【数学】2019届一轮复习人教A版函数的图象学案 27页

第四节函数的图象 ‎1．描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：‎ ‎(1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)．‎ ‎(2)列表(注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的交点)．‎ ‎(3)描点、连线．‎ ‎2．函数图象的变换 ‎(1)平移变换 ‎①y＝f(x)的图象y＝f(x－a)的图象；‎ ‎②y＝f(x)的图象y＝f(x)＋b的图象．‎ ‎(2)对称变换 ‎①y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；‎ ‎②y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；‎ ‎③y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；‎ ‎④y＝ax(a>0且a≠1)的图象y＝logax(a>0且a≠1)的图象．‎ ‎(3)伸缩变换 ‎①y＝f(x)的图象y＝f(ax)的图象；‎ ‎②y＝f(x)的图象y＝af(x)的图象．‎ ‎(4)翻转变换 ‎①y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；‎ ‎②y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象．‎ ‎1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　　)‎ ‎(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(　　)‎ ‎(3)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)√‎ ‎2．下列图象是函数y＝的图象的是(　　)‎ 答案：C ‎3．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝(　　)‎ A．ex＋1　　　　　　　　　 B．ex－1‎ C．e－x＋1 D．e－x－1‎ 解析：选D　与曲线y＝ex关于y轴对称的图象对应的解析式为y＝e－x，将函数y＝e－x的图象向左平移1个单位长度即得y＝f(x)的图象，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1，故选D.‎ ‎4.已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝log f(x)的定义域是________．‎ 解析：当f(x)>0时，函数g(x)＝log f(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)>0时，x∈(2,8]．‎ 答案：(2,8]‎ ‎5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：由题意得a＝|x|＋x，令y＝|x|＋x＝其图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一个解，则a>0.‎ 答案：(0，＋∞)‎ 　　　　 ‎[考什么·怎么考]‎ 作为函数关系的一种重要表示方法，函数图象的识辨是每年高考的热点内容，题型多为选择题，难度适中，得分较易.‎ 考法(一)　根据函数解析式或图象识辨函数图象 ‎1．函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝x在同一直角坐标系下的图象大致是(　　)‎ 解析：选B　因为函数g(x)＝x为减函数，且其图象必过点(0,1)，故排除A、D.因为f(x)＝1＋log2x的图象是由y＝log2x的图象上移1个单位长度得到的，所以f(x)为增函数，且图象必过点(1,1)，故可排除C，选B.‎ ‎2．(2017·全国卷Ⅰ)函数y＝的部分图象大致为(　　)‎ 解析：选C　令函数f(x)＝，其定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}，又f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)＝为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B；因为f(1)＝＞0，f(π)＝＝0，故排除A、D，选C.‎ ‎3．已知定义在区间[0,4]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为(　　)‎ 解析：选D　法一：先作出函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图象，得到y＝f(－x)的图象；‎ 然后将y＝f(－x)的图象向右平移2个单位，得到y＝f(2－x)的图象；‎ 再作y＝f(2－x)的图象关于x轴的对称图象，得到y＝－f(2－x)的图象．故选D.‎ 法二：先作出函数y＝f(x)的图象关于原点的对称图象，得到y＝－f(－x)的图象；然后将y＝－f(－x)的图象向右平移2个单位，得到y＝－f(2－x)的图象．故选D.‎ ‎[题型技法]‎ ‎1．