2018届二轮复习（理）专题八　数学思想方法与高考数学文化(选用)第3讲学案（全国通用） 12页

第3讲　高考数学文化与人文价值 数学文化解读　教育部考试中心函件《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》要求“增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用.比如，在数学中增加数学文化的内容.”因此，我们特别策划了此专题，将数学文化与数学知识相结合，选取典型样题深度解读，希望能够给予广大师生的复习备考以专业的帮助与指导.‎ 热点一　算法中的数学文化 ‎【例1】 (1)(2017·菏泽模拟)公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为________.(参考数据：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5，≈1.732)‎ ‎(2)(2016·四川卷)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程度框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为(　　)‎ A.9 B.18‎ C.20 D.35‎ 解析　(1)n＝6，S＝×6sin 60°＝≈2.598<3.1执行循环.‎ n＝12，S＝×12sin 30°＝3<3.1，执行循环.‎ n＝24，S＝×24sin 15°＝3.105 6>3.1，满足条件，退出循环.‎ ‎∴输出n的值为24.‎ ‎(2)初始值n＝3，x＝2，v＝1.‎ 程序框图运行过程如下：‎ i＝2　v＝1×2＋2＝4‎ i＝1　v＝4×2＋1＝9‎ i＝0　v＝9×2＋0＝18‎ i＝－1不满足条件i≥0，退出循环.‎ 输出v＝18.‎ 答案　(1)24　(2)B 探究提高　1.更相减损术、秦九韶算法和割圆术分别在人民教育出版社《数学必修3》(A版)第36页，第37页，第45页“算法案例”中出现.其中更相减损术和秦九韶算法分别在2015年和2016年全国卷Ⅱ中考过，因此割圆术将是以后命题的热点.‎ ‎2.将数学文化嵌入到程序框图：(1)要读懂程序框图，按程序框图依次执行；‎ ‎(2)要理解数学文化的人文价值，树立正能量.‎ ‎【训练1】 (2017·衡水中学二调)《算学启蒙》是由中国元代数学家朱世杰撰写的一部数学启蒙读物，包括面积、体积、比例、开方、高次方程等.‎ 名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于(　　)‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ 解析　当n＝1时，a＝，b＝4，满足进行循环的条件，‎ 当n＝2时，a＝，b＝8满足进行循环的条件，‎ 当n＝3时，a＝，b＝16满足进行循环的条件，‎ 当n＝4时，a＝，b＝32不满足进行循环的条件，退出循环.故输出的n值为4.‎ 答案　C 热点二　数列中的数学文化 ‎【例2】 (1)(2017·江西红色七校联考)《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织________尺布.(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了(　　)‎ A.192里 B.96里 C.48里 D.24里 解析　(1)每天织布数依次构成一个等差数列{an}，其中a1＝5，‎ 设该等差数列的公差为d，则一月织布总数为S30＝30×5＋d＝150＋435d＝390，解之得d＝.‎ ‎(2)依题意，6天中每天行走的路程构成一个等比数列，记为{an}，其中公比q＝.‎ 由题设有＝378，解得a1＝192.‎ 则a2＝a1q＝192×＝96.‎ 所以第二天走了96里.‎ 答案　(1)D　(2)B 探究提高　1.我国古代数学强调“经世济用”，注重算理算法，其中很多问题可转化为等差数列，等比数列问题.‎ ‎2.两题以传统数学文化为载体考查数学的实际应用，求解的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，建立数列模型，进行数列的基本计算，利用方程思想求解.‎ ‎【训练2】 (2017·石家庄调研)朱载堉(1536～1611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”.即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设第三个音的频率为f1，第七个音的频率为f2.则＝(　　)‎ A. B. C.4 D. 解析　依题意，13个音的频率成等比数列，记为{an}，设公比为q.则a13＝a1q12，且a13＝2a1，∴q＝2，‎ 所以＝＝q4＝＝.‎ 答案　A 热点三　立体几何中的数学文化 ‎【例3】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(　　)‎ A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 ‎(2)我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势即同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为(　　)‎ A.4－ B.8－ C.8－π D.8－2π 解析　(1)设米堆的底面半径为r尺，则r＝8，所以r＝，所以米堆的体积为V＝×π×r2×5＝××5≈(立方尺).