【数学】2018届一轮复习人教A版第57讲空间线线距、异面直线间的距离、线面距和面面距的求法学案 13页

【知识要点】 一、四种距离的定义及常见求法 1、线线距：线线距指的是两条平行直线之间的距离，其中一条直线上的任意一点到 另外一条直线的距离. 常见求法：(1)几何法：在其中一条直线上任意取一点，然后作另外一条直线的垂线段， 求垂线段的长度.（2）向量法： ，其中 ， 是 的方 向向量 2、异面直线间的距离：异面直线 间的距离为 间的公垂线段的长． 常见求法①几何法：先证线段 为异面直线 的公垂线段，然后求出 的长即 可．②向量法：如下图所示， 是两异面直线， 是 和 的法向量，点 ， 则异面直线 与 之间的距离是 ； 3、直线到平面的距离：只存在于直线和平面平行之间，为直线上任意一点到平面间的 距离. 常见求法：（1）几何法：找 作 证（定义） 求（解三角形）；（2）向量法.利用 直线 与平面 之间的距离公式： ，其中 是平面 的法向量 ba, ba, ba, n n nEF d ⋅ = 2 2| | | | AB ad AB a  ⋅= −       ,A a B b∈ ∈ a a AB AB ,a b a b ,E a F b∈ ∈ a b → → → a α | | AB n d n ⋅ =    ,A a B α∈ ∈ n α a b E F 4、平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间，为一个平面上任意一点到另一 个平面的距离. 常见求法（1）几何法：找 作 证（定义） 求（解三角形）；（2）向量法.一般 利用两平行平面 之间的距离 ，其中 是平面 的法向量 二、上面四种距离都是对应图形上两点间的最短距离.所以均可以用求函数的最小值法求各 距离.. 三、上面四种距离是可以相互转化的，最终都可以转化成点点距 求解. 四、在上面四种距离的解法中，最常用的是几何的方法和向量的方法. 【方法讲评】 两平行直线的距离 方法一 几何法 使用情景 直线和直线的距离比较容易作出. 解题步骤 找 作 证（定义） 求（解三角形） 方法二 向量法 使用情景 直线和直线的距离不容易作出，根据已知条件比较容易建立坐标系，写出点的 坐标. 解题步骤 建立空间直角坐标系 求直线的方向向量 求 代入公式 ，其中 ， 是 的方向向量 由于高考关于立体几何中两平行线间的距离考得相当少，几乎不考，所以这里不再赘述. 异面直线间的距离 方法一 几何法 使用情景 异面直线的公垂线段存在或比较容易作出. 解题步骤 证线段 为异面直线 的公垂线段 求出 的长即可． 方法二 向量法 使用情景 异面直线的公垂线段不存在或不容易作出，根据已知条件比较容易建立坐标系， ba, → → → ,α β | | AB n d n ⋅ =    ,A Bα β∈ ∈ n α → → → → a → AB → 2 2| | | | AB ad AB a  ⋅= −       ,A a B b∈ ∈ a a AB → AB 写出点的坐标. 解题步骤 建立空间直角坐标系 求 和 的法向量 ( 是两异面直线) 求向量 ( ) 代入异面直线 和 之间的距离公式 【例 1】已知正四棱柱 ，点 在棱 上，截面 ,且面 与底面 所成的角为 , ,求： (1)截面 的面积；(2)异面直线 与 之间的距离；(3)三棱锥 的体 积. (3)连结 交 于 ，交 于 ，推证出 ⊥面 ∴ 是三棱锥 的高，得 n nEF d ⋅ = → a b n ,a b → EF ,E a F b∈ ∈ → a b 1 1 1 1ABCD A B C D− E 1D D 1||EAC D B EAC ABCD 045 AB a= EAC 1 1A B AC 1B EAC− 1B D 1BD P EO Q 1B D EAC 1B Q 1B EAC− 1 3 2B Q a= A B C D O S x y z 图 1 【点评】本题就是利用利用几何法求两异面直线的距离，先证明 是异面直线 与 间的公垂线，再求 .学 . 