知式选图的2种常用方法 方法 特殊点法 函数的性质法 定义 特殊点法就是根据函数解析式的特点，结合函数的性质观察函数图象必过的某个特殊点，从而识别函数图象的一种方法 性质检验法就是根据函数解析式分析函数的相关性质(如定义域、值域、单调性、奇偶性等)排除干扰项，从而确定正确选项的方法 适用范围 适用于由一些函数图象上存在特殊点的基本初等函数经过初步变换得到的函数图象的识别问题 适用于对同一个坐标系中两类不同函数图象的判断或对由两类不同类型的函数组合而成的函数图象的识别 解题思路 ‎①找特殊点，根据已知函数的解析式，找出函数图象所经过的定点坐标．‎ ‎②看变换，将题设条件所给出的函数解析式通过适当的化简或变形，再与基本初等函数对应比较．‎ ‎①定位函数，通过已知条件确定函数解析式的类型．‎ ‎②研究性质，分析所给函数的基本性质，常见的有单调性、奇偶性等．‎ ‎③排除选项，逐一排除不符合函数的基本性质的选项 ‎③定选项，顺着图象变换展开，将得到的变换图象与所给选项对照 ‎2．利用函数图象的变换识图 找出所给函数对应的基本初等函数并作出该函数的图象，然后利用平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换规则得出函数图象．‎ 考法(二)　根据实际背景、图形判断函数图象 ‎4.如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为(　　)‎ 解析：选B　当x∈时，f(x)＝tan x＋，图象不会是直线段，从而排除A、C.‎ 当x∈时，f＝f＝1＋，f＝2.∵2<1＋，∴f0时f(x)的正负等．‎ ‎2．函数图象变换问题的3个注意 ‎(1)函数图象中左、右平移变换可记口诀为“左加右减”，但要注意加、减指的是自变量．‎ ‎(2)注意含绝对值符号的函数的对称性，如y＝f(|x|)与y＝|f(x)|的图象是不同的．‎ ‎(3)分清条件“f(x＋1)＝f(x－1)”与“f(x＋1)＝f(1－x)”的区别，前者告诉函数的周期为2，后者告诉函数的图象关于直线x＝1对称．‎ 　　　　 函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性.,常见的命题角度有：‎ (1)研究函数的性质；‎ (2)研究不等式；‎ (3)研究方程根(零点)个数.(本章第八节讲) ‎[题点全练]‎ 角度(一)　研究函数的性质 ‎1．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)‎ A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)‎ B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)‎ C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)‎ D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)‎ 解析：选C　将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝‎ 画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．‎ ‎[题型技法]　利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：‎ ‎①从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；‎ ‎②从图象的对称性，分析函数的奇偶性；‎ ‎③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．‎ 角度(二)　研究不等式 ‎2．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(　　)‎ A．(－1,0)∪(1，＋∞)　　 B．(－∞，－1)∪(0,1)‎ C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)‎ 解析：选D　因为f(x)为奇函数，所以不等式<0可化为<0，即xf(x)<0，f(x)的大致图象如图所示．所以xf(x)<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．‎ ‎3．若不等式(x－1)20，且a≠1)在x∈(1,2)内恒成立，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．(1,2] B. C．(1，) D．(，2)‎ 解析：选A　要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)21时，如图，要使x∈(1,2)时，y＝(x－1)2的图象在y＝logax的图象的下方，只需(2－1)2≤loga2，即loga2≥1，解得10时，只有a≤0时才能满足|f(x)|≥ax，可排除B、C.②当x≤0时，y＝|f(x)|＝|－x2＋2x|＝x2－2x.故由|f(x)|≥ax得x2－2x≥ax.‎ 当x＝0时，不等式为0≥0成立；‎ 当x<0时，不等式等价为x－2≤a.‎ ‎∵x－2<－2，∴a≥－2.综上可知，a∈[－2,0]．‎ ‎2．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝1－x，则：‎ ‎①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x∈(3,4)时，f(x)＝x－3.‎ 其中所有正确命题的序号是________．