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- 2021-06-16 发布
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考查角度 2 三角恒等变换与解三角形的综合应用
分类透析一 三角恒等变换及应用
例 1 在△ABC 中,AC=6,cos B=
4
5
,C=
π
4
.
(1)求 AB 的长;
(2)求 cos
-
π
6
的值.
分析 (1)先利用同角三角函数关系式求出 sin B,再用正弦定理
求 AB 的长.
(2)先利用 A+B+C=π和两角和公式求出 cos A,再求出 sin A,最
后用两角差公式求解.
解析 (1)因为 cos B=
4
5
,0AD,所以 AD=3.
(2)在△ABD 中,由正弦定理可知
sin∠
=
sin∠
.
又由 cos∠BAD=
2 2
3
,可知 sin∠BAD=
1
3
,
所以 sin∠ADB=
·
sin∠
=
6
3
.
因为∠ADB=∠DAC+∠C=
π
2
+∠C,所以 cos C=
6
3
.
方法技巧 解三角形的关键是分清所解三角形中的已知元素和未
知元素,由已知条件合理选用正弦定理、余弦定理,注意角的范围与三
角函数符号之间的联系.
分类透析三 三角恒等变换与解三角形的综合应用
例 3 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足
3
-
cos
=
cos
,D 是 AC 边上的一点.
(1)求 cos B 的值;
(2)若 AB=2,AD=2DC,BD=
4 3
3
,求△ABC 的面积.
分析 (1)先化简已知等式,再根据角的范围求出 cos B.
(2)设 AD=2DC=2x,利用∠CDB=π-∠ADB 和余弦定理建立方程组
求出 a,再由 cos B 求出 sin B,代入 S=
1
2
acsin B 中,进而求出△ABC
的面积.
解析 (1)由
3
-
cos
=
cos
,得 3ccos B-acos B=bcos A,3ccos B=acos
B+bcos A.
由正弦定理得 3sin Ccos B=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B)=sin
C.
因为 sin C≠0,所以 cos B=
1
3
.
(2)设 BC=a,AD=2DC=2x,
则在△ABC 中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC,
即 9x2=4+a2-
4
3
. ①
在△ABD 中,由余弦定理得 cos∠ADB=
(
2
)
2
+
4 3
3
2
-
22
2
·
2
·
4 3
3
;
在△BDC 中,由余弦定理得 cos∠CDB=
2
+
4 3
3
2
-
2
2
·
·
4 3
3
.
因为 cos∠CDB=-cos∠ADB,所以 3x2-a2=-6. ②
由①②,解得 a=3.
又因为 sin∠ABC=
1
-
1
9
=
2 2
3
,
所以△ABC 的面积为
1
2
AB·BCsin∠ABC=2
2
.
方法技巧 (1)一般地,如果条件为含有角的余弦或边的代数式,
要灵活运用正弦、余弦定理实现边角转化;(2)三角形的面积公式涉及
边、角,常和正弦、余弦定理结合起来运用.
1.(2018 年江苏卷,16 改编)已知
cos
π
6 + α
cos
π
3
-
α
=-
1
4
,α∈
π
3
,
π
2
.
(1)求 sin 2α的值;
(2)求 tan α-
1
tan
的值.
解析
(1)∵cos
π
6 + α
cos
π
3
-
α
=cos
π
6
+α sin
π
6
+α =
1
2
·sin
2 +
π
3
=-
1
4,
∴sin
2 +
π
3
=-
1
2
.
∵α∈
π
3
,
π
2
,∴2α+
π
3
∈
π
,
4π
3
,
∴2α+
π
3
=
7π
6
,解得 2α=
5π
6
.∴sin 2α=sin
5π
6
=
1
2
.
(2)由(1)知 sin 2α=
1
2
,∴cos 2α=-
3
2
.
∴tan α-
1
tan
=
sin
cos
-
cos
sin
=
sin2
α
-
cos
2
α
sin cos
=-
2cos2
sin2
=-2×-
3
2
1
2
=2
3
.
2.(2018 年全国Ⅰ卷,理 17 改编)如图所示,在平面四边形 ABCD
中,AD=1,CD=2,AC=
7
.
(1)求 cos∠CAD 的值;
(2)若 cos∠BAD=-
7
14
,sin∠CBA=
21
6
,求 BC 的长.
解析 (1)在△ADC 中,由余弦定理,
得 cos∠CAD=
2
+A 2
-
C 2
2
·
=
7+1
-
4
2 7
=
2 7
7
.
(2)设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD.
∵cos∠CAD=
2 7
7
,
∴sin∠CAD=
1
-
cos
2
∠CAD
=
21
7
.
又 cos∠BAD=-
7
14
,
∴sin∠BAD=
1
-
cos
2
∠BAD
=
3 21
14
.
∴sin α=sin(∠BAD-∠CAD)
=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD
=
3 21
14
×
2 7
7
- -
7
14
×
21
7
=
3
2
.
