【数学】2020届一轮复习人教A版第二章第4节幂函数与二次函数学案 16页

第 4 节　幂函数与二次函数 最新考纲　1.了解幂函数的概念；结合函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 1 2 ，y＝1 x 的图 象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、 不等式之间的关系解决简单问题. 知 识 梳 理 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如 y＝xα 的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，α 为常数. (2)常见的 5 种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当 α>0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当 α<0 时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2 为 f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象(抛 物线) 定义域 R 值域 [4ac－b2 4a ，＋∞) (－∞，4ac－b2 4a ] 对称轴 x＝－ b 2a 顶点坐 标 (－ b 2a ，4ac－b2 4a ) 奇偶性 当 b＝0 时是偶函数，当 b≠0 时是非奇非偶函数 单调性 在(－∞，－ b 2a]上是减函数； 在[－ b 2a ，＋∞)上是增函数 在(－∞，－ b 2a]上是增函数； 在[－ b 2a ，＋∞)上是减函数 [微点提醒] 1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 2.若 f(x)＝ax 2＋bx＋c(a≠0)，则当 {a > 0， Δ < 0 时恒有 f(x)>0，当{a < 0， Δ < 0 时，恒有 f(x)<0. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数 y＝2x 1 3 是幂函数.(　　) (2)当 n>0 时，幂函数 y＝xn 在(0，＋∞)上是增函数.(　　) (3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数.(　　) (4)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是4ac－b2 4a .(　　) 解析　(1)由于幂函数的解析式为 f(x)＝xα，故 y＝2x 1 3 不是幂函数，(1)错. (3)由于当 b＝0 时，y＝ax2＋bx＋c＝ax2＋c 为偶函数，故(3)错. (4)对称轴 x＝－ b 2a ，当－ b 2a 小于 a 或大于 b 时，最值不是4ac－b2 4a ，故(4)错. 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2.(必修 1P79T1 改编)已知幂函数 f(x)＝k·xα 的图象过点(1 2 ， 2 2 )，则 k＋α＝(　　) A.1 2 B.1 C.3 2 D.2 解析　因为 f(x)＝k·xα 是幂函数，所以 k＝1.又 f(x)的图象过点(1 2 ， 2 2 )，所以(1 2 ) α ＝ 2 2 ，所以 α＝1 2 ，所以 k＋α＝1＋1 2 ＝3 2. 答案　C 3.(必修 1P44A9 改编)若函数 f(x)＝4x2－kx－8 在[－1，2]上是单调函数，则实数 k 的取值范围是________. 解析　由于函数 f(x)的图象开口向上，对称轴是 x＝k 8 ，所以要使 f(x)在[－1，2]上 是单调函数，则有k 8 ≤－1 或k 8 ≥2，即 k≤－8 或 k≥16. 答案　(－∞，－8]∪[16，＋∞) 4.(2016·全国Ⅲ卷)已知 a＝2 4 3 ，b＝3 2 3 ，c＝25 1 3 ，则(　　) A.ba>b. 答案　A 5.(2019·衡水中学月考)若存在非零的实数 a，使得 f(x)＝f(a－x)对定义域上任意的 x 恒成立，则函数 f(x)可能是(　　) A.f(x)＝x2－2x＋1 B.f(x)＝x2－1 C.f(x)＝2x D.f(x)＝2x＋1 解析　由存在非零的实数 a，使得 f(x)＝f(a－x)对定义域上任意的 x 恒成立，可得 函数图象的对称轴为 x＝a 2 ≠0.只有选项 A 中，f(x)＝x2－2x＋1 关于 x＝1 对称. 答案　A 6.(2018·成都诊断)幂函数 f(x)＝(m2－4m＋4)·xm2－6m＋8 在(0，＋∞)上为增函数，则 m 的值为________. 解析　由题意知{m2－4m＋4＝1， m2－6m＋8 > 0，解得 m＝1. 答案　1 考点一　幂函数的图象和性质 【例 1】 (1)幂函数 y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数 y＝f(x)的大致图象是(　　) (2)若 a＝(1 2 ) 2 3 ，b＝(1 5 ) 2 3 ，c＝(1 2 ) 1 3 ，则 a，b，c 的大小关系是(　　) A.ab＝(1 5 ) 2 3 ，因为 y＝ (1 2 )x 是减函数，所以 a＝(1 2 ) 2 3 1 的取值 确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. 