【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题08线性规划学案 19页

专题八 线性规划 【简单线性规划问题】（用平面区域表示二元一次不等式组）‎ ‎【二元一次不等式表示的平面区域】‎ 二元一次不等式ax+by+c＞0在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域。不等式ax+by+c＜0表示的是另一侧的平面区域。‎ ‎【线性约束条件】‎ 关于x，y的一次不等式或方程组成的不等式组称为x，y的线性约束条件；‎ ‎【线性目标函数】‎ 关于x、y的一次式欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做线性目标函数；‎ ‎【线性规划问题】‎ 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题称为线性规划问题。‎ 可行解、可行域和最优解：‎ 满足线性约束条件的解（x，y）称为可行解；由所有可行解组成的集合称为可行域； 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做线性规划问题的最优解。‎ ‎【用一元一次不等式（组）表示平面区域】‎ ‎(1)一般地，直线l:ax+by+c=0把直角坐标平面分成了三个部分：①直线l上的点(x，y)的坐标满足ax+by+c=0；②直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax+by+c>0;③直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax+by+c<0．所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从ax0+by0+c的值的正负，即可判断不等式表示的平面区域，可简称为，特殊点定域”． (2)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. ‎ ‎【线性规划问题求解步骤】‎ ‎（1）确定目标函数；  （2）作可行域；  （3）作基准线（z=0时的直线）；  （4）平移找最优解；  （5）求最值。‎ ‎【线性规划求最值线性规划求最值问题】 （1）要充分理解目标函数的几何意义，诸如直线的截距、两点间的距离（或平方）、点到直线的距离、过已知两点的直线斜率等．    (2)求最优解的方法①将目标函数的直线平移，最先通过或最后通过的点为最优解，②利用围成可行域的直线的斜率来判断．若围成可行域的直线，且目标函数的斜率k满足的交点一般为最优解．在求最优解前，令z=0的目的是确定目标函数在可行域的什么位置有可行解，值得注意的是，有些问题中可能要求x，y∈N（即整点），它不一定在边界上．特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行（）时，其最优解可能有无数个，用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键．可先将题目的量分类，列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组），寻求约束条件，并就题目所述找到目标函数．‎ ‎【线性规划的实际应用】‎ 主要掌握两种类型： 一、给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大； 二、给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小． (l)用图解法解决线性规划问题的一般步骤：①分析并将已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数（直线）求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解． (2)整数规划的求解，可以首先放松可行解必须为整数的要求，转化为线性规划求解，若所求得的最优解恰为整数，则该解即为整数规划的最优解；若所求得的最优解不是整数，则视所得非整数解的具体情况增加条件；若这两个子问题的最优解仍不是整数，再把每个问题继续分成两个子问题求解，……，直到求出整数最优解为止，‎ ‎【2017年高考全国Ⅰ，文7】‎ 设x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为 A．0 B．‎1 ‎ C．2 D．3‎ ‎【答案】D ‎【考点】简单的线性规划 ‎【点拨】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．‎ 答题思路 ‎【命题意图】主要考查学生线性规划有关知识、作图、识图、计算等，考查学生数形结合思想、数学应用意识等.‎ ‎【命题规律】线性规划问题一般有三种题型.一是求最值，常考类型包括直线型、距离型、斜率型；二是求区域面积；三是最优化求解应用问题.除2016年应用题有一定难度外，其余年份均为容易题，准确画图是关键.‎ ‎【答题模板】‎ 用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：‎ 第一步：首先，要根据线性约束条件画出可行域(即画出不等式组所表示的公共区域)．‎ 第二步：设z＝0，画出直线l0.‎ 第三步：观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解．‎ 第四步：最后求得目标函数的最大值或最小值．‎ ‎【方法总结】‎ ‎1.关于不等式组所表示的平面区域(可行域)的确定，可先由“直线定界”，再由“不等式定域”，定域的常用方法是“特殊点法”，且一般取坐标原点O(0，0)为特殊点；‎ ‎2.可行域是封闭区域时，可以将端点代入目标函数，求出最值，这种代入的方法对于解线性规划的含参问题往往更优．若线性规划的可行域不是封闭区域时，不能简单的运用代入顶点的方法求最优解．需先准确地画出可行域，再将目标函数对应直线在可行域上移动，观察z的大小变化，得到最优解．‎ ‎3.如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值．最优解一般是多边形的某个顶点，到底是哪个顶点为最优解，有三种解决方法：‎ 第一种方法：将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过可行域的一个便是．‎ 第二种方法：利用围成可行域的直线斜率来判断．‎ 特别地，当线性目标函数的直线与可行域某条边重合时，其最优解可能有无数组．‎ 第三种方法：将可行域所在多边形的每一个顶点Pi逐一代入目标函数ZPi＝mx＋ny，比较各个ZPi，得最大值或最小值．‎ ‎4.利用线性规划研究实际问题的解题思路：‎ 首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数．然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解 ‎1. 【2017年高考全国Ⅱ卷，文7】设满足约束条件 ,则的最小值是 A. B. C. D ‎ ‎【答案】A 绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点 处取得最小值 .故选A.‎ ‎【考点】线性规划 ‎【点拨】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎2．【2017年高考全国Ⅲ卷，文5】设x，y满足约束条件，则的取值范围是（ ）‎ A．[–3,0] B．[–3,2] C．[0,2] ‎ ‎ D．[0,3]‎ ‎【答案】B ‎【考点】线性规划 ‎【点拨】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎3．【2017年高考浙江卷，文4】若，满足约束条件，则的取值范围是 A．[0，6] B．[0，4] C．[6， D．[4，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：如图，可行域为一开放区域，所以直线过点时取最小值4，无最大值，选D．‎ ‎【考点】 简单线性规划 ‎【点拨】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式转化为（或），“”取下方，“”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．‎ ‎4. 【2017年高考山东卷，文3】已知x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值是 A.-3 B.-1 C.1 D.3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由画出可行域及直线,如图所示,平移发现,‎ 当其经过直线与的交点时,最大为,故选D.