‎ 解析：由已知条件得f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确；‎ 当－1≤x≤0时，0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝1＋x，‎ 函数y＝f(x)的部分图象如图所示：‎ 由图象知②正确，③不正确；‎ 当30在(－1,3)上的解集为(　　)‎ A．(1,3)　　　　　　　　 B．(－1,1)‎ C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)‎ 解析：选C　作出函数f(x)的图象如图所示．‎ 当x∈(－1,0)时，由xf(x)>0得x∈(－1,0)；‎ 当x∈(0,1)时，由xf(x)>0得x∈∅；‎ 当x∈(1,3)时，由xf(x)>0得x∈(1,3)．‎ 故x∈(－1,0)∪(1,3)．‎ ‎7．已知函数y＝f(x＋1)的图象过点(3,2)，则函数y＝f(x)的图象一定过点________．‎ 解析：因为函数y＝f(x＋1)的图象过点(3,2)，所以函数y＝f(x)的图象一定过点(4,2)．‎ 答案：(4,2)‎ ‎8．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为________．‎ 解析：‎ 令y＝log2(x＋1)，作出函数y＝log2(x＋1)图象如图．‎ 由 得 ‎∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－12时，－x2＋2<0，log2|x|>0，所以F(x)<0，排除C，故选B.‎ ‎4.(2018·福建厦门双十中学期中)已知函数f(x)＝x2＋ex－(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是(　　)‎ A. B．(－∞， )‎ C. D．( ，＋∞)‎ 解析：选B　原命题等价于在x<0时，f(x)与g(－x)的图象有交点，即方程ex－－ln(－x＋a)＝0在(－∞，0)上有解，令m(x)＝ex－－ln(－x＋a)，显然m(x)在(－∞，0)上为增函数．当a>0时，只需m(0)＝e0－－ln a>0，解得00，即m(x)＝0在(－∞，a)上有解．综上，实数a的取值范围是(－∞，)．‎ ‎5.如图所示，动点P在正方体ABCDA1B‎1C1D1的体对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体的表面相交于M，N两点．设BP＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　)‎ 解析：选B　设正方体的棱长为1，显然，当P移动到体对角线BD1的中点E 时，函数y＝MN＝AC＝取得唯一的最大值，所以排除A、C；当P在BE上时，分别过M，N，P作底面的垂线，垂足分别为M1，N1，P1，则y＝MN＝M1N1＝2BP1＝2xcos∠D1BD＝x，是一次函数，所以排除D.故选B.‎ ‎6．已知函数y＝f(x＋1)的图象过点(3,2)，则函数y＝f(x)的图象关于x轴的对称图形一定过点________．‎ 解析：因为函数y＝f(x＋1)的图象过点(3,2)，所以函数y＝f(x)的图象一定过点(4,2)，所以函数y＝f(x)的图象关于x轴的对称图形一定过点(4，－2)．‎ 答案：(4，－2)‎ ‎7.如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________．‎ 解析：当－1≤x≤0时，设解析式为f(x)＝kx＋b(k≠0)，‎ 则得 ‎∴当－1≤x≤0时，f(x)＝x＋1.‎ 当x＞0时，设解析式为f(x)＝a(x－2)2－1(a≠0)，‎ ‎∵图象过点(4,0)，‎ ‎∴0＝a(4－2)2－1，∴a＝.‎ 故函数f(x)的解析式为 f(x)＝ 答案：f(x)＝ ‎8．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：如图，作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．‎ 答案：[－1，＋∞)‎ ‎9．已知函数f(x)＝|x|(x－a)，a＞0.‎ ‎(1)作出函数f(x)的图象；‎ ‎(2)写出函数f(x)的单调区间；‎ ‎(3)当x∈[0,1]时，由图象写出f(x)的最小值．‎ 解：(1)f(x)＝其图象如图所示．‎ ‎(2)由图知，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，；单调递减区间是.‎ ‎(3)由图象知，当＞1，即a＞2时，‎ f(x)min＝f(1)＝1－a；‎ 当0＜≤1，即0＜a≤2时，f(x)min＝f＝－.‎ 综上，f(x)min＝ ‎10．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0,1)对称．‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)若g(x)＝f(x)＋，且g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于(0,1)点的对称点P′(－x,2－y)在h(x)的图象上，‎ 即2－y＝－x－＋2，‎ ‎∴y＝f(x)＝x＋(x≠0)．‎ ‎(2)g(x)＝f(x)＋＝x＋，‎ ‎∴g′(x)＝1－.‎ ‎∵g(x)在(0,2]上为减函数，‎ ‎∴1－≤0在(0,2]上恒成立，‎ 即a＋1≥x2在(0,2]上恒成立，‎ ‎∴a＋1≥4，即a≥3，‎ 故实数a的取值范围是[3，＋∞)．