2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性 进行比较. 【训练 1】 (1)(2018·洛阳二模)已知点(a，1 2)在幂函数 f(x)＝(a－1)xb 的图象上，则 函数 f(x)是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.定义域内的减函数 D.定义域内的增函数 (2)(2018·上海卷)已知 α∈{－2，－1，－1 2 ，Error!.若幂函数 f(x)＝xα 为奇函数，且 在(0，＋∞)上递减，则 α＝______. 解析　(1)由题意得 a－1＝1，且1 2 ＝ab，因此 a＝2 且 b＝－1.故 f(x)＝x－1 是奇函数， 但在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)不是单调函数. (2)由题意知 α 可取－1，1，3.又 y＝xα 在(0，＋∞)上是减函数， ∴α<0，取 α＝－1. 答案　(1)A　(2)－1 考点二　二次函数的解析式 【例 2】 (一题多解)已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大 值是 8，试确定该二次函数的解析式. 解　法一　(利用“一般式”解题) 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由题意得{4a＋2b＋c＝－1， a－b＋c＝－1， 4ac－b2 4a ＝8， 解得{a＝－4， b＝4， c＝7. ∴所求二次函数的解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二　(利用“顶点式”解题) 设 f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0). 因为 f(2)＝f(－1)， 所以抛物线的对称轴为 x＝2＋（－1） 2 ＝1 2 ，所以 m＝1 2. 又根据题意，函数有最大值 8，所以 n＝8， 所以 y＝f(x)＝a(x－1 2)2 ＋8. 因为 f(2)＝－1，所以 a(2－1 2)2 ＋8＝－1，解得 a＝－4， 所以 f(x)＝－4(x－1 2)2 ＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三　(利用“零点式”解题) 由已知 f(x)＋1＝0 的两根为 x1＝2，x2＝－1， 故可设 f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 即 f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值 8，即4a(－2a－1)－(－a)2 4a ＝8. 解得 a＝－4 或 a＝0(舍). 故所求函数的解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7. 规律方法　求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰 当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下： 【训练 2】 已知二次函数 f(x)的图象经过点(4，3)，它在 x 轴上截得的线段长为 2，并且对任意 x∈R，都有 f(2－x)＝f(2＋x)，则 f(x)＝________. 解析　因为 f(2－x)＝f(2＋x)对 x∈R 恒成立， 所以 y＝f(x)的图象关于 x＝2 对称. 又 y＝f(x)的图象在 x 轴上截得的线段长为 2， 所以 f(x)＝0 的两根为 2－2 2 ＝1 或 2＋2 2 ＝3. 所以二次函数 f(x)与 x 轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0). 因此设 f(x)＝a(x－1)(x－3). 又点(4，3)在 y＝f(x)的图象上， 所以 3a＝3，则 a＝1. 故 f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3. 答案　x2－4x＋3 考点三　二次函数的图象及应用 【例 3】 (1)对数函数 y＝logax(a>0 且 a≠1)与二次函数 y＝(a－1)x2－x 在同一坐 标系内的图象可能是(　　) (2)设函数 f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，已知 f(m)<0，则(　　) A.f(m＋1)≥0 B.f(m＋1)≤0 C.f(m＋1)>0 D.f(m＋1)<0 解析　(1)若 01，则 y＝loga x 在(0，＋∞)上是增函数， y＝(a－1)x2－x 图象开口向上，且对称轴在 y 轴右侧， 因此 B 项不正确，只有选项 A 满足. (2)因为 f(x)的对称轴为 x＝－1 2 ，f(0)＝a>0，所以 f(x)的大致图象如图所示. 