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  • 2021-06-16 发布

【数学】辽宁省营口市盖州市第二高级中学2021届高三第一学期期中考试试卷

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辽宁省营口市盖州市第二高级中学 2021 届高三第一学期期 中考试数学试卷 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一.选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合 2{ | 1}A x x  , 2{ | 2 0, }B x x x x    Z ,则 BA  = ( ) A.{ 1} B.{1} C.{ 1,1} D.{ 1,0,1} 2.在复平面内,复数 (2 i)z 对应的点位于第二象限,则复数 z 可取( ) A.2 B. 1 C. i D. 2 i 3.已知 x , yR ,则“ 1x y  ”是“ 1 2x  且 1 2y  ”的( ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充分且必要条件 D.不充分也不必要条件 4.从 3 名男生和 2 名女生共 5 名同学中抽取 2 名同学,若抽到了 1 名女同学,则另 1 名女 同学也被抽到的概率为 ( ) A. 1 10 B. 1 8 C. 1 2 D. 1 7 5. 51( )2x x  的展开式中 3x 的系数为 ( ) A. 5 2  B. 5 C.5 D. 5 2 6.已知函数 e e( ) ln 2 x x f x  ,则( ) A. ( )f x 是奇函数,且在 ( , )  上单调递增 B. ( )f x 是奇函数,且在 ( , )  上单调递减 C. ( )f x 是偶函数,且在 (0, ) 上单调递增 D. ( )f x 是偶函数,且在 (0, ) 上单调递减 7.在 △ ABC 中, 1cos 3A  , 2AB  , 3BC  ,则 △ ABC 的面积为( ) A.1 B.2 C.3 2 D. 2 2 8.若 1x  是函数 3 2 21( ) ( 1) ( 3)3f x x a x a a x      的极值点,则 a 的值为( ) A. 2 B. 3 C. 2 或 3 D. 3 或 2 二.选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求。全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分。 9.在某次高中学科知识竞赛中,对 4 000 名考生的参赛成绩进行统计,可得到如图所示的频率分 布直方图,其中分组的区间为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],60 分以下 视为不及格,若同一组中数据用该组区间中间值作代表值,则下列说法中正确的是 ( ) A.成绩在[70,80)的考生人数最多 B.不及格的考生人数为 1 000 C.考生竞赛成绩的平均分约为 70.5 分 D.考生竞赛成绩的中位数为 75 分 10.已知函数 f(x)= 3cos (2x-π 3)(x∈R),下列结论错误的是( ) A.函数 f(x)的最小正周期为π B.函数 f(x)的图象关于点(5π 6 ,0)对称 C.函数 f(x)在区间[0,π 2]上是减函数 D.函数 f(x)的图象关于直线 x=π 6 对称 11.已知下列四个结论正确的是 ( ) A.a>b ⇔ ac>bc B.函数 y=sinx+ 4 sinx(0b>0,c>d>0 ⇒ a d>b c D.函数 y=2-3x-4 x(x>0)的最大值为 2-4 3 12.若函数 f(x)在 R 上可导,且满足 f(x)-xf′(x)>0,则下列命题正确的是( ) A.3f(1)f(3) C.3f(3)f(4) 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 三.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.若两个单位向量 a , b 的夹角为 60 ,则| 2 | a b ________. 14.学校组织学生参加社会调查,某小组共有 3 名男同学,4 名女同学.现从该小组中选出 3 名同学分别到甲乙丙三地进行社会调查,若选出的同学中男女均有,则不同的安排方法有 ________. 15.已知θ是第四象限角,且 tan(θ-π 4)=-4 3 ,则 sin(θ+π 4)=______. 16.已知函数 f (x)=ln(x3-3x)的单调递减区间为______. 四.解答题:本题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 10 分) 已知函数 ( ) sin( )( 0, )2 2f x x           的最小正周期是 , 8x  是它图象的 一条对称轴直线. (Ⅰ)求 ,  ; (Ⅱ)若 10( )2 10f   , 04     ,求sin 的值. 18.(本小题满分 12 分) 商品的销售价格与销售量密切相关,为更精准地为商品确定最终售价,商家对商品 A 按以 下单价进行试售,得到部分的数据如下: 单价 x (元) 15 16 17 18 19 销量 y (件) 60 58 55 53 49 (1)求销量 y 关于 x 的线性回归方程; (2)预计今后的销售中,销量与单价服从(1)中的线性回归方程,已知每件商品 A 的成 本是10 元,为了获得最大利润,商品 A 的单价应定为多少元?(结果保留整数) (参考数据: 5 1 275i i y   , 5 1 4648i i i x y   , 5 2 1 1455i i x   ) (参考公式:      1 1 2 22 1 1 n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx                 , a y bx $ $ ). 19.(本小题满分 12 分) 已知曲线 2( ) ( 15)exf x x ax   ,曲线 ( )y f x 在 0x  处的切线为 9 0x y b   . (1)求 a , b 值; (2)函数 ( )f x 在区间[ 2 , 2] 上的最大值与最小值. 20.(本小题满分 12 分) 司机在开机动车时使用手机是违法行为,会存在严重的安全隐患,危及自己和他人的生命. 