【 反 馈 检 测 1 】 直 三 棱 柱 的 底 面 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， ， ， 点到 的距离为 = ， 为 的中点. （1）求证： ⊥平面 ； （2）求异面直线 与 之间的距离； （3）求二面角 的平面角的正切. 【例 2】如图 1，正四棱锥 的高 ，底边长 .求异面直线 和 之间的距离？ 【解析】 2 3 S ABCD− 2SO = 2AB = BD SC 32 4 2 2 3 2 2 3 1 1 aaaV EACB =⋅⋅=− 1A A 1 1A B AC 1A A 1 1 1ABC A B C− ABC 090ACB∠ = 1AC = C 1AB CE D AB 1AB CED 1AB CD 1B AC B− − 【点评】由于本题已知条件适用于建立空间直角坐标系，所以选用向量的方法求两异面 直线间的距离. 【反馈检测 2】已知正方体 的棱长为 2，点 为棱 的中点，求： （Ⅰ） 与平面 所成角的余弦值；（Ⅱ）二面角 的余弦值； （Ⅲ）异面直线 与 之间的距离． 直线到平面的距离 方法一 几何法 使用情景 直线上一点在平面的射影位置比较容易确定. 解题步骤 找 作 证（定义） 求（解三角形） 1 1 1 1ABCD A B C D− E AB 1D E 1BC D 1D BC C− − 1 1B D 1BC → → → 方法二 向量法 使用情景 直线上的点在平面内的射影位置不好确定，根据已知条件比较容易建立坐标系， 写出点的坐标. 解题步骤 建立空间直角坐标系 求平面 的法向量 求平面的斜向量 的坐标 （ ） 代入公式 ，即得直线 到平面 的距离. 【例 3】在直三棱柱 中, , ，求： （1）异面直线 与 所成角的大小； （2）直线 到平面 的距离． 【点评】线面距离往往转化成点面距离 处理，最后可能转化为空间几何体的体积求得， 体积法不用作垂线. 学 . n nAB d ⋅ = → α → AB ,A l B α∈ ∈ → l α 1 1 1ABC - A B C 90 ABC =∠ ° 11, 2AB = BC = BB = 1 1B C 1AC 1 1B C BCA1 【反馈检测 3】已知正三棱柱 的底面边长为 8，对角线 ，D 是 的中点.（1）求点 到直线 的距离.（2）求直线 到平面 的距离. 【例 4 】如图①在直角 梯形 中， ， ， ， ， 分别是线段 、 ， 的 中点，现将 折起，使平面 ⊥平面 （如图②） （1）求证 ∥平面 ；（2）求直线 与平面 之间的距离； （3）在线段 上确定一点 ，使 ⊥平面 ，试给出证明． 111 CBAABC − 101 =CB 1B 1AB BDC1AC AC ABCP ||BC AP AB BC⊥ CD AP⊥ 2AD DC PD= = = , ,E F G PC PD BC PDC∆ PDC ABCD AP EFG AP EFG PB Q PC ADQ B A C D 1A 1B 1C (2)由(1)知 ∥平面 ，则 到平面 的距离为点 到平面 的距离 平面 的法向量 ， (2,0,0), (1,2,0) , =(-1,2,0) 所以点 到平面 的距离为｜ ｜= = ∴ 到平面 的距离为 （3）假设在线段 上存在一点 ，使 ⊥平面 ， 【点评】本题就是把直线到平面的距离转化成点到平面的距离，再利用公式求解. AP EFG AP EFG A EFG EFG (1,0,1)n = A G AG∴ A EFG n nAG ⋅ 101 001 ++ ++− 2 2 AP EFG 2 2 PB Q PC ADQ 平面到平面的距离 方法一 几何法 使用情景 一个平面内的点在另外一个平面的射影位置比较容易确定. 解题步骤 找 作 证（定义） 求（解三角形） 方法二 向量法 使用情景 一个平面内的点在另外一个平面内的射影位置不好确定，根据已知条件比较容 易建立坐标系，写出点的坐标. 解题步骤 建立空间直角坐标系 求平面 的法向量 求平面的斜向量 的坐标 （ ） 代入公式 ，即得平面 到平面 的距离. 