【数学】2020届北京一轮复习通用版11-3二项分布与正态分布作业 9页

‎11.3　二项分布与正态分布 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 ‎1.条件概率、相互独立事件及二项分布 了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题 ‎2015北京,16‎ ‎2014北京,16‎ 两个事件相互独立的概率的求法 互斥事件的概率公式、期望和平均数 ‎★★★‎ ‎2.正态分布及其应用 利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 ‎2017课标Ⅰ,19‎ 正态分布的应用 求数学期望 ‎★☆☆‎ 分析解读　　1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念,掌握求条件概率的步骤,会求条件概率.2.掌握独立事件的概率求法,能用二项分布解决实际问题.3.了解正态分布与正态曲线的概念,掌握正态曲线的性质.4.独立事件的概率为近几年高考的热点.本节在高考中难度为易或中等.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　条件概率、相互独立事件及二项分布 ‎1.随机变量ξ~B(n,p),且Eξ=300,Dξ=200,则np等于(　　)‎ A.3 200　　　　B.2 700　　　　C.1 350　　　　D.1 200‎ 答案　B　‎ ‎2.(2014课标Ⅱ,5,5分)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是(　　)‎ A.0.8　　　　B.0.75　　　　C.0.6　　　　D.0.45‎ 答案　A　‎ ‎3.某篮球队甲、乙两名球员在一个赛季中前10场比赛中投篮命中情况统计如下表注:表中分数nN,N表示投篮次数,n表示命中次数,假设各场比赛相互独立.‎ ‎　　　场次 球员　　　‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 甲 ‎5‎‎13‎ ‎4‎‎12‎ ‎14‎‎30‎ ‎5‎‎9‎ ‎14‎‎19‎ ‎10‎‎16‎ ‎12‎‎23‎ ‎4‎‎8‎ ‎6‎‎13‎ ‎10‎‎19‎ 乙 ‎13‎‎26‎ ‎9‎‎18‎ ‎9‎‎14‎ ‎8‎‎16‎ ‎6‎‎15‎ ‎10‎‎14‎ ‎7‎‎21‎ ‎9‎‎16‎ ‎10‎‎22‎ ‎12‎‎20‎ 根据统计表的信息:‎ ‎(1)从上述比赛中等可能随机选择一场,分别求甲、乙球员在该场比赛中投篮命中率大于50%的概率;‎ ‎(2)试估计甲、乙两名球员在第11场比赛中恰有一人的命中率大于50%的概率;‎ ‎(3)在接下来的3场比赛中,用X表示这3场比赛中乙球员的命中率大于50%的场数,试写出X的分布列,并求X的数学期望.‎ 解析　(1)根据投篮统计数据知,在10场比赛中,甲球员的投篮命中率大于50%的场次有5场,‎ 所以在随机选择的一场比赛中,甲球员的投篮命中率大于50%的概率是‎1‎‎2‎.‎ 在10场比赛中,乙球员的投篮命中率大于50%的场次有4场,‎ 所以在随机选择的一场比赛中,乙球员的投篮命中率大于50%的概率是‎2‎‎5‎. ‎ ‎(2)设在一场比赛中,甲、乙两名球员恰有一人命中率大于50%为事件A,甲球员的命中率大于50%且乙球员的命中率不大于50%为事件B1,乙球员的命中率大于50%且甲球员的命中率不大于50%为事件B2,‎ 则P(A)=P(B1)+P(B2)=‎1‎‎2‎×‎3‎‎5‎+‎1‎‎2‎×‎2‎‎5‎=‎1‎‎2‎.‎ ‎(3)X的可能取值为0,1,2,3.‎ P(X=0)=C‎3‎‎0‎‎2‎‎5‎‎0‎‎3‎‎5‎‎3‎=‎27‎‎125‎;‎ P(X=1)=C‎3‎‎1‎‎2‎‎5‎‎1‎‎3‎‎5‎‎2‎=‎54‎‎125‎;‎ P(X=2)=C‎3‎‎2‎‎2‎‎5‎‎2‎‎3‎‎5‎‎1‎=‎36‎‎125‎;‎ P(X=3)=C‎3‎‎3‎‎2‎‎5‎‎3‎=‎8‎‎125‎.‎ X的分布列如下表:‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎27‎‎125‎ ‎54‎‎125‎ ‎36‎‎125‎ ‎8‎‎125‎ 所以EX=3×‎2‎‎5‎=‎6‎‎5‎.‎ 思路分析　(1)利用原始数据找到符合要求的场次,从而求出概率;(2)把“恰有一人命中率大于50%”分解为互斥事件的和,求概率;(3)利用(1)中的概率,结合3次独立重复试验和二项分布求分布列和数学期望.‎ 考点二　正态分布及其应用 ‎4.已知随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2).若P(ξ>2)=0.023,则P(-2≤ξ≤2)=(　　)‎ A.0.477　　　　B.0.628　　　　C.0.954　　　　D.0.977‎ 答案　C　‎ ‎5.设X~N(μ1,σ‎1‎‎2‎),Y~N(μ2,σ‎2‎‎2‎),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是(　　)‎ A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)‎ B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)　　　　C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)‎ D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)‎ 答案　C　‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　独立重复试验及二项分布问题的求解方法 ‎1.