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- 2021-06-16 发布
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专题一 压轴填空题
第七关 以恒成立或有解为背景的填空题
【名师综述】
含参数不等式的恒成立或有解问题,是高考的热点.它往往与函数、数列、三角函数、解析几何综合考查.解决这类问题,主要是运用分离变量法,等价转化为求具体函数的最值;运用数形结合法,等价转化为临界点;运用分类讨论法,等价转化为研究含参函数的最值.
类型一 分类讨论差函数最值
典例1 若不等式在上恒成立,则的取值范围是________.
【答案】
(ⅱ)当时,令
且
即时,
于是在 上单调递减,
所以 即 在上成立.
则在上单调递减,
故在上成立,符合题意.
,即 时,
若 则 在上单调递增;
若在 则在上单调递减,
又 则在上成立,即 在上恒成立,所以在上单调递增,则在上恒成立.与已知不符,故不符合题意.综上所述, 的取值范围.
即答案为.
【名师指点】恒成立等价与恒成立,记,则,本题中由于有参数,需要分类讨论,利用导数求最值.
【举一反三】已知函数若当时,恒成立,则的取值范围______.
【答案】
类型二 参变分离求具体函数最值
典例2 若不等式对任意都成立,则实数的最小值为________.
【答案】100
【解析】由正弦定理得
因此 ,即的最小值为100
【名师指点】本题通过不等式恒成立问题考查利用导数研究函数的最值,考查转化思想、分类与整合思想,按照自变量讨论,最后要对参数范围取交集.若按照参数讨论则取并集,是中档题.不等式恒成立时求参数的取值范围,常常采用分离参数法把不等式变形为如“”形式,则只要求出的最大值,然后解即可.
【举一反三】若不等式对任意满足的实数, 恒成立,则实数的最大值为__________.
【答案】
当时,f′(t)>0,函数f(t)单调递增;
当时,f′(t)<0,函数f(t)单调递减。
∴当时,f(t)取得最小值, .
∴实数c的最大值为.
类型三 数形结合求临界点
典例3 设函数对任意不等式恒成立,则正数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】对任意,不等式恒成立,则等价为恒成立, ,当且仅当,即时取等号,即的最小值是,由,则,由得,此时函数为增函数,由得,此时函数为减函数,即当时, 取得极大值同时也是最大值,则的最大值为,则由,得,即,则,故答案为.
【名师指点】等价于在公共定义域区间内,函数的图像落在的下方,这样在平面直角坐标系中画出相应函数的图像,根据图像上下关系,确定参数取值范围.
【举一反三】已知函数,若||≥,则的取值范围是__________.
【答案】.
【解析】
【精选名校模拟】
1.对任意的实数,都存在两个不同的实数,使得成立,则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】因为,所以,令 ,则
当时 ;当时
因此要有两个y,需
2.定义在R上的函数f(x)在(-∞,-2)上单调递增,且f(x-2)是偶函数,若对一切实数x,不等式f(2sinx-2)>f(sinx-1-m)恒成立,则实数m的取值范围为________.
【答案】
,即或,即或,即 或 ,故的取值范围为
即答案为
3.设二次函数的导函数为,若对任意,不等式恒成立,则的最大值__________.
【答案】
【解析】∵
∴
∵对任意,不等式恒成立
∴,简可得
∴且,即
∴
∴
∴
∴
令,则
∴当时, ,当且仅当时取等号
当时,
综上所述, 的最大值为
故答案为
4.若对于任意的正实数都有成立,则实数的取值范围为______
【答案】
5.设点满足条件,点满足恒成立,其中是坐标原点,则点的轨迹所围成图形的面积是 .
【答案】
【解析】
不等式组在平面直角坐标系中所表示的区域如下图所示:
因为 ,所以由得:
设目标函数为:,因为,所以其最优解只可能在顶点处取得,
所以,要使恒成立,一定有:
此不等式组在坐标平面内所表示的区域是长为1,宽为 的矩形,面积为.
所以答案应填: .
6.已知,且,若恒成立,则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
7.不等式对于任意的,存在成立,则实数的取值范围
为 .
【答案】
【解析】
试题分析:由题意得对于任意的成立,即对于任意的成立,所以存在使得成立,因此
8.函数,若对于区间上的任意,都有,则实数的最小值是 .
【答案】20
【解析】对于区间上的任意都有,等价于对于区间上的任意,都有,∵,∴,∵,∴函数在上单调递增,在上单调递减,∴∴,∴.
9.已知变量x,y满足约束条件,若恒成立,则实数的取值范围为________.
【答案】.
【解析】
10.若关于的不等式在(0,+)上恒成立,则实数的取值范围是 .
【答案】
(2)当时,在上恒为负,在上恒为正;在上单调递增,则需,此时,符合题意;
(3)当时,在恒为负;在单调递增,在上单调递减,故在处取得极大值也即是最大值,,解得.
11.若对,不等式恒成立,则正实数的最大值是____________.
【答案】.
【解析】
12.已知:函数,若对使得,则实数的取值范围__________.
【答案】
【解析】
13.设,不等式对恒成立,则的取值范围________.
【答案】
【解析】根据题意有,即,结合题中所给的角的范围,求得的取值范围是.
14.已知函数,若在区间上是增函数,则实数的取值范围 .
【答案】.
【解析】∵在恒成立,即在恒成立,
∵,∴,即.
15.设是定义在R上的奇函数,且当,若对任意的,不等式恒成立,则实数t的取值范围是 .
【答案】.
【解析】