【数学】2019届一轮复习人教A版理第4章第2节　平面向量的基本定理及坐标表示教案 8页

第二节　平面向量的基本定理及坐标表示 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．‎ ‎(对应学生用书第71页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1．平面向量基本定理 ‎(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.‎ ‎(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．‎ ‎2．平面向量的坐标运算 ‎(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，‎ λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.‎ ‎(2)向量坐标的求法 ‎①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．‎ ‎②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，‎ ‎||＝.‎ ‎3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0，b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.‎ ‎[知识拓展]‎ ‎1．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.‎ ‎2．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果x2≠0，y2≠0，则a∥b⇔＝.‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　)‎ ‎(2)在△ABC中，设＝a，＝b，则向量a与b的夹角为∠ABC．(　　)‎ ‎(3)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)‎ ‎(4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．(　　)‎ ‎(5)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　　)‎ ‎(6)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　　)‎ ‎[答案](1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×　(6)√‎ ‎2．已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,3)，那么|a＋b|等于 (　　)‎ A．5　　　　　 B． C． D．13‎ B　[因为a＋b＝(2，－1)＋(1,3)＝(3,2)，所以|a＋b|＝＝.]‎ ‎3．设e1，e2是平面内一组基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＋λ2＝________.‎ ‎0　[假设λ1≠0，由λ1e1＋λ2e2＝0，得e1＝－e2，‎ ‎∴e1与e2共线，这与e1，e2是平面内一组基底矛盾，‎ 故λ1＝0，同理，λ2＝0，‎ ‎∴λ1＋λ2＝0.]‎ ‎4．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.‎ ‎－6　[∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，‎ ‎∴－2m－4×3＝0，‎ ‎∴m＝－6.]‎ ‎5．(教材改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．‎ ‎(1,5)　[设D(x，y)，则由＝，得(4,1)＝(5－x,6－y)，‎ 即 解得]‎ ‎(对应学生用书第72页)‎ 平面向量基本定理及其应用 ‎　(1)如图421，在三角形ABC中，BE是边AC的中线，O是BE边的中点，若＝a，＝b，则＝(　　)‎ 图421‎ A．a＋b　　 B．a＋b C．a＋b D．a＋b ‎(2)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.‎ ‎(1)D　(2)　[(1)∵在三角形ABC中，BE是AC边上的中线，‎ ‎∴＝.‎ ‎∵O是BE边的中点，‎ ‎∴＝(＋)＝＋＝a＋b.‎ ‎(2)选择，作为平面向量的一组基底，则＝＋，＝＋，＝＋，‎ 又＝λ＋μ＝＋，‎ 于是得解得 ‎∴λ＋μ＝.]‎ ‎[规律方法]　平面向量基本定理应用的实质和一般思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.‎ (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.‎ ‎[跟踪训练]　如图422，以向量＝a，＝b为邻边作▱OADB，＝，＝，用a，b表示，，.‎ 图422‎ ‎[解]　∵＝－＝a－b，‎ ＝＝a－b，‎ ‎∴＝＋＝a＋b.‎ ‎∵＝a＋b，‎ ‎∴＝＋＝＋ ‎＝＝a＋b，‎ ‎∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b.‎ 综上，＝a＋b，＝a＋b，＝a－b.‎ 平面向量的坐标运算 ‎　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，‎ ‎(1)求3a＋b－3c；‎ ‎(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；‎ ‎(3)求M，N的坐标及向量的坐标. ‎ ‎【导学号：97190151】‎ ‎[解]　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．‎ ‎(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)‎ ‎＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．‎ ‎(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，‎ ‎∴解得 ‎(3)设O为坐标原点．∵＝－＝3c，‎ ‎∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．‎ ‎∴M(0,20)．‎ 又∵＝－＝－2b，‎ ‎∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，‎ ‎∴N(9,2)，∴＝(9，－18)．‎ ‎[规律方法]　平面向量坐标运算的技巧 (1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.‎ (2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解.‎ ‎[跟踪训练]　(1)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为(　　)‎ A．　　　 B． C．(3,2) D．(1,3)‎ ‎(2)在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则＝(　　)‎ A．(－2,7) B．(－6,21)‎ C．(2，－7) D．(6，－21)‎ ‎(1)A　(2)B　[(1)设D(x，y)，＝(x，y－2)，＝(4,3)，‎ 又＝2，∴∴故选A．‎ ‎(2)∵＝2，∴＝3＝3(＋)．∵Q是AC的中点，∴＝2，又＝＋，∴＝3[＋2(＋)]＝(－6,21)．]‎ 平面向量共线的坐标表示 ‎　已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．‎ ‎(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；‎ ‎(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．‎ ‎[解]　(1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)，‎ ‎∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，‎ a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，‎ ‎∵ka－b与a＋2b共线，‎ ‎∴2(k－2)－(－1)×5＝0，‎ ‎∴k＝－.‎ ‎(2)＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，‎ ＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．‎ ‎∵A，B，C三点共线，‎ ‎∴∥，∴8m－3(2m＋1)＝0，‎ ‎∴m＝.‎ ‎[规律方法]　1.向量共线的充要条件 (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)；‎ (2)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)).当涉及向量或点的坐标问题时一般利用(2)比较方便.‎ ‎2.与向量共线有关的题型与解法 (1)证三点共线：可先证明相关的两向量共线，再说明两向量有公共点；‎ (2)已知向量共线，求参数：可利用向量共线的充要条件列方程(组)求解.‎ ‎[跟踪训练]　(1)(2018·郑州第二次质量预测)已知a＝(2，m)，b＝(1，－2)，若a∥(a＋2b)，则m的值是(　　)‎ A．－4 B．1‎ C．0 D．－2‎ ‎(2)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则实数k的值是________. ‎ ‎【导学号：97190152】‎ ‎(1)A　(2)－　[(1)a＋2b＝(4，m－4)，由a∥(a＋2b)，得2(m－4)＝4m，m＝－4，故选A．‎ ‎(2)＝－＝(4－k，－7)，‎ ＝－＝(－2k，－2)．‎ ‎∵A，B，C三点共线，‎ ‎∴，共线，‎ ‎∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，‎ 解得k＝－.]‎