【数学】2020届一轮复习人教A版第四章第2节同角三角函数基本关系式与诱导公式学案 13页

‎ 第2节　同角三角函数基本关系式与诱导公式 最新考纲　1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.‎ 知 识 梳 理 ‎1.同角三角函数的基本关系 ‎(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.‎ ‎(2)商数关系：＝tan__α.‎ ‎2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 ‎2kπ＋α(k∈Z)‎ π＋α ‎－α π－α －α ＋α 正弦 sin α ‎－sin__α ‎－sin__α sin__α cos__α cos__α 余弦 cos α ‎－cos__α cos__α ‎－cos__α sin__α ‎－sin__α 正切 tan α tan__α ‎－tan__α ‎－tan__α 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 ‎ [微点提醒]‎ ‎1.同角三角函数关系式的常用变形 ‎(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.‎ ‎2.诱导公式的记忆口诀 ‎“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.‎ ‎3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.‎ 基 础 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.(　　)‎ ‎(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.(　　)‎ ‎(3)若α∈R，则tan α＝恒成立.(　　)‎ ‎(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　)‎ 解析　(1)中对于任意α∈R，恒有sin(π＋α)＝－sin α.‎ ‎(3)中当α的终边落在y轴上，商数关系不成立.‎ ‎(4)当k为奇数时，sin α＝，‎ 当k为偶数时，sin α＝－.‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×‎ ‎2.(必修4P21A12改编)已知tan α＝－3，则cos2α－sin2α＝(　　)‎ A. B.－ C. D.－ 解析　由同角三角函数关系得cos2α－sin2α＝＝＝＝－.‎ 答案　B ‎3.(必修4P29B2改编)已知α为锐角，且sin α＝，则cos (π＋α)＝(　　)‎ A.－ B. C.－ D. 解析　因为α为锐角，所以cos α＝＝，‎ 故cos(π＋α)＝－cos α＝－.‎ 答案　A ‎4.(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　)‎ A.－ B.－ C. D. 解析　∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α，‎ ‎∴sin 2α＝1－＝－.‎ 答案　A ‎5.(2019·济南质检)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α＝(　　)‎ A. B.－ C. D.－ 解析　∵sin α＝－，α为第四象限角，‎ ‎∴cos α＝＝，因此tan α＝＝－.‎ 答案　D ‎6.(2018·成都月考)化简：＝________.‎ 解析　原式＝＝＝1.‎ 答案　1‎ 考点一　同角三角函数基本关系式的应用 ‎【例1】 (1)(2018·兰州测试)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α＝(　　)‎ A.－ B. C.－ D. ‎(2)(2019·平顶山联考)已知＝5，则cos2α＋sin 2α＝(　　)‎ A. B.－ C.－3 D.3‎ 解析　(1)∵<α<，‎ ‎∴cos α<0，sin α<0且cos α>sin α，‎ ‎∴cos α－sin α>0.‎ 又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，‎ ‎∴cos α－sin α＝.‎ ‎(2)由＝5得＝5，可得tan α＝2，‎ 则cos2α＋sin 2α＝cos2α＋sin αcos α＝＝＝.‎ 答案　(1)B　(2)A 规律方法　1.利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化.‎ ‎2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.‎ ‎3.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.‎ ‎【训练1】 (1)若3sin α＋cos α＝0，则的值为(　　)‎ A. B. C. D.－2‎ ‎(2)(2018·全国Ⅱ卷)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.‎ 解析　(1)3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0⇒tan α＝－，＝＝ ‎＝＝.‎ ‎(2)由sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，‎ 两式平方相加，得2＋2sin αcos β＋2cos αsin β＝1，‎ 整理得sin(α＋β)＝－.‎ 答案　(1)A　(2)－ 考点二　诱导公式的应用 ‎【例2】 (1)(2019·衡水中学调研)若cos＝，则cos(π－2α)＝(　　)‎ A. B. C.－ D.－ ‎(2)设f(α)＝(1＋2sin α≠0)，则f＝________.‎ 解析　(1)由cos＝，得sin α＝.‎ ‎∴cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×－1＝－.‎ ‎(2)∵f(α)＝ ‎＝＝＝，‎ ‎∴f＝＝＝.‎ 答案　(1)D　(2) 规律方法　1.诱导公式的两个应用 ‎(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.‎ ‎(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.‎ ‎2.含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.‎ ‎【训练2】 (1)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin α＝，则sin β＝________.‎ ‎(2)已知cos＝a，则cos＋sin的值是________.‎ 解析　(1)α与β的终边关于y轴对称，则α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z.‎ ‎∴sin β＝sin(π－α＋2kπ)＝sin α＝.‎ ‎(2)∵cos＝cos＝－cos ‎＝－a，‎ sin＝sin＝a，‎ ‎∴cos＋sin＝－a＋a＝0.‎ 答案　(1)　(2)0‎ 考点三　同角三角函数基本关系式与诱导公式的活用 ‎【例3】 (1)(2019·菏泽联考)已知α∈，sin＝，则tan(π＋2α)＝(　　)‎ A. B.