为了研究司机开车时使用手机的情况,交警部门调查了100 名机动车司机,得到以下统计: 在55名男性司机中,开车时使用手机的有 40 人,开车时不使用手机的有15人;在 45 名女 性司机中,开车时使用手机的有 20 人,开车时不使用手机的有 25 人. (1)完成下面的 2 2 列联表,并判断是否有99.5% 的把握认为开车时使用手机与司机的性 别有关; 开车时使用手机 开车时不使用手机 合计 男性司机人数 女性司机人数 合计 (2)以上述的样本数据来估计总体,现交警部门从道路上行驶的大量机动车中随机抽检 3 辆,记这 3 辆车中司机为男性且开车时使用手机的车辆数为 X ,若每次抽检的结果都相互 独立,求 X 的分布列和数学期望 ( )E X . 参考公式与数据: 参考数据:  2 0P k  0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式        2 2 n ad bc a b c d a c b d       ,其中 n a b c d    . 21.(本小题满分 12 分) 已知向量 m=(cos x,sin x),n=(cos x, 3cos x),x∈R,设函数 f(x)=m·n+1 2. (1)求函数 f(x)的解析式及单调递增区间; (2)设 a,b,c 分别为△ABC 的内角 A,B,C 的对边,若 f(A)=2,b+c=2 2,△ABC 的面 积为1 2 ,求 a 的值. 22.(本小题满分 12 分) 已知关于 x 的函数 g(x)= ﹣alnx(a∈R),f(x)=x2g(x). (1)当 a=﹣2 时,求函数 g(x)的单调区间; (2)若 f(x)在区间( ,e)内有且只有一个极值点,试求 a 的取值范围. 参考答案 一.选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 二.选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求。全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B B D A C D B ABC BC CD BD 三.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13. 3 14.180 种 15.3 5 16.(-1,0) 四.解答题:本题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 10 分) 解:(Ⅰ)由题意 2   , 2  , …………(2 分) 直线 8x  是 ( )f x 图象的一条对称轴,所以 ( ) 18f    , …………(3 分) 即sin( ) 14     , ( )4k k   Z , 因为 2 2     ,所以 4   ; …………(5 分) (Ⅱ)因为 10( )2 10f   ,即 10sin( )4 10    , 由 04     得 0 4 4     , 所以 2 3 10cos( ) 1 sin ( )4 4 10        , 因此sin sin[( ) ]4 4      …………(8 分) sin( )cos cos( )sin4 4 4 4         10 2 3 10 2 10 2 10 2     5 5   . …………(10 分) 18.(本小题满分 12 分) 解:(1)  1 15 16 17 18 19 175x       , …………(2 分) 5 1 1 275 555 i i y y     , …………(4 分) 2 1 22 1 4648 5 17 55 2.71455 5 17 n n i i i i i x x y nxy b nx               , …………(6 分)   55 2.7 17 100.9a y bx        . …………(8 分)  销量 y 关于 x 的线性回归方程为 2.7 100.9y x   ; …………(10 分) (2)设商品 A 的单价应定为 x 元,则利润   22.7 100.9 10 2.7 99.9w x x x x x       ,  当 99.9 18.5 195.4x     时,获得的利润最大. …………(12 分) 19.(本小题满分 12 分) 解:(1) 2( ) [ ( 2) 15]exf x x a x a      . 由题设 (0) 9f    , (0)f b  ,于是 6a  , 15b  . …………(6 分) (2)由(1)知 2( ) ( 6 15)exf x x x   , ( ) ( 1)( 9)exf x x x    . 令 ( ) 0f x  得 1x  或 9x   ,其中1[ 2 , 2] , 9  [ 2 , 2] . 因为 2( 2) 23ef    , (1) 8ef   , 2(2) ef  ,所以函数 ( )f x 在区间[ 2 ,2] 上的最大值为 2e ,最小值为 8e . …………(12 分) 20.(本小题满分 12 分) 解:(1)由已知数据可得 2 2 列联表如下: 开车时使用手机 开车时不使用手机 合计 男性司机人数 40 15 55 女性司机人数 20 25 45 合计 60 40 100  2 2 100 40 25 15 20 8.249 7.87960 40 55 45         >  有 99.5% 的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关…………(6 分) (2)随机抽检1辆,司机为男性且开车时使用手机的概率 40 2 100 5p   有题意可知: X 可取值是 0,1,2,3,且 23 5X B     ,   0 3 0 3 2 3 270 5 5 125P X C              ;   1 2 1 3 2 3 541 5 5 125P X C             ;   2 1 2 3 2 3 362 5 5 125P X C             ;   3 0 3 3 2 3 83 5 5 125P X C             则 X 的分布列为: X 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 数学期望   23 1.25E X    …………(12 分) 21.(本小题满分 12 分) 解:(1)由题意知 f(x)=cos2x+ 3sin xcos x+1 2 =sin (2x+π 6)+1,令 2x+π 6 ∈[-π 2 +2kπ,π 2 +2kπ], k∈Z,解得 x∈[-π 3 +kπ,π 6 +kπ],k∈Z, ∴函数 f(x)的单调递增区间为[-π 3 +kπ,π 6 +kπ],k∈Z. …………(6 分) (2)∵f(A)=sin (2A+π 6)+1=2,∴sin (2A+π 6)=1. ∵0