【例 5】 在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AB=4，BC=3，CC1=2，如图： （1）求证：平面 A1BC1∥平面 ACD1； （2）求(1)中两个平行平面间的距离； （3）求点 B1 到平面 A1BC1 的距离. n nAB d ⋅ = → → → → α → AB ,A Bα β∈ ∈ → α β D1 C1 B1A1 D C BA （3）解：由于线段 B1D1 被平面 A1BC1 所平分，则 B1、D1 到平面 A1BC1 的距离相等，则 由（2）知点 B1 到平面 A1BC1 的距离等于 . 【点评】（1）立体几何图形必须借助面的衬托，点、线、面的位置关系才能显露地“立” 起 .在具体的问题中，证明和计算经常依附于某种特殊的辅助平面即基面.这个辅助平面的获 取正是解题的关键所在，通过对这个平面的截得，延展或构造，纲举目张，问题就迎刃而解 了.（2）本题中求面面距利用到了转化的思想，把面面距灵活地转化成了点面距. 【反馈检测 4】已知 是两条异面直线， 是三个互相平行的平面， 分别 交 于 和 ， ， ， ，又 与 成 角，则 与 的距离是__________； =__________ 61 6112 1 2,l l , ,α β γ 1 2,l l , ,α β γ , ,A B C , ,D E F 4AB = 12BC = 10DF = 1l α 030 β γ DE 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第 57 讲： 空间线线距、异面直线间的距离、线面距和面面距的求法参 考答案 【反馈检测 1 答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ） （Ⅲ） （3）连结 ，易证 ⊥ ，又 ⊥ , ∴ 是二面角 的平 面角. 在 Rt△ 中， = ， , ∴ ∴ ， ∴ , ∴ . 所以二面角 的平面角的正切值为 【反馈检测 2 答案】（1） ；（2） ；（3） .学 . 【反馈检测 2 详细解析】建立坐标系如图，则 、 ， ， 1 2 2 3 260cos 1 21 ==AB 2)()( 22 11 =−= ABABBB 2. 1B C 1B C AC BC AC 1B CB∠ 1B AC B− − CEA CE 1BC AC= = 0 1 60B AC∠ = 1 1tan 2BBB CB BC ∠ = = 1B AC B− − 2. 3 9 3 3 1 1 1 2 3 3 AC BB d AC = =     ( )2,0,0A ( )2,2,0B ( )0,2,0C ， ， ， ， ， ， ， ． 【反馈检测 3 答案】（1） ；（2） . 【反馈检测 3 详细解析】：（1）连结 BD， ，由三垂线定理可得： ，所以 就是 点到直线 AC 的距离. 在 中 ． . （2）因为 AC 与平面 BD 交于ＡＣ的中点Ｄ，设 ，则 //DE，所以 //平面 ，所以 到平面 的距离等于Ａ点到平面 的距离，等于Ｃ点到平 面 的距离，也就等于三棱锥 的高. 13 1312 BDBRt 1∆ ,6810 2222 11 =−=−= BCCBBB 34=BD 2122 1 2 1 =+=∴ BBBDDB ( )1 2,0,2A ( )1 2,2,2B ( )1 0,0,2D ( )2,1,0E ( )1 2,2, 2AC = − − ( )1 2,1, 2D E = − ( )0,2,0AB = ( )1 0,0,2BB = 2 21 1B D 1B D AC⊥ 1B D 1B 1C 1 1B C BC E= 1AB 1AB 1BDC 1AB 1BDC 1BDC 1BDC 1C BDC− 【反馈检测 4 答案】 . 【反馈检测 4 详细解析】由直线与平面所成角的定义及平行平面距离定义易得 与 间距 离为 由面面平行的性质定理可得 = ，∴ = ，即 = ∴ . 6 25； β γ 6 BC AB EF DE BCAB AB + EFDE DE + 124 4 + 10 DE =25DE