由 f(m)<0，得－10，所以 f(m＋1)>f(0)>0. 答案　(1)A　(2)C 规律方法　1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中 有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与 x 轴的 交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向. 2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关 系成立的条件. 【训练 3】 一次函数 y＝ax＋b 与二次函数 y＝ax2＋bx＋c 在同一坐标系中的图象 大致是(　　) 解析　A 中，由一次函数 y＝ax＋b 的图象可得 a>0，此时二次函数 y＝ax2＋bx＋ c 的图象应该开口向上，A 错误； B 中，由一次函数 y＝ax＋b 的图象可得 a>0，b>0，此时二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象应该开口向上，对称轴 x＝－ b 2a<0，B 错误；C 中，由一次函数 y＝ax＋b 的图象可得 a<0，b<0，此时二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象应该开口向下，对称 轴 x＝－ b 2a<0，C 正确； D 中，由一次函数 y＝ax＋b 的图象可得 a<0，b<0，此时二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象应该开口向下，D 错误. 答案　C 考点四　二次函数的性质　 多维探究 角度 1　二次函数的单调性与最值 【例 4－1】 已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6]. (1)当 a＝－2 时，求 f(x)的最值； (2)求实数 a 的取值范围，使 y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数. 解　(1)当 a＝－2 时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于 x∈[－4，6]， ∴f(x)在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增， ∴f(x)的最小值是 f(2)＝－1， 又 f(－4)＝35，f(6)＝15， 故 f(x)的最大值是 35. (2)由于函数 f(x)的图象开口向上，对称轴是 x＝－a，所以要使 f(x)在[－4，6]上是 单调函数，应有－a≤－4 或－a≥6，即 a≤－6 或 a≥4， 故 a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞). 角度 2　二次函数的恒成立问题 【例 4－2】 (2019·浙江“超级全能生”模拟)已知在(－∞，1]上递减的函数 f(x)＝ x2－2tx＋1，且对任意的 x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数 t 的取值 范围是(　　) A.[－ 2， 2] B.[1， 2] C.[2，3] D.[1，2] 解析　由于 f(x)＝x2－2tx＋1 的图象的对称轴为 x＝t， 又 y＝f(x)在(－∞，1]上是减函数，所以，t≥1. 则在区间[0，t＋1]上，f(x)max＝f(0)＝1， f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1， 要使对任意的 x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2， 只需 1－(－t2＋1)≤2，解得－ 2≤t≤ 2. 又 t≥1，∴1≤t≤ 2. 答案　B 规律方法　1.二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指 区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分 类讨论的思想求解. 2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 (1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数. (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是 否已分离.这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤ f(x)min. 【训练 4】 已知二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R 且 a≠0)，x∈R. (1)若函数 f(x)的最小值为 f(－1)＝0，求 f(x)的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求 k 的取值范围. 解　(1)由题意知{a > 0， － b 2a ＝－1， f（－1）＝a－b＋1＝0， 解得{a＝1， b＝2. 