± C.± D. ‎(2)(2018·福州调研)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析　(1)∵α∈，sin＝，‎ ‎∴cos α＝，sin α＝－，tan α＝＝－2.‎ ‎∴tan(π＋2α)＝tan 2α＝＝＝.‎ ‎(2)由已知得 消去sin β，得tan α＝3，‎ ‎∴sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，‎ 化简得sin2α＝，则sin α＝(α为锐角).‎ 答案　(1)A　(2)C ‎(3)已知－π0，∴sin x－cos x<0，‎ 故sin x－cos x＝－.‎ ‎②＝ ‎＝ ‎＝＝－.‎ 规律方法　1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.‎ ‎2.(1)注意角的范围对三角函数值符号的影响，开方时先判断三角函数值的符号；‎ ‎(2)熟记一些常见互补的角、互余的角，如－α与＋α互余等.‎ ‎【训练3】 (1)(2019·湖北七州市联考)已知α∈(0，π)，且cos α＝－，则sin·tan α＝(　　)‎ A.－ B.－ C. D. ‎(2)(2016·全国Ⅰ卷)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.‎ 解析　(1)∵α∈(0，π)，且cos α＝－，∴sin α＝，‎ 因此sin·tan α＝cos α·＝sin α＝.‎ ‎(2)由题意，得cos＝，∴tan＝.‎ ‎∴tan＝tan＝－＝－.‎ 答案　(1)C　(2)－ ‎[思维升华]‎ ‎1.同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明.‎ ‎2.三角函数求值、化简的常用方法：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x＝进行切化弦或弦化切，如，asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x等类型可进行弦化切.‎ ‎(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化.‎ ‎(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ(1＋)＝tan 等.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.利用诱导公式进行化简求值时，可利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐.‎ 特别注意函数名称和符号的确定.‎ ‎2.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1.sin 600°的值为(　　)‎ A.－ B.－ C. D. 解析　sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°‎ ‎＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.‎ 答案　B ‎2.(2019·衡水模拟)已知直线2x－y－1＝0的倾斜角为α，则sin 2α－2cos2α＝(　　)‎ A. B.－ C.－ D.－ 解析　由题意知tan α＝2，‎ ‎∴sin 2α－2cos2α＝＝＝.‎ 答案　A ‎3.＝(　　)‎ A.sin 2－cos 2 B.sin 2＋cos 2‎ C.±(sin 2－cos 2) D.cos 2－sin 2 ‎ 解析　＝ ‎＝＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.‎ 答案　A ‎4.已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，则θ等于(　　)‎ A.－ B.－ C. D. 解析　∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，‎ ‎∴－sin θ＝－cos θ，‎ ‎∴tan θ＝，∵|θ|＜，∴θ＝.‎ 答案　D ‎5.已知sin＝，则cos＝(　　)‎ A. B. C.－ D.－ 解析　因为sin＝，所以cos＝sin＝sin＝.‎ 答案　B ‎6.向量a＝，b＝(cos α，1)，且a∥b，则cos＝(　　)‎ A.－ B. C.－ D.－ 解析　∵a＝，b＝(cos α，1)，且a∥b，‎ ‎∴×1－tan αcos α＝0，∴sin α＝，‎ ‎∴cos＝－sin α＝－.‎ 答案　A ‎7.已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 020)的值为(　　)‎ A.－1 B.1 C.3 D.－3‎ 解析　∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)＝asin α＋bcos β＝3，‎ ‎∴f(2 020)＝asin(2 020π＋α)＋bcos(2 020π＋β)＝asin α＋bcos β＝3.‎ 答案　C 二、填空题 ‎8.已知sin α＝－，且α为第三象限的角，则tan α＝______.‎ 解析　∵sin α＝－，且α为第三象限的角，‎ ‎∴cos α＝－＝－，∴tan α＝＝.‎ 答案　 ‎9.已知tan＝，则tan＝________.‎ 解析　∵＋＝π，‎ ‎∴tan＝tan＝－tan＝－.‎ 答案　－ ‎10.已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为________.‎ 解析　∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝.‎ 又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，‎ 又∵θ∈，∴sin θ－cos θ＝－.‎ 答案　－ ‎11.已知tan θ＝3，则cos＝________.‎ 解析　∵tan θ＝3，∴cos＝sin 2θ＝＝＝＝.‎ 答案　 ‎12.(2019·邯郸一模)若sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，且α，β∈，则＝________.‎ 解析　由条件，得sin(α＋β)＝3sin(α－β)，‎ ‎∴sin αcos β＝2cos αsin β，则tan α＝2tan β，‎ 因此＝2.‎ 答案　2‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：20分钟)‎ ‎13.若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为(　　)‎ A.1＋ B.1－ C.1± D.－1－ 解析　由题意知sin θ＋cos θ＝－，sin θ·cos θ＝.‎ 又＝1＋2sin θcos θ，‎ ‎∴＝1＋，解得m＝1±.‎ 又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.‎ 答案　B ‎14.已知sincos＝，且0<α<，则sin α＝________，cos α＝________.‎ 解析　sincos＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝.‎ ‎∵0<α<，∴0