故堆放的米约有÷1.62≈22(斛).‎ ‎(2)由三视图知，该几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱.‎ V正方体＝23＝8，V半圆柱＝(π×12)×2＝π，‎ ‎∴三视图对应几何体的体积V＝8－π.‎ 根据祖暅原理，不规则几何体的体积V′＝V＝8－π.‎ 答案　(1)B　(2)C 探究提高　1.本例以《九章算术》，祖暅原理为背景，相应考查圆锥的体积公式、三视图及其体积计算.既检测了考生的基础知识和基本技能，又展示了中华民族的优秀传统文化.‎ ‎2.两题很好地诠释了《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》中对数学文化内容的要求，加强对中国优秀传统文化的考查，引导考生提高人文素养、传承民族精神，树立民族自信心和自豪感，试题的价值远远超出试题本身.‎ ‎【训练3】 (2017·新乡三模)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高一丈.问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出如下图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为(　　)‎ A.5 000立方尺 B.5 500立方尺 C.6 000立方尺 D.6 500立方尺 解析　该楔形的直观图如图中的几何体ABCDEF，取AB的中点G，CD的中点H，连FG，GH，HF，则该几何体的体积为四棱锥F－GBCH与三棱柱ADE－GHF的体积之和，而三棱柱ADE－GHF可通过割补法得到一个高为EF，底面积为S＝×3×1＝平方丈的一个直棱柱，故该楔形的体积V＝×2＋×2×3×1＝5立方丈＝‎ ‎5 000立方尺.‎ 答案　A 热点四　概率统计中的数学文化 ‎【例4】　(1)(2016·全国Ⅱ卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到G处的老年公寓参加志愿者活者，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)‎ A.24 B.18 C.12 D.9‎ ‎(2)(2017·菏泽市二模)欧阳修在《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计)，则油恰好落入孔中的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析　(1)分两步：小明从E处到F处有C＝6种走法.两人一起到G处有C＝3种走法.由分步乘法计数原理，共有6×3＝18种路径.‎ ‎(2)易知铜钱的面积S＝π×22＝4π，铜钱小孔的面积S0＝1.根据几何概型，所求概率P＝＝.‎ 答案　(1)B　(2)D 探究提高　1.弘扬中华传统文化在数学中体现为两点：一是挖掘古代典籍与数学知识的结合点；二是将数学落实在中华传统美德，贯彻“弘扬正能量”的精神风貌.‎ ‎2.试题插图的创新是本题的一个亮点，其一，增强了数学问题的生活化，使数学的应用更贴近考生的生活实际；其二，有利于考生分析问题和解决问题，这对稳定考生在考试中的情绪和心态起到了较好的效果；其三，‎ 探索了数学试题插图的新形式，给出了如何将抽象的数学问题直观化的范例.‎ ‎【训练4】 (1)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为(　　)‎ A.134石 B.169石 C.338石 D.1 365石 ‎(2)(2017·全国Ⅰ卷)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析　(1)由分层抽样的含义，该批米内夹谷约为×1 534≈169(石).‎ ‎(2)设正方形的边长为2，则面积S正方形＝4.‎ 又正方形内切圆的面积S＝π×12＝π.‎ 所以根据对称性，黑色部分的面积S黑＝.‎ 由几何概型的概率公式，概率P＝＝.‎ 答案　(1)B　(2)B 热点五　推理与证明中的数学文化 ‎【例5】　(1)(2017·南宁质检)如图所示是毕达哥拉斯(Pythagoras)的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，若共得到4 095个正方形，设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为________.‎ ‎(2)(2015·湖北卷)《九章算术》中，‎ 将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P－ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，点E是PC的中点，连接DE，BD，BE.‎ ‎①证明：DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由.