所以 f(x)＝x2＋2x＋1， 由 f(x)＝(x＋1)2 知，函数 f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)， 单调递减区间为(－∞，－1]. (2)由题意知，x2＋2x＋1>x＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即 k0 时图象经过(0，0)点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0 时图象不过(0，0)点，经过(1，1)点，在第一象限的部分“下降”； (2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1 时曲线下凹，0<α<1 时曲线上凸，α<0 时曲线 下凹； (3)函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再根据函数定义域 和奇偶性定义判断其奇偶性. 2.求二次函数的解析式就是确定函数式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中 a，b，c 的值.应 根据题设条件选用适当的表达形式，用待定系数法确定相应字母的值. 3.二次函数与一元二次不等式密切相关，借助二次函数的图象和性质，可直观地 解决与不等式有关的问题. 4.二次函数的单调性与对称轴紧密相连，二次函数的最值问题要根据其图象以及 所给区间与对称轴的关系确定. [易错防范] 1.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否 出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在 两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. 2.对于函数 y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足 a≠0，当题目条件 中未说明 a≠0 时，就要讨论 a＝0 和 a≠0 两种情况. 基础巩固题组 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1.(2019·济宁联考)下列命题正确的是(　　) A.y＝x0 的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1) C.若幂函数 y＝xα 是奇函数，则 y＝xα 是增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限 解析　A 中，点(0，1)不在直线上，A 错；B 中，y＝xα，当 α<0 时，图象不过原 点，B 错；C 中，当 α<0 时，y＝xα 在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数，C 错.幂 函数图象一定过第一象限，一定不过第四象限，D 正确. 答案　D 2.若函数 f(x)＝x2＋ax＋b 的图象与 x 轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数 f(x)(　　) A.在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增 B.在(－∞，3)上递增 C.在[1，3]上递增 D.单调性不能确定 解析　由已知可得该函数图象的对称轴为 x＝2，又二次项系数为 1>0，所以 f(x) 在(－∞，2]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的. 答案　A 3.(2019·安阳模拟)已知函数 f(x)＝－x 2＋4x＋a，x∈[0，1]，若 f(x)有最小值－2， 则 f(x)的最大值为(　　) A.1 B.0 C.－1 D.2 解析　f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋a＋4， ∴函数 f(x)＝－x2＋4x＋a 在[0，1]上单调递增， ∴当 x＝0 时，f(x)取得最小值，当 x＝1 时，f(x)取得最大值， ∴f(0)＝a＝－2，f(1)＝3＋a＝3－2＝1. 答案　A 4.(2018·岳阳一中质检)已知函数 y＝ax2＋bx－1 在(－∞，0]是单调函数，则 y＝2ax ＋b 的图象不可能是(　　) 解析　①当 a＝0，b≠0 时，y＝2ax＋b 的图象可能是 A； ②当 a>0 时，－ b 2a ≥0⇒b≤0，y＝2ax＋b 的图象可能是 C； ③当 a<0 时，－ b 2a ≥0⇒b≥0，y＝2ax＋b 的图象可能是 D. 答案　B 5.(2019·巢湖月考)已知 p：|m＋1|<1，q：幂函数 y＝(m 2－m－1)xm 在(0，＋∞)上 单调递减，则 p 是 q 的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　p：由|m＋1|<1 得－20，且 Δ＝1－4ab＝0，∴4ab＝1，且 b>0. 故 a＋4b≥2 4ab＝2， 当且仅当 a＝4b，即 a＝1，b＝1 4 时等号成立. 