【数学】2019届一轮复习人教A版 集合 学案 7页

集合 ‎【考点梳理】‎ ‎1．元素与集合 ‎(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．‎ ‎(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉．‎ ‎(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．‎ ‎2．集合间的基本关系 ‎(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A．‎ ‎(2)真子集：若A⊆B，但集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA．‎ ‎(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B．‎ ‎(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．‎ ‎3．集合的基本运算 并集 交集 补集 图形表示 符号表示 A∪B A∩B ‎∁UA 意义 ‎{x|x∈A或x∈B}‎ ‎{x|x∈A且x∈B}‎ ‎{x|x∈U且x∉A}‎ ‎4.集合关系与运算的常用结论 ‎(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个．‎ ‎(2)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.‎ ‎(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.‎ ‎ (4)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．‎ ‎【考点突破】‎ 考点一、集合的基本概念 ‎【例1】(1) 已知集合M＝{1,2}，N＝{3,4,5}，P＝{x|x＝a＋b，a∈M，b∈N}，则集合P的元素个数为(　　)‎ A．3 B．4‎ C．5 D．6‎ ‎(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　　)‎ A． B． C．0 D．0或 ‎[答案] (1) B　 (2) D ‎[解析] (1) 因为a∈M，b∈N，所以a＝1或2，b＝3或4或5.当a＝1时，若b＝3，则x＝4；若b＝4，则x＝5；若b＝5，则x＝6.同理，当a＝2时，若b＝3，则x＝5；若b＝4，则x＝6；若b＝5，则x＝7，由集合中元素的特性知P＝{4,5,6,7}，则P中的元素共有4个．‎ ‎(2)若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．‎ 当a＝0时，x＝，符合题意；‎ 当a≠0时，由Δ＝(－3)2－‎8a＝0得a＝，‎ 所以a的取值为0或.‎ ‎【类题通法】‎ 与集合中的元素有关的解题策略 ‎(1)确定集合中的代表元素是什么，即集合是数集还是点集．‎ ‎(2)看这些元素满足什么限制条件．‎ ‎(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．‎ ‎【对点训练】‎ ‎1. 已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为(　　)‎ A．3　　　　　　　　　　 B．2‎ C．1 D．0‎ ‎[答案] B ‎[解析] 因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.‎ ‎2. 已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝∅，则实数a的取值范围为________.‎ ‎[答案] ‎[解析] ∵A＝∅，∴方程ax2＋3x－2＝0无实根，‎ 当a＝0时，x＝不合题意；‎ 当a≠0时，Δ＝9＋‎8a＜0，∴a＜－，故实数a的取值范围为.‎ 考点二、集合间的基本关系 ‎【例2】(1) 已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|00时，∵A＝{x|－10}，则集合A与B的关系是(　　)‎ A．B⊆A B．B⊇A C．B∈A D．A∈B ‎[答案] A ‎[解析]　因为A＝{x|－x2－x＋2<0}＝{x|x>1或x<－2}，B＝{x|2x－5>0}＝.‎ 在数轴上标出集合A与集合B，如图所示，‎ 可知，B⊆A.‎ ‎2．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜‎2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．‎ ‎[答案] (－∞，4]‎ ‎[解析]　当B＝∅时，有m＋1≥‎2m－1，则m≤2.‎ 当B≠∅时，若B⊆A，如图．‎ 则 解得2＜m≤4.‎ 综上，m的取值范围为(－∞，4].‎ 考点三、集合的基本运算 ‎【例3】(1) 已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，则A∩B中元素的个数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎(2) 已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈ }，则A∪B＝(　　)‎ A．{1}　　　　　　　　　 B．{1,2}‎ C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}‎ ‎(3) 已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝(　　)‎ A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}‎ C．{x|0≤x≤1} D．{x|00}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为(　　)‎ A．{x|－2≤x<4}　　　　 B．{x|x≤2或x≥4}‎ C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}‎ ‎[答案] (1) B　(2) C (3) D　(4) D ‎[解析]　(1) A，B两集合中有两个公共元素2,4，故选B.‎ ‎(2)因为B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈ }＝{x|－14}，因此∁RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}，故选D.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．‎ ‎2．集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．‎ ‎【对点训练】‎ ‎3．(1) 设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝(　　)‎ A．{1，3} B．{3，5} ‎ C．{5，7} D．{1，7}‎ ‎(2) 设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝(　　)‎ A．(－1，1) B．(0，1)‎ C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)‎ ‎(3) 设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则∁U(A∪B)＝(　　)‎ A．{2，6} B．{3，6} ‎ C．{1，3，4，5} D．{1，2，4，6}‎ ‎(4) 集合U＝R，A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分所表示的集合是(　　)‎ A．{x|x≥1} B．{x|1≤x<2}‎ C．{x|00，则A＝(0，＋∞).‎ 又B＝{x|x2－1<0}＝(－1，1).‎ 因此A∪B＝(－1，＋∞).‎ ‎(3) ∵A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，∴A∪B＝{1，3，4，5}，‎ 又全集U＝{1，2，3，4，5，6}，因此∁U(A∪B)＝{2，6}.‎ ‎(4) 易知A＝(－1，2)，B＝(－∞，1)，∴∁UB＝[1，＋∞)，A∩(∁UB)＝[1，2).因此阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2}.‎