1)求n的值并补全频率分布直方图;‎ ‎(2)如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准,对抽取的n名学生,完成下列2×2列联表:‎ 利用时间充分 利用时间不充分 总计 走读生 住宿生 ‎10‎ 总计 据此资料,是否认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关?‎ ‎(3)若在第①组、第②组共抽出2人调查影响有效利用时间的原因,求抽出的2人中第①组、第②组各有1人的概率.‎ 参考数据:‎ P(K2‎ ‎0.‎ ‎0.‎ ‎0.‎ ‎0.‎ ‎0.‎ ‎0.‎ ‎0.‎ ‎≥k0)‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎05‎ ‎025‎ ‎010 ‎ ‎005‎ ‎001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d.‎ 解 (1)设第i组的频率为Pi(i=1,2,…,8),‎ 由图可知P1=×30=,P2=×30=,‎ ‎∴学习时间少于60分钟的频率为P1+P2=,‎ 由题意得n×=5,∴n=100.‎ 又P3=×30=,P5=×30=,‎ P6=×30=,P7=×30=,‎ P8=×30=,‎ ‎∴P4=1-(P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8)=,‎ ‎∴第④组的高度为h=×==,‎ 频率分布直方图如图.‎ ‎(2)由频率分布直方图可知,在抽取的100人中,“住宿生”有55人,“走读生”有45人,利用时间不充分的有100×(P1+P2+P3+P4)=25(人),‎ 从而2×2列联表如下:‎ 利用时间充分 利用时间不充分 总计 走读生 ‎ 30‎ ‎15‎ ‎45‎ 住宿生 ‎ 45‎ ‎10‎ ‎55‎ 总计 ‎ 75‎ ‎ 25‎ ‎100‎ 将2×2列联表中的数据代入公式计算,‎ 得K2= ‎= ‎=≈3.030.‎ ‎∵3.030<3.841,‎ ‎∴没有理由认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关.‎ ‎(3)由题可知第①组人数为100×P1=2(人),第②组人数为100×P2=3(人),‎ 记第①组的2人为A1,A2,第②组的3人为B1,B2,B3,‎ 则“从5人中抽取2人”所构成的基本事件有A‎1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A2B1,A2B2,A2B3,B1B2,B1B3,B2B‎3”‎,共10个基本事件;‎ 记“抽取2人中第①组、第②组各有1人”记作事件A,则事件A所包含的基本事件有A1B1,A1B2,A1B3,A2B1,A2B2,A2B3,共6个基本事件,‎ ‎∴P(A)==,‎ 即抽出的2人中第①组、第②组各有1人的概率为.‎ 热点题型2 概率与统计的综合 以实际问题为背景,利用频率估计概率,常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率及其分布列等知识交汇命题,考查考生分析问题及解决问题的能力.‎   (2017·江西新余模拟)‎2016年10月21日,台风“海马”导致江苏、福建、广东3省11市51个县(市、区)189.9万人受灾,某调查小组调查了受灾某小区的100户居民由于台风造成的经济损失,将收集的数据(单位:元)分成[0,2000],(2000,4000],(4000,6000],(6000,8000],(8000,10000]五组,并作出如图所示的频率分布直方图.‎ ‎(1)台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款,小张调查的100户居民捐款情况如下表所示,在表格空白处填写正确数字,并说明能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为捐款数额超过或不超过500元和自家经济损失是否超过4000元有关;‎ ‎(2)将上述调查所得到的频率视为概率,现在从该地区大量受灾居民中,采用随机抽样的方法每次抽取1户居民,抽取3次,记抽取的3户居民中自家经济损失超过4000元的户数为ξ,若每次抽取的结果是相互独立的,求ξ的分布列、期望E(ξ)和方差D(ξ).‎ K2=.‎ 解 (1)由频率分布直方图可得,在抽取的100户中,经济损失不超过4000元的有70户,经济损失超过4000元的有30户,补全表格数据如下:‎ 则K2=≈4.762.‎ 因为4.762>3.841.‎ 所以可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为捐款数额超过或不超过500元和自家经济损失是否超过4000元有关.‎ ‎(2)由频率分布直方图可知抽到自家经济损失超过4000元的居民的频率为0.3,将频率视为概率,由题意知ξ的可能取值为0,1,2,3,且ξ~B,‎ P(ξ=0)=C03=,‎ P(ξ=1)=C12=,‎ P(ξ=2)=C21=,‎ P(ξ=3)=C30=.‎ 从而ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(ξ)=np=3×=0.9,D(ξ)=np(1-p)=3××=0.63.‎ 热点题型3 离散型随机变量的分布列、期望与方差 离散型随机变量分布列及均值与方差及其应用是高考中的一个热点.解题时要弄清离散型随机变量的所有取值及每个取值下对应的概率,对概型的确定及转化是解题的关键.‎   (2017·河南质监)小李参加一种红包接龙游戏:他在红包里塞了12元,然后发给朋友A,如果A猜中,A将获得红包里的所有金额;如果A未猜中,A将当前的红包转发给朋友B,如果B猜中,A、B平分红包里的金额;如果B未猜中,B将当前的红包转发给朋友C,如果C猜中,A、B和C平分红包里的金额;如果C未猜中,红包里的钱将退回小李的帐户,设A、B、C猜中的概率分别为,,,且A、B、C是否猜中互不影响.‎ ‎(1)求A恰好获得4元的概率;‎ ‎(2)设A获得的金额为X元,求X的分布列;‎ ‎(3)设B获得的金额为Y元,C获得的金额为Z元,判断A所获得的金额的期望能否超过Y的期望与Z的期望之和.‎ 解 (1)A恰好获得4元的概率为××=.‎ ‎(2)X的可能取值为0,4,6,12,‎ P(X=4)=,P(X=0)=××=,‎ P(X=6)=×=,P(X=12)=,‎ 所以X的分布列为:‎ X ‎0‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎12‎ P ‎(3)Y的可能取值为0,4,6;Z的可能取值为0,4.‎ 因为P(Y=0)=+××=,‎ P(Y=4)=××=,‎ P(Y=6)=×=,‎ P(Z=0)=+×+××=,‎ P(Z=4)=××=,‎ 所以E(Y)=0×+4×+6×=,‎ E(Z)=0×+4×=,‎ 所以E(Y)+E(Z)=,‎ 又E(X)=0×+4×+6×+12×=,‎ 由于E(X)>E(Y)+E(Z),所以A所获得的金额的期望能超过Y的期望与Z的期望之和.‎ 热点题型4 样本数字特征与正态分布的综合 样本的数字特征与正态分布及概率分布列的综合在高考中时有出现,体现了知识网络的交汇,命题新颖,具有一定的创新性.解决与正态分布有关的问题重在理解μ,σ2的意义及密度曲线的对称性.‎   (2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).‎ ‎(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;‎ ‎(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.‎ ‎①试说明上述监控生产过程方法的合理性;‎ ‎②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:‎ 经计算得=i=9.97,s==≈0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.‎ 用样本平均数作为μ的估计值,用样本标准差s作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查.剔除(-3,+3)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).‎ 附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