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  • 2021-06-16 发布

【数学】2018届一轮复习人教A版2-5玩转一题,学透不等式选讲小题大做学案

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专题2.5 玩转一题,学透不等式选讲 一、典例分析,融合贯通 ‎ 典例1 【2017年高考数学北京文11】已知,,且,则的取值范围是__________.‎ ‎【解法1】消元法 由已知得:‎ ‎【点睛之笔】消元法化繁为易!‎ ‎【解法2】几何法 ‎【点睛之笔】数形结合,以形助数!‎ ‎【解法3】均值不等式法 ‎【点睛之笔】注意一正二定三相等!‎ ‎【解法4】三角代换 ‎,‎ ‎【点睛之笔】三角代换,两元换一元巨划算!‎ ‎【解法5】参数法 ‎ ‎【点睛之笔】参数法,参“本”必胜!‎ ‎【解后反思】‎ 典例2【2017年高考数学全国卷三23】已知函数f(x)=│x+1│–│x–2│.‎ ‎(1)求不等式f(x)≥1的解集;‎ ‎(2)若不等式的解集非空,求m的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【解法1】零点分区间讨论法 ‎【点睛之笔】零点分区间,一步一区,终步并区!‎ ‎【解法2】几何意义法:‎ 实数到 的距离与到 的距离只差等于 的位置即 的位置,大于等于,即.所以的解集为.‎ ‎2‎ ‎-1‎ ‎【点睛之笔】几何意义,将数化形,有如神助!‎ ‎【解法3】构造函数法:‎ 画出 的图象和图象 两图像交点的横坐标为 所以不等式的解集为.‎ ‎【点睛之笔】构造函数,用图“画”答案,轻描淡写,闲庭信步!‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法 ‎ ‎【解后反思】‎ 解法1:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;‎ 解法2:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;‎ 解法3:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.‎ 典例3【2017年高考数学全国卷二24】已知,证明:‎ ‎(1);‎ ‎(2).‎ ‎【解法1】均值不等式法:‎ ‎(2)均值不等式:利用均值不等式的结论结合题意证得,即可得出结论.‎ 所以,因此.‎ ‎【点睛之笔】一正二定三相等,寻找方法不用等!‎ ‎【解法2】:(1)同解法1;‎ 分析法:因为,要证明,只需证明,‎ 即证明,只需证明,因为,上式等价于 ‎,也即,即,因为,上式显然成立,所以结论成立,即.‎ ‎【点睛之笔】追本溯源,倒行逆施!‎ ‎【解法3】:(1)柯西不等式 由柯西不等式可得:,‎ 当且仅当,即时取等号,所以,原问题得证.‎ ‎(2)同解法1.‎ ‎【点睛之笔】柯西不等式,数学重器! ‎ ‎【解后反思】‎ 解法1:均值不等式, “歌决”未唱完,答案以落地!‎ 解法2:分析法,倒行逆施,胜之不用“武”!‎ 解法3:柯西不等式,强者的必杀之“技”!~‎ 二、精选试题,能力升级 ‎1.【2018湖南省两市九月调研】设函数.‎ ‎(1)解不等式;‎ ‎(2)若对一切实数均成立,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)或;(2).‎ 试题解析:‎ ‎(1)当时, ,原不等式即为,‎ 解得;‎ 当时, ,原不等式即为,‎ 解得;‎ 当时, ,原不等式即为,‎ 解得;‎ 综上,原不等式的解集为或.‎ ‎2.【2018广西柳州市一模】已知,不等式的解集是.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若存在实数解,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ,(2) .‎ ‎【解析】试题分析:(1)通过讨论a的范围,求出不等式的解集,根据对应关系求出a的值即可;‎ ‎(2)根据不等式的性质求出最小值,得到关于k的不等式,解出即可.‎ 解析:(1)由,得,即,‎ 当时, ,‎ 所以,解得;‎ 当时, ,‎ 所以无解.‎ 所以. ‎ ‎(2)因为 ,‎ 所以要使存在实数解,‎ 只需,所以实数的取值范围是.‎ ‎3.【 2018海南省八校联考】已知函数, .‎ ‎(1)当时,解不等式;‎ ‎(2)若时, ,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎ (2)若时, 恒成立,即,亦即恒成立,又因为,所以,所以的取值范围为. ‎ ‎4.【2018湖南省永州市一模】选修4-5:不等式选讲 已知函数.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)若存在实数满足,求实数的最大值.‎ ‎【答案】(1)或;(2)3.‎ ‎5.【2018广东省珠海六校联考】已知.‎ ‎(1)将的解析式写成分段函数的形式,并作出其图象.‎ ‎(2)若,对, , 恒成立,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)的取值范围是.‎ ‎【解析】试题分析:‎ ‎(1)对自变量的取值范围分类讨论,去掉绝对值符号,可求得解集.‎ ‎(2)利用基本不等式,均值不等式,和1的妙用,注意等号成立的条件.‎ ‎(1)由已知,得 函数的图象如图所示.‎ ‎6.【2015高考新课标1,理24】已知函数 .‎ ‎(Ⅰ)当 时,求不等式 的解集;‎ ‎(Ⅱ)若 的图像与 轴围成的三角形面积大于 ,求 的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)(Ⅱ) ‎ 解析:(Ⅰ)当 时,不等式 可化为 ‎ 所以不等式的解集为 ‎ ‎7. 【2016高考新课标1,理24】已知函数f(x)= ∣x+1∣∣2x3∣.‎ ‎(I)在答题卡第(24)题图中画出y= f(x)的图像;‎ ‎(II)求不等式∣f(x)∣﹥1的解集.‎ ‎【答案】(I)见解析(II)‎ ‎8.设不等式-2<|x-1|-|x+2|<0的解集为M,a,b∈M.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)比较|1-4ab|与2|a-b|的大小,并说明理由.‎ ‎【答案】(1)见解析; (2) .‎ ‎【解析】‎ ‎ (1)证明:记,‎ 由,解得, 则.‎ 所以 ‎ ‎9. 设.‎ ‎(1)求的解集;‎ ‎(2)若不等式对任意实数恒成立,求实数的取值范围. ‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由得:‎ 或或 解得 ‎∴的解集为 ‎.‎ ‎(2)‎ 当且仅当时,取等号.‎ 由不等式对任意实数恒成立,可得,‎ 解得:或.‎ 故实数的取值范围是. ‎ ‎10.设均为正数,且,求证:.‎ ‎【答案】见解析 ‎ ‎

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