‎ ‎【考点】线性规划 ‎【点拨】(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组,则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域；当不等式中带等号时,边界为实线,不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.‎ ‎(2)利用线性规划求目标函数最值的步骤：①画出约束条件对应的可行域；②将目标函数视为动直线,并将其平移经过可行域,找到最优解对应的点；③将最优解代入目标函数,求出最大值或最小值．‎ ‎5.【2017年高考天津卷，文16】‎ 电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：‎ 连续剧播放时长（分钟）‎ 广告播放时长（分钟）‎ 收视人次（万）‎ 甲 ‎70‎ ‎5‎ ‎60‎ 乙 ‎60‎ ‎5‎ ‎25‎ 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用， 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.$来&源：ziyuanku.com ‎（I）用，列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；‎ ‎（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析（Ⅱ）电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.‎ 试题解析：（Ⅰ）解：由已知，满足的数学关系式为即 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：‎ 所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.‎ ‎【考点】1.不等式组表示的平面区域；2.线性规划的实际问题.‎ ‎【点拨】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；‎ 求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：（1）截距型：形如.求这类目标函数的最值常将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如 ；（3）斜率型：形如，而本题属于截距形式，但要注意实际问题中的最优解是整数.‎ ‎6．【2017黑龙江哈师大附中三模】已知实数， 满足，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎7.【2017河北唐山三模】若变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）‎ A. 4 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，‎ 由上图，目标函数在点处取得最小值，最小值为，故选择C.‎ ‎8.【2017江西九江三模】已知实数 满足，若的最小值为 ，则 的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎9.【2017广西5月考前联考】已知变量， 满足约束条件则的最小值为（ ）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 画出不等式组表示的区域如图，结合图形可知当动直线经过点时，动直线在轴上的截距最小，则，应选答案C。‎ ‎10.【2017福建三明5月质检】若变量满足约束条件，则的最大值为（　）‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】B ‎11.【2017湖南娄底二模】若实数， 满足不等式组则的最小值为（ ）‎ A. 2 B. 3 C. D. 14‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】作出不等式组表示的可行域，则在点处取到最小值， ，所以最小值为2，故选A.‎ ‎12．【2017安徽阜阳二模】若满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：绘制可行域如图所示，结合目标函数可知，当 时，目标函数在点 处取得最大值 .‎ 本题选择D选项.‎ ‎13．【2017广东佛山二模】已知实数， 满足，则的最小值是（ ）‎ A. 0 B. 2 C. 3 D. 5‎ ‎【答案】B ‎14.【2017陕西汉中二模】若变量x，y满足约束条件则 (x－2)2＋y2的最小值为(　　)‎ A. B. C. 5 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎15．【2017福建4月质检】若满足约束条件，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】根据线性约束条件可得变量满足的区域，对于目标函数z，在点（2,0）处取得最小值，所以最小值是2.‎ ‎16.【2016年高考全国Ⅰ卷，文16】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设生产产品A、产品B分别为、件，利润之和为元，那么 由题意得约束条件目标函数.‎ 约束条件等价于 ①‎ 作出二元一次不等式组①表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示.‎ 将变形，得，作直线：并平移，当直线经过点时， 取得最大值.‎ 解方程组，得的坐标为.‎ 所以当，时，.‎ 故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.‎ ‎【考点】线性规划的应用 ‎【点拨】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题的形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误.‎ ‎17.【2016年高考全国Ⅱ卷，文14】若x，y满足约束条件则z=x−2y的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【考点】 简单的线性规划 ‎【点拨】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：‎ ‎(1)在平面直角坐标系内作出可行域；‎ ‎(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；‎ ‎(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；‎ ‎(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．‎ ‎18.【2016年高考全国Ⅲ卷，文13】若满足约束条件 则的最小值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知当目标函数经过点时取得最小值，即．‎ ‎【考点】简单的线性规划问题 ‎【点拨】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1)‎ 作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；(2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)；(3)求出最终结果．‎ ‎19．【2016年高考上海卷，文7】若满足 则的最大值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，令，当直线经过点时，取得最大值.‎ P O y x ‎【考点】线性规划及其图解法 ‎【点拨】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目来看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.‎ ‎20．【2016年高考浙江卷，文4】若平面区域 夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【考点】线性规划.‎ ‎【点拨】先根据不等式组画出可行域，再根据可行域的特点确定取得最值的最优解，代入计算．画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误．‎