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- 2021-06-16 发布
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吉林省长春外国语学校2019-2020学年高二下学期期末考试(理)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页。考试结束后,将答题卡交回。
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信
息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书
写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;
在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷
一、选择题:本题共12小题,每小题5分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合,,那么等于( )
A. B. C. D.
2. 复数(其中为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,反证假设正确的是( )
A.假设三内角都不大于60° B.假设三内角都大于60°
C.假设三内角至多有一个大于60° D.假设三内角至多有两个小于60°
4. 直线(t为参数)的倾斜角是( )
A. B. C. D.
5. 的展开式中的系数是( )
A. B. C.120 D.210
6. 已知函数满足,,则函数在处的瞬时变化率为( )
A.1 B.2 C.e D.2e
7.两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是( )
A. B. C. D.
8. 小明的妈妈为小明煮了 个粽子,其中两个腊肉馅三个豆沙馅,小明随机取出两个,事件=“取到的两个是同一种馅”,事件=“取到的两个都是豆沙馅”,则 ( )
A. B. C. D.
9. 有下列四个命题,其中真命题是( )
A., B.,,
C.,, D.,
10. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线为正态分布的密度曲线)的点的个数的估计值为( )
(附:,则,.)
A.2718 B.3413 C.340 D.906
11. 点是曲线上任意一点,则点到直线的最短距离为( )
A. B. C. D.
12. 已知函数在上可导且满足,则下列一定成立的为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题:本题共4小题,每小题5分。
13. __________.
14.若z=4+3i,则= .
15.有甲、乙、丙、丁四位同学竞选班长,其中只有一位当选.有人走访了四位同学,甲说:“是乙或丙当选”,乙说:“甲、丙都未当选”,丙说:“我当选了”,丁说:“是乙当选了”,若四位同学的话只有两句是对的,则当选的同学是 .
16. 已知函数(为自然对数的底数),若在上有解,则实数的取值范围是________.
三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出必要证明过程或演算步骤。
17.(10分)己知
(1)若是真命题,求对应的取值范围;
(2)若是的必要不充分条件,求的取值范围.
18.(12分)已知曲线 在处的切线与平行
(1)求的解析式;
(2)求由曲线 与,,所围成的平面图形的面积.
19.(12分) 已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)当时,求函数的最大值与最小值.
20.(12分)甲,乙两人进行定点投篮活动,已知他们每投篮一次投中的概率分别是和,每次投篮相互独立互不影响.
(1)甲乙各投篮一次,记“至少有一人投中”为事件A,求事件A发生的概率;
(2)甲乙各投篮一次,记两人投中次数的和为X,求随机变量X的分布列及数学期望;
(3)甲投篮5次,投中次数为ξ,求ξ=2的概率和随机变量ξ的数学期望.
21. (12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)写出的普通方程和直线的直角坐标方程;
(2)设点的直角坐标为,直线与曲线交于,两点,求的值.
22.(12分)已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)若函数在区间上单调递增,求实数的取值范围;
(3)设函数,其中.证明:的图象在图象的下方.
参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
B
B
D
B
C
D
B
B
C
D
A
二、填空题
13. 14. 15.丙 16.
三、解答题
17.(1)为真命题,即,解得
(2)根据(1)知:,
是的必要不充分条件
当时,,故满足,即;
当时,,满足条件;
当时,,故满足,即.
综上所述:
18.(1)由已知得:f'(1)=2,求得a=1,所以 f(x)=x2+2
19. (1)
当时,单调递增;
当时,单调递减;
当时,单调递增;
所以的递增区间是和;递减区间是
(2)由(1)知,在上单调递增,在区间上单调递减
所以的极大值为极小值为-
又因为 ,所以的最大值是77,最小值是
20. (1)设甲投中为事件B,乙投中为事件C,则,
所以.
(2)随机变量的可能取值为,
则, ,,
所以随机变量的分布列为
X
0
1
2
P
所以数学期望.
(3)甲投篮5次,投中次数为ξ,可得随机变量,
所以,
所以随机变量数学期望.
21. (1)曲线的参数方程为(为参数),
的普通方程为.
直线的极坐标方程为,即.
由,得直线的直角坐标方程.
(2)直线的参数方程为(为参数),
代入的普通方程,得.
设,两点对应的参数分别为,,.
22.(1)求导,得,又因为
所以曲线在点处的切线方程为
(2)设函数,求导,得,
因为函数在区间上为单调函数,
所以在区间上,恒成立,即恒成立.
又因为函数在在区间上单调递减,,
所以.
(3)证明:设.
求导,得.
设,则(其中).
所以当时,(即)为增函数.
又因为,所以,存在唯一的,使得
且与在区间上的情况如下:
-
0
+
↘
↗
所以,函数在上单调递减,在上单调递增,所以 .
又因为,,
所以,
所以,即的图象在图象的下方.