(2017课标Ⅱ,13,5分)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则DX=　　　　. ‎ 答案　1.96‎ ‎2.(2015广东,13,5分)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p=　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎3‎ 方法2　正态分布及其应用方法 ‎3.某校在高三第一次模拟考试中约有1 000人参加考试,其数学考试成绩近似服从正态分布,即X~ N(100,a2)(a>0),试卷满分为150分,统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的‎1‎‎10‎,则此次数学考试成绩在100分到110分(包含100分和110分)之间的人数约为(　　)‎ A.400　　　　B.500　　　　C.600　　　　D.800‎ 答案　A　‎ ‎4.高三某班有50名学生,一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N(105,102),已知P(95≤ξ≤105)=0.341 3,该班学生此次考试数学成绩在115分以上的概率为(　　)‎ A.0.158 7　　　　B.0.341 3　　　　C.0.182 6　　　　D.0.500 0‎ 答案　A　‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　自主命题·北京卷题组 ‎1.(2015北京,16,13分,0.79)A,B两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:‎ A组:10,11,12,13,14,15,16;‎ B组:12,13,15,16,17,14,a.‎ 假设所有病人的康复时间互相独立,从A,B两组随机各选1人,A组选出的人记为甲,B组选出的人记为乙.‎ ‎(1)求甲的康复时间不少于14天的概率;‎ ‎(2)如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;‎ ‎(3)当a为何值时,A,B两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)‎ 解析　设事件Ai为“甲是A组的第i个人”,‎ 事件Bj为“乙是B组的第j个人”,i,j=1,2,…,7.‎ 由题意可知P(Ai)=P(Bj)=‎1‎‎7‎,i,j=1,2,…,7.‎ ‎(1)由题意知,事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人,或者第6人,或者第7人”,所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A5∪A6∪A7)=P(A5)+P(A6)+P(A7)=‎3‎‎7‎.‎ ‎(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”.‎ 由题意知,C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6.‎ 因此P(C)=P(A4B1)+P(A5B1)+P(A6B1)+P(A7B1)+P(A5B2)+P(A6B2)+P(A7B2)+P(A7B3)+P(A6B6)+P(A7B6)=10P(A4B1)=10P(A4)P(B1)=‎10‎‎49‎.‎ ‎(3)a=11或a=18.‎ ‎2.(2014北京,16,13分)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立):‎ 场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数 主场1‎ ‎22‎ ‎12‎ 客场1‎ ‎18‎ ‎8‎ 主场2‎ ‎15‎ ‎12‎ 客场2‎ ‎13‎ ‎12‎ 主场3‎ ‎12‎ ‎8‎ 客场3‎ ‎21‎ ‎7‎ 主场4‎ ‎23‎ ‎8‎ 客场4‎ ‎18‎ ‎15‎ 主场5‎ ‎24‎ ‎20‎ 客场5‎ ‎25‎ ‎12‎ ‎(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率;‎ ‎(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率;‎ ‎(3)记x为表中10个命中次数的平均数.从上述比赛中随机选择一场,记X为李明在这场比赛中的命中次数.比较EX与x的大小.(只需写出结论)‎ 解析　(1)根据投篮统计数据知,在10场比赛中,李明投篮命中率超过0.6的场次有5场,分别是主场2,主场3,主场5,客场2,客场4.‎ 所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.‎ ‎(2)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6”.‎ 则C=AB∪AB,A,B独立.‎ 根据投篮统计数据知,P(A)=‎3‎‎5‎,P(B)=‎2‎‎5‎.‎ P(C)=P(AB)+P(AB)=‎3‎‎5‎×‎3‎‎5‎+‎2‎‎5‎×‎2‎‎5‎=‎13‎‎25‎.‎ 所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率为‎13‎‎25‎.‎ ‎(3)EX=x.‎ 思路分析　(1)根据投篮统计数据知,在10场比赛中,投篮命中率超过0.6的场次有5场,从而得出概率;(2)根据事件相互独立,利用相互独立事件的概率乘法公式求出结果;(3)根据平均数和均值的意义比较EX和x的大小.‎ B组　统一命题、省(区、市)卷题组 考点一　条件概率、相互独立事件及二项分布 ‎1.(2018课标Ⅲ,8,5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)