所以 a＋4b 的取值范围是[2，＋∞). 答案　[2，＋∞) 8.已知二次函数 f(x)满足 f(2＋x)＝f(2－x)，且 f(x)在[0，2]上是增函数，若 f(a)≥f(0)，则实数 a 的取值范围是________. 解析　由题意可知函数 f(x)的图象开口向下，对称轴为 x＝2(如图)，若 f(a)≥f(0)， 从图象观察可知 0≤a≤4. 答案　[0，4] 三、解答题 9.已知奇函数 y＝f(x)定义域是 R，当 x≥0 时，f(x)＝x(1－x). (1)求出函数 y＝f(x)的解析式； (2)写出函数 y＝f(x)的单调递增区间.(不用证明，只需直接写出递增区间即可) 解　(1)当 x<0 时，－x>0， 所以 f(－x)＝－x(1＋x). 又因为 y＝f(x)是奇函数， 所以 f(x)＝－f(－x)＝x(1＋x). 综上 f(x)＝{x（1－x），x ≥ 0， x（1＋x），x < 0. (2)函数 y＝f(x)的单调递增区间是[－1 2 ，1 2]. 10.已知幂函数 f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2 在(0，＋∞)上单调递增，函数 g(x)＝2x－ k. (1)求 m 的值； (2)当 x∈[1，2)时，记 f(x)，g(x)的值域分别为集合 A，B，设 p：x∈A，q：x∈B， 若 p 是 q 成立的必要条件，求实数 k 的取值范围. 解　(1)依题意得：(m－1)2＝1⇒m＝0 或 m＝2， 当 m＝2 时，f(x)＝x－2 在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m＝0. (2)由(1)得，f(x)＝x2， 当 x∈[1，2)时，f(x)∈[1，4)，即 A＝[1，4)， 当 x∈[1，2)时，g(x)∈[2－k，4－k)， 即 B＝[2－k，4－k)， 因 p 是 q 成立的必要条件，则 B⊆A， 则{2－k ≥ 1， 4－k ≤ 4，即{k ≤ 1， k ≥ 0，得 0≤k≤1. 故实数 k 的取值范围是[0，1]. 能力提升题组 (建议用时：20 分钟) 11.(2019·武汉模拟)幂函数 y＝xα，当 α 取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图 象是一组美丽的曲线(如图)，设点 A(1，0)，B(0，1)，连接 AB，线段 AB 恰好被 其中的两个幂函数 y＝xa，y＝xb 的图象三等分，即有 BM＝MN＝NA，那么 a－1 b ＝ (　　) A.0 B.1 C.1 2 D.2 解析　BM＝MN＝NA，点 A(1，0)，B(0，1)， 所以 M(1 3 ，2 3)，N(2 3 ，1 3)， 将两点坐标分别代入 y＝xa，y＝xb，得 a＝log 1 3 2 3 ，b＝log 2 3 1 3 ，∴a－1 b ＝log 1 3 2 3 － 1 log 2 3 1 3 ＝ 0. 答案　A 12.(2017·浙江卷)若函数 f(x)＝x2＋ax＋b 在区间[0，1]上的最大值是 M，最小值是 m，则 M－m(　　) A.与 a 有关，且与 b 有关 B.与 a 有关，但与 b 无关 C.与 a 无关，且与 b 无关 D.与 a 无关，但与 b 有关 解析　设 x1，x2 分别是函数 f(x)在[0，1]上的最小值点与最大值点，则 m＝x21＋ax1 ＋b，M＝x22＋ax2＋b. ∴M－m＝x22－x21＋a(x2－x1)，显然此值与 a 有关，与 b 无关. 答案　B 13.已知函数 f(x)＝mx2＋(2－m)x＋n(m>0)，当－1≤x≤1 时，|f(x)|≤1 恒成立，则 f(2 3 )＝________. 解析　当 x∈[－1，1]时，|f(x)|≤1 恒成立. ∴{|f（0）| ≤ 1⇒|n| ≤ 1⇒－1 ≤ n ≤ 1； |f（1）| ≤ 1⇒|2＋n| ≤ 1⇒－3 ≤ n ≤ －1， 因此 n＝－1，∴f(0)＝－1，f(1)＝1. 由 f(x)的图象可知：要满足题意，则图象的对称轴为直线 x＝0， ∴2－m＝0，m＝2， ∴f(x)＝2x2－1，∴f(2 3 )＝－1 9. 答案　－1 9 14.已知二次函数 f(x)满足 f(x＋1)－f(x)＝2x，且 f(0)＝1. (1)求 f(x)的解析式； (2)当 x∈[－1，1]时，函数 y＝f(x)的图象恒在函数 y＝2x＋m 的图象的上方，求实 数 m 的取值范围. 解　(1)设 f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)， 则 f(x＋1)－f(x)＝2x，得 2ax＋a＋b＝2x. 所以，2a＝2 且 a＋b＝0，解得 a＝1，b＝－1， 又 f(0)＝1，所以 c＝1. 因此 f(x)的解析式为 f(x)＝x2－x＋1. (2)因为当 x∈[－1，1]时，y＝f(x)的图象恒在 y＝2x＋m 的图象上方， 所以在[－1，1]上，x2－x＋1>2x＋m 恒成立； 即 x2－3x＋1>m 在区间[－1，1]上恒成立. 所以令 g(x)＝x2－3x＋1＝(x－3 2)2 －5 4 ， 因为 g(x)在[－1，1]上的最小值为 g(1)＝－1， 所以 m<－1.故实数 m 的取值范围为(－∞，－1).