在△ABC 中,由正弦定理,得
sin
=
sin∠
,
故 BC=
·
sin
sin∠
=
7×
3
2
21
6
=3.
3.(2017 年全国Ⅰ卷,理 17 改编)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别
为 a,b,c,且 bcos A=(2c-a)cos B.
(1)求角 B 的大小;
(2)若△ABC 的面积为 3
3
,b=
13
,求△ABC 的周长.
解析 (1)∵bcos A=(2c-a)cos B,
由正弦定理,得 sin Bcos A=(2sin C-sin A)·cos B.
∴sin Acos B+cos Asin B=2sin Ccos B,
∴sin(A+B)=2sin Ccos B.
又 A+B+C=π,∴sin(A+B)=sin C.
∵sin C≠0,∴cos B=
1
2
.
又 B∈(0,π),∴B=
π
3
.
(2)由(1)知 B=
π
3
,又 b=
13
,
∴b2=a2+c2-2accos B,即 13=a2+c2-ac. ①
又 S△ABC=
1
2
acsin B=3
3
,∴ac=12. ②
∴联立①②解得 a+c=7.
∴△ABC 的周长为 7+
13
.
1.(2018 年长郡中学)已知在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,
且 asin B-bcos A=0.
(1)求角 A 的大小.
(2)若 a=2
5
,b=2,求△ABC 的面积.
解析 (1)在△ABC 中,由正弦定理得 sin Asin B-sin Bcos A=0,
即 sin B(sin A-cos A)=0.又 B 为三角形的内角,sin B≠0,
所以 sin A-cos A=0,即
2
sin
-
π
4
=0.
又 A∈(0,π),所以 A=
π
4
.
(2)在△ABC 中,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A,
将 a=2
5
,b=2,cos A=
2
2
代入,得 20=4+c2-4c·
2
2
,即
c2-2
2
c-16=0,
解得 c=-2
2
(舍去)或 c=4
2
.
所以 S△ABC=
1
2
bcsin A=
1
2
×2×4
2
×
2
2
=4.
2.(2018 年河南郑州高三质检一)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为
a,b,c,且 2ccos B=2a+b.
(1)求角 C;
(2)若△ABC 的面积 S=
3
2
c,求 ab 的最小值.
解析 (1)由正弦定理得 2sin Ccos B=2sin A+sin B,
即 2sin Ccos B=2sin(B+C)+sin B,
∴2sin Bcos C+sin B=0.
∵B 为三角形的内角,
∴sin B≠0,∴cos C=-
1
2
.
又∵C 为三角形的内角,∴C=
2π
3
.
(2)∵S=
1
2
absin C=
3
2
c,∴c=
1
2
ab.
又 c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2+ab,
∴
2
2
4
=a2+b2+ab≥3ab.
∴ab≥12.
故 ab 的最小值为 12.
3.(2018 届江西省重点中学协作体联考)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个
内角 A,B,C 的对边,2acos B+b=2c,
·
=4.
(1)求 S△ABC;
(2)若 D 是 BC 的中点,AD=
7
,求 a.
解析 (1)∵2acos B+b=2c,A+B+C=π,
∴2sin Acos B+sin B=2sin C=2sin(A+B)=2sin Acos B+2cos Asin
B,
整理得 sin B=2sin Bcos A,又 sin B≠0,∴cos A=
1
2
.
∵A∈(0,π),∴A=
π
3
.
∵
·
=4,∴bccos A=4,解得 bc=8,
∴S△ABC=
1
2
bcsin A=
1
2
×8×
3
2
=2
3
.
(2)∵
=
1
2
(
+
),∴
2
=
1
4
(
2
+2
·
+
2
),
即 7=
1
4
(c2+2×4+b2),化简得 b2+c2=20.
又∵bc=8,
∴a2=b2+c2-2bccos A=20-2×8×
1
2
=12.
∴a=2
3
.
4.(2018 届襄阳调研)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,
已知 asin B=bcos A,cos B=
3
5
.
(1)求 cos C 的值;
(2)若 a=15,D 为 AB 边上的点,且 2AD=BD,求 CD 的长.
解析 (1)由 asin B=bcos A 得 sin Asin B=sin Bcos A.
∵A,B,C 是△ABC 的内角,∴sin B≠0,cos A≠0,
∴tan A=1,故 A=
π
4
.
由 cos B=
3
5
,得 sin B=
1
-
3
5
2
=
4
5
.
∴cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)
=-cos
π
4
cos B+sin
π
4
sin B=
2
10
.
(2)由 cos C=
2
10
,得 sin C=
1
-
2
10
2
=
7 2
10
.
由正弦定理得
15
sin
π
4
=
7 2
10
,解得 c=21,
∴BD=
2
3
c=14.
在△BDC 中,CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos
B=152+142-2×15×14×
3
5
=169,解得 CD=13.
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