【数学】2018届一轮复习人教A版2-5玩转一题，学透不等式选讲小题大做学案 13页

专题2.5 玩转一题，学透不等式选讲 一、典例分析，融合贯通 ‎ 典例1 【2017年高考数学北京文11】已知，，且，则的取值范围是__________．‎ ‎【解法1】消元法 由已知得：‎ ‎【点睛之笔】消元法化繁为易！‎ ‎【解法2】几何法 ‎【点睛之笔】数形结合，以形助数！‎ ‎【解法3】均值不等式法 ‎【点睛之笔】注意一正二定三相等！‎ ‎【解法4】三角代换 ‎，‎ ‎【点睛之笔】三角代换，两元换一元巨划算！‎ ‎【解法5】参数法 ‎ ‎【点睛之笔】参数法，参“本”必胜！‎ ‎【解后反思】‎ 典例2【2017年高考数学全国卷三23】已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│.‎ ‎（1）求不等式f（x）≥1的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集非空，求m的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【解法1】零点分区间讨论法 ‎【点睛之笔】零点分区间，一步一区，终步并区！‎ ‎【解法2】几何意义法：‎ 实数到 的距离与到 的距离只差等于 的位置即 的位置，大于等于，即.所以的解集为.‎ ‎2‎ ‎-1‎ ‎【点睛之笔】几何意义，将数化形，有如神助!‎ ‎【解法3】构造函数法：‎ 画出 的图象和图象 两图像交点的横坐标为 所以不等式的解集为.‎ ‎【点睛之笔】构造函数，用图“画”答案，轻描淡写，闲庭信步！‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法 ‎ ‎【解后反思】‎ 解法1：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ 解法2：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ 解法3：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.‎ 典例3【2017年高考数学全国卷二24】已知，证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【解法1】均值不等式法：‎ ‎（2）均值不等式：利用均值不等式的结论结合题意证得，即可得出结论.‎ 所以，因此.‎ ‎【点睛之笔】一正二定三相等，寻找方法不用等！‎ ‎【解法2】：（1）同解法1；‎ 分析法：因为，要证明，只需证明，‎ 即证明，只需证明，因为，上式等价于 ‎，也即，即，因为，上式显然成立，所以结论成立，即.‎ ‎【点睛之笔】追本溯源，倒行逆施！‎ ‎【解法3】：（1）柯西不等式 由柯西不等式可得：,‎ 当且仅当，即时取等号，所以，原问题得证.‎ ‎（2）同解法1.‎ ‎【点睛之笔】柯西不等式，数学重器！ ‎ ‎【解后反思】‎ 解法1：均值不等式， “歌决”未唱完，答案以落地！‎ 解法2:分析法，倒行逆施，胜之不用“武”！‎ 解法3：柯西不等式，强者的必杀之“技”！~‎ 二、精选试题，能力升级 ‎1．【2018湖南省两市九月调研】设函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若对一切实数均成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时， ，原不等式即为，‎ 解得；‎ 当时， ，原不等式即为，‎ 解得；‎ 当时， ，原不等式即为，‎ 解得；‎ 综上，原不等式的解集为或.‎ ‎2．【2018广西柳州市一模】已知，不等式的解集是.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若存在实数解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ,(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）通过讨论a的范围，求出不等式的解集，根据对应关系求出a的值即可；‎ ‎（2）根据不等式的性质求出最小值，得到关于k的不等式，解出即可．‎ 解析：（1）由，得，即，‎ 当时， ，‎ 所以，解得；‎ 当时， ，‎ 所以无解.‎ 所以. ‎ ‎(2)因为 ，‎ 所以要使存在实数解，‎ 只需，所以实数的取值范围是.‎ ‎3．【 2018海南省八校联考】已知函数， .‎ ‎(1)当时，解不等式；‎ ‎(2)若时， ，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎ (2)若时， 恒成立，即，亦即恒成立，又因为，所以，所以的取值范围为. ‎ ‎4．【2018湖南省永州市一模】选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若存在实数满足，求实数的最大值.‎ ‎【答案】（1）或；（2）3.‎ ‎5．【2018广东省珠海六校联考】已知.‎ ‎（1）将的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象.‎ ‎（2）若，对， ， 恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）的取值范围是.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)对自变量的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，可求得解集．‎ ‎(2)利用基本不等式,均值不等式，和1的妙用,注意等号成立的条件.‎ ‎（1）由已知，得 函数的图象如图所示.‎ ‎6.【2015高考新课标1，理24】已知函数 .‎ ‎（Ⅰ）当 时，求不等式 的解集；‎ ‎（Ⅱ）若 的图像与 轴围成的三角形面积大于 ，求 的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） ‎ 解析：（Ⅰ）当 时，不等式 可化为 ‎ 所以不等式的解集为 ‎ ‎7. 【2016高考新课标1，理24】已知函数f(x)= ∣x+1∣∣2x3∣.‎ ‎（I）在答题卡第（24）题图中画出y= f(x)的图像；‎ ‎（II）求不等式∣f(x)∣﹥1的解集.‎ ‎【答案】（I）见解析（II）‎ ‎8.设不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集为M，a，b∈M.‎ ‎(1)证明：;‎ ‎(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由．‎ ‎【答案】(1)见解析; (2) .‎ ‎【解析】‎ ‎ (1)证明：记,‎ 由，解得， 则.‎ 所以 ‎ ‎9. 设.‎ ‎（1）求的解集；‎ ‎（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围. ‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由得：‎ 或或 解得 ‎∴的解集为 ‎.‎ ‎（2）‎ 当且仅当时，取等号.‎ 由不等式对任意实数恒成立，可得，‎ 解得：或.‎ 故实数的取值范围是. ‎ ‎10.设均为正数，且，求证：．‎ ‎【答案】见解析 ‎ ‎