【数学】辽宁省营口市盖州市第二高级中学2021届高三第一学期期中考试试卷 10页

辽宁省营口市盖州市第二高级中学 2021 届高三第一学期期 中考试数学试卷 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一．选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合 2{ | 1}A x x  ， 2{ | 2 0, }B x x x x    Z ，则 BA  = ( ) A．{ 1} B．{1} C．{ 1,1} D．{ 1,0,1} 2．在复平面内，复数 (2 i)z 对应的点位于第二象限，则复数 z 可取( ) A．2 B． 1 C． i D． 2 i 3．已知 x ， yR ，则“ 1x y  ”是“ 1 2x  且 1 2y  ”的( ) A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充分且必要条件 D．不充分也不必要条件 4．从 3 名男生和 2 名女生共 5 名同学中抽取 2 名同学，若抽到了 1 名女同学，则另 1 名女 同学也被抽到的概率为 ( ) A． 1 10 B． 1 8 C． 1 2 D． 1 7 5． 51( )2x x  的展开式中 3x 的系数为 ( ) A． 5 2  B． 5 C．5 D． 5 2 6．已知函数 e e( ) ln 2 x x f x  ，则( ) A． ( )f x 是奇函数，且在 ( , )  上单调递增 B． ( )f x 是奇函数，且在 ( , )  上单调递减 C． ( )f x 是偶函数，且在 (0, ) 上单调递增 D． ( )f x 是偶函数，且在 (0, ) 上单调递减 7．在 △ ABC 中， 1cos 3A  ， 2AB  ， 3BC  ，则 △ ABC 的面积为( ) A．1 B．2 C．3 2 D． 2 2 8．若 1x  是函数 3 2 21( ) ( 1) ( 3)3f x x a x a a x      的极值点，则 a 的值为( ) A． 2 B． 3 C． 2 或 3 D． 3 或 2 二．选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。 9.在某次高中学科知识竞赛中，对 4 000 名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分 布直方图，其中分组的区间为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，60 分以下 视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是 ( ) A．成绩在[70,80)的考生人数最多 B．不及格的考生人数为 1 000 C．考生竞赛成绩的平均分约为 70.5 分 D．考生竞赛成绩的中位数为 75 分 10.已知函数 f(x)＝ 3cos (2x－π 3)(x∈R)，下列结论错误的是( ) A．函数 f(x)的最小正周期为π B．函数 f(x)的图象关于点(5π 6 ，0)对称 C．函数 f(x)在区间[0，π 2]上是减函数 D．函数 f(x)的图象关于直线 x＝π 6 对称 11．已知下列四个结论正确的是 ( ) A．a>b ⇔ ac>bc B．函数 y＝sinx＋ 4 sinx(0b>0，c>d>0 ⇒ a d>b c D．函数 y＝2－3x－4 x(x>0)的最大值为 2－4 3 12．若函数 f(x)在 R 上可导，且满足 f(x)－xf′(x)>0，则下列命题正确的是( ) A．3f(1)f(3) C．3f(3)f(4) 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 三．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．若两个单位向量 a ， b 的夹角为 60 ，则| 2 | a b ________． 14．学校组织学生参加社会调查，某小组共有 3 名男同学，4 名女同学．现从该小组中选出 3 名同学分别到甲乙丙三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同的安排方法有 ________． 15．已知θ是第四象限角，且 tan(θ－π 4)＝－4 3 ，则 sin(θ＋π 4)＝______． 16．已知函数 f (x)＝ln(x3－3x)的单调递减区间为______． 四．解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分 10 分） 已知函数 ( ) sin( )( 0, )2 2f x x           的最小正周期是 ， 8x  是它图象的 一条对称轴直线． （Ⅰ）求 ,  ； （Ⅱ）若 10( )2 10f   ， 04     ，求sin 的值． 18.（本小题满分 12 分） 商品的销售价格与销售量密切相关，为更精准地为商品确定最终售价，商家对商品 A 按以 下单价进行试售，得到部分的数据如下： 单价 x （元） 15 16 17 18 19 销量 y （件） 60 58 55 53 49 （1）求销量 y 关于 x 的线性回归方程； （2）预计今后的销售中，销量与单价服从（1）中的线性回归方程，已知每件商品 A 的成 本是10 元，为了获得最大利润，商品 A 的单价应定为多少元？（结果保留整数） （参考数据： 5 1 275i i y   ， 5 1 4648i i i x y   ， 5 2 1 1455i i x   ） （参考公式：      1 1 2 22 1 1 n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx                 ， a y bx $ $ ）． 19．（本小题满分 12 分） 已知曲线 2( ) ( 15)exf x x ax   ，曲线 ( )y f x 在 0x  处的切线为 9 0x y b   ． （1）求 a ， b 值； （2）函数 ( )f x 在区间[ 2 ， 2] 上的最大值与最小值． 20．（本小题满分 12 分） 司机在开机动车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命. 