【数学】2019届一轮复习人教A版立体几何中的向量方法（二）求空间角学案 9页

立体几何中的向量方法（二）求空间角 【考点梳理】 1.异面直线所成的角 设 a，b 分别是两异面直线 l1，l2 的方向向量，则 a 与 b 的夹角 β l1 与 l2 所成的角 θ 范围 (0，π) 求法 cos β＝ a·b |a||b| cos θ＝|cos β|＝|a· b| |a||b| 2.求直线与平面所成的角 设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角为 θ， 则 sin θ＝|cos〈a，n〉|＝|a· n| |a||n|. 3.求二面角的大小 (1)如图①，AB，CD 是二面角 α－l－β 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面 角的大小 θ＝__〈AB→ ，CD→ 〉. (2)如图②③，n1，n2 分别是二面角 α－l－β 的两个半平面 α，β的法向量，则 二面角的大小 θ 满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角). 【考点突破】 考点一、利用空间向量求异面直线所成的角 【例 1】在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠BCA＝90°，M，N 分别是 A1B1，A1C1 的中点，BC＝CA＝CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为(　　) A． 1 10 B．2 5 C． 30 10 D． 2 2 [答案] C [解析] 建立如图所示的空间直角坐标系 C－xy ，设 BC＝2，则 B(0，2，0)， A(2，0，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，所以BM→ ＝(1，－1，2)，AN→ ＝(－1，0，2)， 故 BM 与 AN 所成角 θ 的余弦值 cos θ＝ |BM→ ·AN→ | |BM→ |·|AN→ | ＝ 3 6 × 5＝ 30 10 . 【类题通法】 1．利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：①选好基底或建立空间直角 坐标系；②求出两直线的方向向量 v1，v2；③代入公式|cos〈v1，v2〉|＝|v1·v2| |v1||v2|求 解. 2．两异面直线所成角的范围是 θ∈(0， π 2 ]，两向量的夹角 α 的范围是[0，π]， 当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直 线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角. 【对点训练】 在正方体 A1B1C1D1－ABCD 中，AC 与 B1D 所成的角的大小为(　　) A．π 6 B．π 4 C．π 3 D．π 2 [答案] C [解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为 1，则 A(0，0，0)， C(1，1，0)，B1(1，0，1)，D(0，1，0). ∴AC→ ＝(1，1，0)，B1D→ ＝(－1，1，－1)， ∵AC→ ·B1D→ ＝1×(－1)＋1×1＋0×(－1)＝0， ∴AC→ ⊥B1D→ ， ∴AC 与 B1D 所成的角为π 2 . 考点二、利用空间向量求直线与平面所成的角 【例 2】如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，B1B＝B1A＝AB＝BC，∠B1BC＝90°， D 为 AC 的中点，AB⊥B1D. (1)求证：平面 ABB1A1⊥平面 ABC； (2)求直线 B1D 与平面 ACC1A1 所成角的正弦值. [解析] (1)取 AB 中点为 O，连接 OD，OB1， ∵B1B＝B1A，∴OB1⊥AB. 又 AB⊥B1D，OB1∩B1D＝B1， ∴AB⊥平面 B1OD， ∵OD⊂平面 B1OD，∴AB⊥OD. ∵∠B1BC＝90°，即 BC⊥BB1， 又 OD∥BC，∴OD⊥BB1，又 AB∩BB1＝B， ∴OD⊥平面 ABB1A1， 又 OD⊂平面 ABC， ∴平面 ABC⊥平面 ABB1A1. (2)由(1)知，OB，OD，OB1 两两垂直. 以 O 为坐标原点，OB→ 的方向为 x 轴的方向，|OB→ |为单位长度 1，建立如图所示的 空间直角坐标系 O－xy . 由题设知 B1(0，0， 3)，D(0，1，0)，A(－1，0，0)，C(1，2，0)，C 1(0，2， 3). 则B1D→ ＝(0，1，－ 3)，AC→ ＝(2，2，0)，CC1→ ＝(－1，0， 3). 设 平 面 ACC1A1 的 一 个 法 向 量 为 m ＝ (x ， y ， ) ， 则 由 {m·AC→ ＝0， m·CC1→ ＝0， 得 {x＋y＝0， －x＋ 3z＝0，取 m＝( 3，－ 3，1). ∴cos〈B1D→ ，m〉＝ B1D→ ·m |B1D→ ||m| ＝ 0 × 3＋1 × （－ 3）＋（－ 3） × 1 02＋12＋（－ 3）2 × （ 3）2＋（－ 3）2＋12 ＝－ 21 7 ， ∴直线 B1D 与平面 ACC1A1 所成角的正弦值为 21 7 . 【类题通法】 利用向量法求线面角的方法： (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量 的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角 或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 【对点训练】 如图，三棱柱 ABC－A1B1C1 中，底面 ABC 为等腰直角三角形，AB＝AC＝1，BB1 ＝2，∠ABB1＝60°. (1)证明：AB⊥B1C； (2)若 B1C＝2，求 AC1 与平面 BCB1 所成角的正弦值. [解析] (1)连接 AB1，在△ABB1 中，AB＝1，BB1＝2，∠ABB1＝60°， 由余弦定理得，AB21＝AB2＋BB21－2AB·BB1·cos∠ABB1＝3， ∴AB1＝ 3，∴BB21＝AB2＋AB21， ∴AB1⊥AB. 