‎ ‎②记阳马P－ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值.‎ ‎(1)解析　依题意，正方形的边长构成以为首项，公比为的等比数列，因为共有4 095个正方形，则1＋2＋22＋…＋2n－1＝4 095，∴n＝12.‎ 所以最小正方形的边长为×＝＝.‎ 答案　 ‎(2)①证明　因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥BC，‎ 由于底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，且PD∩CD＝D，‎ 所以BC⊥平面PCD.‎ 由DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE，‎ 又PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC.‎ 由PC∩BC＝C，故DE⊥平面PBC.‎ 由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC.‎ 可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，则四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB.‎ ‎②解　由已知，PD是阳马P－ABCD的高.‎ ‎∴V1＝SABCD·PD＝·BC·CD·PD，‎ 由①知，DE是鳖臑D－BCE的高，BC⊥CE.‎ ‎∴V2＝S△BCE·DE＝·BC·CE·DE，‎ 在Rt△PDC中，由于PD＝CD，点E是PC的中点.‎ 所以DE＝CE＝CD，于是＝＝＝4.‎ ‎【训练5】 在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如图1所示的三角形，解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士·帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形.近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)如图1，17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图2.在杨辉三角中相邻两行满足关系式：C＋C＝C，其中n是行数，r∈N.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是________.‎ 图1‎ 图2‎ 解析　类比观察得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数，而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，故类比式子C＋C＝C，有＝＋.‎ 答案　＋＝ 热点六　数学文化与现代科学 ‎【例6】　2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③<；④c1a2>a1c2.‎ 其中正确式子的序号是(　　)‎ A.①③ B.①④ C.②③ D.②④‎ 解析　观察图形可知a1>a2，c1>c2，∴a1＋c1>a2＋c2，即①式不正确；‎ a1－c1＝a2－c2＝|PF|，即②式正确；由a1－c1＝a2－c2>0，c1>c2>0，‎ 知<，即<，从而c1a2>a1c2，>.即 ‎④式正确，③式不正确.‎ 答案　D 探究提高　1.命题者抓住“嫦娥奔月”这个古老而又现代的浪漫话题，以探测卫星轨道为背景，抽象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运.‎ ‎2.注意到椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ共一个顶点P和一个焦点F，题目所给四个式子涉及长半轴长和半焦距，从焦距入手，这是求解的关键，本题对考生的数学能力进行了比较全面的考查，是一道名副其实的小中见大、常中见新、蕴文化于现代科学技术应用之中的好题.‎ ‎【训练6】 第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan＝________.‎ 解析　依题意得大、小正方形的边长分别是1，5，‎ 于是有5sin θ－5cos θ＝1，则sin θ－cos θ＝.‎ 从而(sin θ＋cos θ)2＝2－(sin θ－cos θ)2＝，‎ 则sin θ＋cos θ＝，因此sin θ＝，cos θ＝，tan θ＝.‎ 故tan＝＝－7.‎ 答案　－7‎ ‎1.以古代数学知识为背景命制的题目常与立体几何、函数、数列、算法等知识有关，解题的关键是将数学史背景下的条件转化为高中数学知识，考查考生的阅读理解能力、抽象概括能力、转化与化归能力，既体现了对数学应用性的考查，也体现了我国数学文化的源远流长.‎ ‎2.随着高考改革的深入，仍会适当加大对中国传统文化进行考查的内容，如将四大发明、勾股定理等所代表的中国古代科技文明作为试题背景材料，遵循继承、弘扬、创新的发展路径，注重传统文化在现实中的创造性转化和创新性发展，体现中国传统科技文化对人类发展和社会进步的贡献，践行社会主义核心价值观.‎