为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门调查了100 名机动车司机，得到以下统计： 在55名男性司机中，开车时使用手机的有 40 人，开车时不使用手机的有15人；在 45 名女 性司机中，开车时使用手机的有 20 人，开车时不使用手机的有 25 人． （1）完成下面的 2 2 列联表，并判断是否有99.5% 的把握认为开车时使用手机与司机的性 别有关； 开车时使用手机 开车时不使用手机 合计 男性司机人数 女性司机人数 合计 （2）以上述的样本数据来估计总体，现交警部门从道路上行驶的大量机动车中随机抽检 3 辆，记这 3 辆车中司机为男性且开车时使用手机的车辆数为 X ，若每次抽检的结果都相互 独立，求 X 的分布列和数学期望 ( )E X ． 参考公式与数据： 参考数据：  2 0P k  0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式        2 2 n ad bc a b c d a c b d       ，其中 n a b c d    . 21.（本小题满分 12 分） 已知向量 m＝(cos x，sin x)，n＝(cos x， 3cos x)，x∈R，设函数 f(x)＝m·n＋1 2. (1)求函数 f(x)的解析式及单调递增区间； (2)设 a，b，c 分别为△ABC 的内角 A，B，C 的对边，若 f(A)＝2，b＋c＝2 2，△ABC 的面 积为1 2 ，求 a 的值． 22.（本小题满分 12 分） 已知关于 x 的函数 g（x）= ﹣alnx（a∈R），f（x）=x2g（x）． （1）当 a=﹣2 时，求函数 g（x）的单调区间； （2）若 f（x）在区间（ ，e）内有且只有一个极值点，试求 a 的取值范围． 参考答案 一．选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 二．选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B B D A C D B ABC BC CD BD 三．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13． 3 14.180 种 15．3 5 16．(－1，0) 四．解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分 10 分） 解：（Ⅰ）由题意 2   ， 2  ， …………（2 分） 直线 8x  是 ( )f x 图象的一条对称轴，所以 ( ) 18f    ， …………（3 分） 即sin( ) 14     ， ( )4k k   Z ， 因为 2 2     ，所以 4   ； …………（5 分） （Ⅱ）因为 10( )2 10f   ，即 10sin( )4 10    ， 由 04     得 0 4 4     ， 所以 2 3 10cos( ) 1 sin ( )4 4 10        ， 因此sin sin[( ) ]4 4      …………（8 分） sin( )cos cos( )sin4 4 4 4         10 2 3 10 2 10 2 10 2     5 5   ． …………（10 分） 18.（本小题满分 12 分） 解：（1）  1 15 16 17 18 19 175x       ， …………（2 分） 5 1 1 275 555 i i y y     ， …………（4 分） 2 1 22 1 4648 5 17 55 2.71455 5 17 n n i i i i i x x y nxy b nx               ， …………（6 分）   55 2.7 17 100.9a y bx        . …………（8 分）  销量 y 关于 x 的线性回归方程为 2.7 100.9y x   ； …………（10 分） （2）设商品 A 的单价应定为 x 元，则利润   22.7 100.9 10 2.7 99.9w x x x x x       ，  当 99.9 18.5 195.4x     时，获得的利润最大． …………（12 分） 19.（本小题满分 12 分） 解：（1） 2( ) [ ( 2) 15]exf x x a x a      ． 由题设 (0) 9f    ， (0)f b  ，于是 6a  ， 15b  ． …………（6 分） （2）由（1）知 2( ) ( 6 15)exf x x x   ， ( ) ( 1)( 9)exf x x x    ． 令 ( ) 0f x  得 1x  或 9x   ，其中1[ 2 ， 2] ， 9  [ 2 ， 2] ． 因为 2( 2) 23ef    ， (1) 8ef   ， 2(2) ef  ，所以函数 ( )f x 在区间[ 2 ，2] 上的最大值为 2e ，最小值为 8e ． …………（12 分） 20．（本小题满分 12 分） 解：（1）由已知数据可得 2 2 列联表如下： 开车时使用手机 开车时不使用手机 合计 男性司机人数 40 15 55 女性司机人数 20 25 45 合计 60 40 100  2 2 100 40 25 15 20 8.249 7.87960 40 55 45         ＞  有 99.5% 的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关…………（6 分） （2）随机抽检1辆，司机为男性且开车时使用手机的概率 40 2 100 5p   有题意可知： X 可取值是 0,1,2,3，且 23 5X B     ,   0 3 0 3 2 3 270 5 5 125P X C              ；   1 2 1 3 2 3 541 5 5 125P X C             ；   2 1 2 3 2 3 362 5 5 125P X C             ；   3 0 3 3 2 3 83 5 5 125P X C             则 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 数学期望   23 1.25E X    …………（12 分） 21.（本小题满分 12 分） 解：(1)由题意知 f(x)＝cos2x＋ 3sin xcos x＋1 2 ＝sin (2x＋π 6)＋1，令 2x＋π 6 ∈[－π 2 ＋2kπ，π 2 ＋2kπ]， k∈Z，解得 x∈[－π 3 ＋kπ，π 6 ＋kπ]，k∈Z， ∴函数 f(x)的单调递增区间为[－π 3 ＋kπ，π 6 ＋kπ]，k∈Z. …………（6 分） (2)∵f(A)＝sin (2A＋π 6)＋1＝2，∴sin (2A＋π 6)＝1. ∵0