又△ABC 为等腰直角三角形，且 AB＝AC， ∴AC⊥AB，∵AC∩AB1＝A， ∴AB⊥平面 AB1C. 又 B1C⊂平面 AB1C，∴AB⊥B1C. (2)∵AB1＝ 3，AB＝AC＝1，B1C＝2， ∴B1C2＝AB21＋AC2，∴AB1⊥AC. 如图，以 A 为原点，以AB→ ，AC→ ，AB1→ 的方向分别为 x 轴，y 轴， 轴的正方向建立 空间直角坐标系，则 A(0，0，0)，B1(0，0， 3)，B(1，0，0)，C(0，1，0)， ∴BB1→ ＝(－1，0， 3)，BC→ ＝(－1，1，0). 设平面 BCB1 的一个法向量为 n＝(x，y， )， 由{BB1→ ·n＝0， BC→ ·n＝0， 得{－x＋ 3z＝0， －x＋y＝0， 令 ＝1，得 x＝y＝ 3， ∴平面 BCB1 的一个法向量为 n＝( 3，3，1). ∵AC1→ ＝AC→ ＋CC1→ ＝AC→ ＋BB1→ ＝(0，1，0)＋(－1，0， 3)＝(－1，1， 3)， ∴cos〈AC1→ ，n〉＝ AC1→ ·n |AC1→ ||n| ＝ 3 5 × 7＝ 105 35 ， ∴AC1 与平面 BCB1 所成角的正弦值为 105 35 . 考点三、利用空间向量求二面角 【例 3】如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，平面 ABEF 为正 方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角 D－AF－E 与二面角 C－BE－F 都是 60°. (1)证明：平面 ABEF⊥平面 EFDC； (2)求二面角 E－BC－A 的余弦值. [解析] (1)由已知可得 AF⊥DF，AF⊥EF， 所以 AF⊥平面 EFDC. 又 AF⊂平面 ABEF， 故平面 ABEF⊥平面 EFDC. (2)过 D 作 DG⊥EF，垂足为 G. 由(1)知 DG⊥平面 ABEF. 以 G 为坐标原点，GF→ 的方向为 x 轴正方向，|GF→ |为单位长，建立如图所示的空 间直角坐标系 G－xy . 由(1)知∠DFE 为二面角 D－AF－E 的平面角，故∠DFE＝60°，则|DF|＝2， |DG|＝ 3. 可得 A(1，4，0)，B(－3，4，0)，E(－3，0，0)，D(0，0， 3). 由已知得 AB∥EF，所以 AB∥平面 EFDC. 又平面 ABCD∩平面 EFDC＝CD， 故 AB∥CD，CD∥EF. 由 BE∥AF，可得 BE⊥平面 EFDC， 所以∠CEF 为二面角 C－BE－F 的平面角，∠CEF＝60°. 从而可得 C(－2，0， 3). 所以EC→ ＝(1，0， 3)，EB→ ＝(0，4，0)， AC→ ＝(－3，－4， 3)，AB→ ＝(－4，0， 0). 设 n＝(x，y， )是平面 BCE 的法向量， 则{n·EC→ ＝0， n·EB→ ＝0， 即{x＋ 3z＝0， 4y＝0， 所以可取 n＝(3，0，－ 3). 设 m 是平面 ABCD 的法向量，则{m·AC→ ＝0， m·AB→ ＝0， 同理可取 m＝(0，3，4). 则 cos〈n，m〉＝ n·m |n||m| ＝－2 19 19 . 故二面角 E－BC－A 的余弦值为－2 19 19 . 【类题通法】 利用向量计算二面角大小的常用方法： (1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两 个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大 小. (2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以 垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小. 【对点训练】 如图，在四棱锥 P­ABCD 中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°. (1)证明：平面 PAB⊥平面 PAD； (2)若 PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角 A­PB­C 的余弦值． [解析] (1)由已知∠BAP＝∠CDP＝90°， 得 AB⊥AP，CD⊥PD. 因为 AB∥CD，所以 AB⊥PD. 又 AP∩PD＝P，所以 AB⊥平面 PAD. 又 AB⊂平面 PAB，所以平面 PAB⊥平面 PAD. (2)在平面 PAD 内作 PF⊥AD，垂足为 F. 由(1)可知，AB⊥平面 PAD， 故 AB⊥PF，又 AD∩AB＝A， 可得 PF⊥平面 ABCD. 以 F 为坐标原点， FA ―→ 的方向为 x 轴正方向，| AB―→ |为单位长度，建立如图所 示的空间直角坐标系 F­xy . 由(1)及已知可得 A( 2 2 ，0，0)，P(0，0， 2 2 )，B( 2 2 ，1，0)，C(－ 2 2 ，1，0). 所以 PC ―→ ＝ (－ 2 2 ，1，－ 2 2 )， CB ―→ ＝( 2，0,0)， PA ―→ ＝ ( 2 2 ，0，－ 2 2 )， AB―→ ＝(0,1,0)． 设 n＝(x1，y1， 1)是平面 PCB 的法向量， 则Error!即Error! 所以可取 n＝(0，－1，－ 2)． 设 m＝(x2，y2， 2)是平面 PAB 的法向量， 则Error!即Error! 所以可取 m＝(1,0,1)． 则 cos〈n，m〉＝ n·m |n||m| ＝ － 2 3 × 2 ＝－ 3 3 . 由图知二面角 A­PB­C 为钝角， 所以二面角 A­PB­C 的余弦值为－ 3 3 .