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  • 2021-06-16 发布

【数学】吉林省长春外国语学校2019-2020学年高二下学期期末考试(理)

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吉林省长春外国语学校2019-2020学年高二下学期期末考试(理)‎ ‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页。考试结束后,将答题卡交回。‎ 注意事项:‎ ‎ 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信 ‎ 息条形码粘贴区。‎ ‎ 2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书 ‎ 写,字体工整、笔迹清楚。‎ ‎3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;‎ ‎ 在草稿纸、试题卷上答题无效。‎ ‎4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。‎ ‎5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题:本题共12小题,每小题5分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 已知集合,,那么等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2. 复数(其中为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,反证假设正确的是( )‎ A.假设三内角都不大于60° B.假设三内角都大于60°‎ C.假设三内角至多有一个大于60° D.假设三内角至多有两个小于60°‎ ‎4. 直线(t为参数)的倾斜角是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5. 的展开式中的系数是( )‎ A. B. C.120 D.210‎ ‎6. 已知函数满足,,则函数在处的瞬时变化率为( )‎ A.1 B.2 C.e D.2e ‎7.两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8. 小明的妈妈为小明煮了 个粽子,其中两个腊肉馅三个豆沙馅,小明随机取出两个,事件=“取到的两个是同一种馅”,事件=“取到的两个都是豆沙馅”,则 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9. 有下列四个命题,其中真命题是( )‎ A., B.,,‎ C.,, D.,‎ ‎10. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线为正态分布的密度曲线)的点的个数的估计值为( )‎ ‎(附:,则,.)‎ A.2718 B.3413 C.340 D.906‎ ‎11. 点是曲线上任意一点,则点到直线的最短距离为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12. 已知函数在上可导且满足,则下列一定成立的为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题:本题共4小题,每小题5分。‎ ‎13. __________. ‎ ‎14.若z=4+3i,则= . ‎ ‎15.有甲、乙、丙、丁四位同学竞选班长,其中只有一位当选.有人走访了四位同学,甲说:“是乙或丙当选”,乙说:“甲、丙都未当选”,丙说:“我当选了”,丁说:“是乙当选了”,若四位同学的话只有两句是对的,则当选的同学是 .‎ ‎16. 已知函数(为自然对数的底数),若在上有解,则实数的取值范围是________.‎ 三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出必要证明过程或演算步骤。‎ ‎17.(10分)己知 ‎(1)若是真命题,求对应的取值范围;‎ ‎(2)若是的必要不充分条件,求的取值范围.‎ ‎18.(12分)已知曲线 在处的切线与平行 ‎(1)求的解析式; ‎ ‎(2)求由曲线 与,,所围成的平面图形的面积.‎ ‎19.(12分) 已知函数.‎ ‎(1)求函数的单调区间;‎ ‎(2)当时,求函数的最大值与最小值.‎ ‎20.(12分)甲,乙两人进行定点投篮活动,已知他们每投篮一次投中的概率分别是和,每次投篮相互独立互不影响.‎ ‎(1)甲乙各投篮一次,记“至少有一人投中”为事件A,求事件A发生的概率;‎ ‎(2)甲乙各投篮一次,记两人投中次数的和为X,求随机变量X的分布列及数学期望;‎ ‎(3)甲投篮5次,投中次数为ξ,求ξ=2的概率和随机变量ξ的数学期望.‎ ‎21. (12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为.‎ ‎(1)写出的普通方程和直线的直角坐标方程;‎ ‎(2)设点的直角坐标为,直线与曲线交于,两点,求的值.‎ ‎22.(12分)已知函数.‎ ‎(1)求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(2)若函数在区间上单调递增,求实数的取值范围;‎ ‎(3)设函数,其中.证明:的图象在图象的下方.‎ 参考答案 一、选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ A B B D B C D B B C D A 二、填空题 ‎13. 14. 15.丙 16. ‎ 三、解答题 ‎17.(1)为真命题,即,解得 ‎ ‎(2)根据(1)知:,‎ 是的必要不充分条件 当时,,故满足,即;‎ 当时,,满足条件;‎ 当时,,故满足,即.‎ 综上所述:‎ ‎18.(1)由已知得:f'(1)=2,求得a=1,所以 f(x)=x2+2‎ ‎ ‎ ‎19. (1) ‎ 当时,单调递增;‎ 当时,单调递减;‎ 当时,单调递增;‎ 所以的递增区间是和;递减区间是 ‎ ‎(2)由(1)知,在上单调递增,在区间上单调递减 ‎ 所以的极大值为极小值为- ‎ 又因为 ,所以的最大值是77,最小值是 ‎20. (1)设甲投中为事件B,乙投中为事件C,则,‎ 所以. ‎ ‎(2)随机变量的可能取值为,‎ 则, ,,‎ 所以随机变量的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 所以数学期望. ‎ ‎(3)甲投篮5次,投中次数为ξ,可得随机变量,‎ 所以,‎ 所以随机变量数学期望. ‎ ‎ 21. (1)曲线的参数方程为(为参数),‎ 的普通方程为.‎ 直线的极坐标方程为,即.‎ 由,得直线的直角坐标方程.‎ ‎(2)直线的参数方程为(为参数),‎ 代入的普通方程,得.‎ 设,两点对应的参数分别为,,.‎ ‎22.(1)求导,得,又因为 所以曲线在点处的切线方程为 ‎(2)设函数,求导,得,‎ 因为函数在区间上为单调函数,‎ 所以在区间上,恒成立,即恒成立.‎ 又因为函数在在区间上单调递减,,‎ 所以.‎ ‎(3)证明:设.‎ 求导,得.‎ 设,则(其中).‎ 所以当时,(即)为增函数.‎ 又因为,所以,存在唯一的,使得 且与在区间上的情况如下:‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↘‎ ‎↗‎ 所以,函数在上单调递减,在上单调递增,所以 .‎ 又因为,,‎ 所以,‎ 所以,即的图象在图象的下方.‎