‎ B级——拔高题目稳做准做 ‎1.已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有(　　)‎ A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 解析：选A　由函数y＝f(x)的周期为2，又当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，g(x)＝|lg x|，在同一坐标系中分别作出这两个函数的图象如图所示，可知交点共有10个．‎ ‎2．已知函数f(x)＝则对任意x1，x2∈R，若0＜|x1|＜|x2|，下列不等式成立的是(　　)‎ A．f(x1)＋f(x2)＜0 B．f(x1)＋f(x2)＞0‎ C．f(x1)－f(x2)＞0 D．f(x1)－f(x2)＜0‎ 解析：选D　函数f(x)的图象如图(实线部分)所示，且f(－x)＝f(x)，‎ 从而函数f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数．‎ 又0＜|x1|＜|x2|，所以f(x2)＞f(x1)，即f(x1)－f(x2)＜0.‎ ‎3.函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式<0的解集为________．‎ 解析：在上y＝cos x>0，‎ 在上y＝cos x<0.‎ 由f(x)的图象知在上<0，‎ 因为f(x)为偶函数，y＝cos x也是偶函数，‎ 所以y＝为偶函数，‎ 所以<0的解集为∪.‎ 答案：∪ ‎4．已知函数f(x)＝g(x)＝|x－k|＋|x－1|，若对任意的x1，x2∈R，都有f(x1)≤g(x2)成立，则实数k的取值范围为________．‎ 解析：‎ 对任意的x1，x2∈R，都有f(x1)≤g(x2)成立，即f(x)max≤g(x)min.‎ 观察f(x)＝的图象可知，当x＝时，函数f(x)max＝.‎ 因为g(x)＝|x－k|＋|x－1|≥|x－k－(x－1)|＝|k－1|，‎ 所以g(x)min＝|k－1|，‎ 所以|k－1|≥，‎ 解得k≤或k≥.‎ 故实数k的取值范围是∪.‎ 答案：∪ ‎5．若关于x的不等式4ax－1<3x－4(a>0，且a≠1)对于任意的x>2恒成立，求a的取值范围．‎ 解：不等式4ax－1<3x－4等价于ax－11时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(1)所示，由图知不满足条件；‎ 当00在R上恒成立，求m的取值范围．‎ 解：(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，‎ G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示．‎ 由图象可知，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；‎ 当00)，H(t)＝t2＋t，‎ 因为H(t)＝2－在区间(0，＋∞)上是增函数，‎ 所以H(t)>H(0)＝0.‎ 因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围为(－∞，0]．‎ A组 ‎1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)‎ A．y＝ex　　　　　　　　　 B．y＝cos x C．y＝|x|＋1 D．y＝ 解析：选C　显然选项A、D中的函数均是非奇非偶函数，选项B中的函数是偶函数但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，选项C正确．‎ ‎2．已知定义域为[a－4,‎2a－2]的奇函数f(x)＝2 018x3－sin x＋b＋2，则f(a)＋f(b)的值为(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．不能确定 解析：选A　∵奇函数的定义域关于原点对称，‎ 则a－4＋‎2a－2＝0，‎ ‎∴a＝2，又f(x)为奇函数，故b＋2＝0，‎ ‎∴b＝－2，∴f(a)＋f(b)＝f(－2)＋f(2)＝0.‎ ‎3．函数f(x)＝的图象大致是(　　)‎ 解析：选D　由f(－x)＝－f(x)可得f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除A、C，而x∈(0,1)时，ln |x|<0，f(x)<0，排除B，故选D.‎ ‎4．对于偶函数F(x)，当x∈[0,2)时，F(x)＝ex＋x，当x∈[2，＋∞)时，F(x)的图象 与函数y＝ex＋1的图象关于直线y＝x对称，则F(－1)＋F(e＋1)＝(　　)‎ A．e B．2e C．e＋ln(e＋1) D．e＋2‎ 解析：选D　∵F(x)为偶函数，‎ ‎∴F(－1)＝F(1)＝e＋1.‎ ‎∵e＋1>2且当x∈[2，＋∞)时，‎ F(x)的图象与函数y＝ex＋1的图象关于y＝x对称，‎ ‎∴e＋1＝ex＋1，∴x＝1，∴F(e＋1)＝1，‎ ‎∴F(－1)＋F(e＋1)＝e＋2.‎ ‎5．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且当－1≤x<0时，f(x)＝log2(－3x＋1)，则f(2 017)＝(　　)‎ A．－1 B．－2‎ C．1 D．2‎ 解析：选B　∵奇函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，‎ 又f(1＋x)＝f(1－x)，‎ 即f(2－x)＝f(x)，∴f(2－x)＝－f(－x)，‎ ‎∴f(4＋x)＝f(x)，‎ 又∵2 017＝504×4＋1，‎ ‎∴f(2 017)＝f(1)＝－f(－1)＝－log2(3＋1)＝－2.‎ ‎6．(2018·昆明检测)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且f(x)在(－∞，0)上是减函数，f(2)＝0，g(x)＝f(x＋2)，则不等式xg(x)≤0的解集是(　　)‎ A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．[－4，－2]∪[0，＋∞)‎ C．(－∞，－4]∪[－2，＋∞) D．(－∞，－4]∪[0，＋∞)‎ 解析：选C　依题意，画出函数的大致图象如图所示，‎ 实线部分为g(x)的草图，‎ 则xg(x)≤0⇔ 或 由图可得xg(x)≤0的解集为(－∞，－4]∪[－2，＋∞)．‎ ‎7．已知函数f(x)＝若f(4)>1，则实数a的取值范围是_______．‎ 解析：由题意知f(4)＝f(log4)＝f(－2)＝(‎3a－1)×(－2)＋‎4a>1，解得a<，所以实数a的取值范围是.‎ 答案： ‎8．已知函数f(x)＝4x＋1，g(x)＝4－x.若偶函数h(x)满足h(x)＝mf(x)＋ng(x)(其中m，n为常数)，且最小值为1，则m＋n＝________.‎ 解析：由题意，h(x)＝mf(x)＋ng(x)＝m·4x＋m＋n·4－x，h(－x)＝m·4－x＋m＋n·4x，‎ ‎∵h(x)为偶函数，∴h(x)＝h(－x)，‎ ‎∴m＝n，∴h(x)＝m(4x＋4－x)＋m.‎ ‎∵4x＋4－x≥2，∴h(x)min＝‎3m＝1，‎ ‎∴m＝，∴m＋n＝.‎ 答案： ‎9．已知函数f(x)＝－.‎ ‎(1)设g(x)＝f(x＋2)，判断函数y＝g(x)的奇偶性，并说明理由；‎ ‎(2)求证：函数f(x)在[2,3)上是增函数．‎ 解：(1)函数y＝g(x)为偶函数，证明如下：‎ 因为f(x)＝－，‎ 所以g(x)＝f(x＋2)＝－.‎ 因为g(－x)＝－＝－＝g(x)，‎ 又因为g(x)的定义域为{x|x≠－1且x≠1}，‎ 所以y＝g(x)是偶函数．‎ ‎(2)证明：设x1，x2∈[2,3)且x10，‎ ‎(x1－1)(x1－3)(x2－1)(x2－3)>0.‎ 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)1)的性质判断正确的是(　　)‎ A．为偶函数，在(0，＋∞)上是增函数 B．为奇函数，在(－∞，＋∞)上是增函数 C．为偶函数，在(0，＋∞)上是减函数 D．为奇函数，在(－∞，＋∞)上是减函数 解析：选B　函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．当a>1时，函数y＝ax是增函数，y＝a－x是减函数，所以f(x)＝(a>1)是增函数．‎ ‎2．已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[3,4]时，f(x)＝ln x，则(　　)‎ A．ff C．f(sin 1)f 解析：选C　由题意得f(x)是定义在R上周期为2的偶函数，∵f(x)在[3,4]上是增函数，∴函数f(x)在[－1,0]上是增函数，在[0,1]上是减函数，∵01时，f(x)<2，所以④正确．‎ 答案：①②④‎ ‎9．已知函数f(x)＝2x＋λ·2－x为偶函数．‎ ‎(1)求f(x)的最小值；‎ ‎(2)若不等式f(2x)≥f(x)－m恒成立，求实数m的最小值．‎ 解：(1)法一：由题意得2－x＋λ·2x＝2x＋λ·2－x，∴λ＝1，‎ ‎∴f(x)＝2x＋2－x，设0≤x10，∴2x＋≥2，‎ 当且仅当2x＝，即x＝0时，等号成立，‎ ‎∴f(x)的最小值为2.‎ ‎(2)由条件知f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2＝[f(x)]2－2.‎ ‎∵f(2x)≥f(x)－m恒成立．‎ ‎∴m≥f(x)－f(2x)＝f(x)－[f(x)]2＋2，‎ 由(1)知，f(x)∈[2，＋∞)，‎ ‎∴当f(x)＝2时，f(x)－[f(x)]2＋2取得最大值0，‎ ‎∴m≥0，即实数m的最小值为0.‎ ‎10．定义：“实数m，n为常数，若函数h(x)满足h(m＋x)＋h(m－x)＝2n，则函数y＝h(x)的图象关于点(m，n)成中心对称”．‎ ‎(1)已知函数f(x)＝的图象关于点(1，b)成中心对称，求实数b的值；‎ ‎(2)已知函数g(x)满足g(2＋x)＋g(－x)＝4，当x∈[0,2]时，都有g(x)≤3成立，且当x∈[0,1]时，g(x)＝2k(x－1)＋1，求实数k的取值范围．‎ 解：(1)由f(1＋x)＝，f(1－x)＝，‎ 得f(1＋x)＋f(1－x)＝＋＝4，‎ 又由定义知f(1＋x)＋f(1－x)＝2b，所以b＝2.‎ ‎(2)法一：在g(2＋x)＋g(－x)＝4中，用x－1代替x得g(1＋x)＋g(1－x)＝4，‎ 由定义知，函数g(x)的图象关于点(1,2)成对称中心，‎ 且g(1)＝2.‎ ‎①当k＝0时，g(x)＝2(x∈[0,1])，‎ 又函数g(x)的对称中心为(1,2)，‎ ‎∴g(x)＝2(x∈[0,2])，显然g(x)≤3成立，∴k＝0满足；‎ ‎②当k>0时，g(x)＝2k(x－1)＋1在[0,1]上为增函数，又函数g(x)的对称中心为(1,2)，‎ ‎∴g(x)在[0,2]上为增函数，要使g(x)≤3，只需g(x)max＝g(2)≤3.‎ 又g(2)＋g(0)＝4，‎ ‎∴g(0)≥1，即2－k＋1≥1，∴0