【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第三章素养提升1　高考中函数与导数解答题的提分策略学案 5页

素养提升1　高考中函数与导数解答题的提分策略 ‎1[2019全国卷Ⅲ,20,12分][理]已知函数f (x)=2x3 - ax2+b.‎ ‎(1)讨论f (x)的单调性;‎ ‎(2)是否存在a,b,使得f (x)在区间[0,1]上的最小值为 - 1且最大值为1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由.‎ 本题可拆解成以下几个小问题:‎ ‎(1)①求函数f (x)=2x3 - ax2+b的导数;②利用分类讨论思想判断函数的单调性.‎ ‎(2)①对a分类讨论,求函数f (x)的单调区间;②分别求函数f (x)的最值,列出关于a,b的方程组;②解方程组,判断a,b是否符合相应区间.‎ ‎(1)对f (x)=2x3 - ax2+b求导,‎ 得f ' (x)=6x2 - 2ax=2x(3x - a).①‎ 令f ' (x)=0,得x=0或x=a‎3‎.‎ 若a>0,则当x∈( - ∞,0)∪(a‎3‎,+∞)时,f ' (x)>0;当x∈(0,a‎3‎)时,f ' (x)<0.故f (x)在( - ∞,0)和(a‎3‎,+∞)上单调递增,在(0,a‎3‎)上单调递减.②‎ 若a=0,f (x)在( - ∞,+∞)上单调递增.②‎ 若a<0,则当x∈( - ∞,a‎3‎)∪(0,+∞)时,f ' (x)>0;当x∈(a‎3‎,0)时,f ' (x)<0.故f (x)在( - ∞,a‎3‎)和(0,+∞)上单调递增,在(a‎3‎,0)上单调递减.④‎ ‎(2)满足题设条件的a,b存在.‎ ‎(i)当a<0时,由(1)知,f (x)在[0,1]上单调递增,所以f (x)在区间[0,1]上的最小值为f (0)=b,最大值为f (1)=2 - a+b,所以b= - 1,2 - a+b=1,则a=0,b= - 1,与a<0矛盾,所以a<0不成立.⑤‎ ‎(ii)当a=0时,由(1)知,f (x)在[0,1]上单调递增,所以由f (0)= - 1,f (1)=1得a=0,b= - 1.⑥‎ ‎(iii)当00得单调性.‎ 求什么 想什么 要证明f (x)有且仅有两个零点,即要证明f (x)在(0,1)和(1,+∞)上分别有一个零点.‎ 差什么 找什么 在(1,+∞)内分别取两个特殊值,使得一个函数值小于0,而另一个函数值大于0(可取e,e2),即可证明f (x)在(1,+∞)上有一个零点,记为x1.‎ 注意到f (‎1‎x)= - lnx - ‎1‎x‎+1‎‎1‎x‎-1‎= - lnx+x+1‎x-1‎= - f (x),即可证明f (x)在(0,1)上有零点‎1‎x‎1‎.‎ ‎ (2)‎ 给什么 得什么 由x0是f (x)的一个零点知lnx0=x‎0‎‎+1‎x‎0‎‎-1‎.‎ 差什么 找什么 易知点B( - lnx0,‎1‎x‎0‎)在曲线y=ex上,要证明曲线y=lnx在点A处的切线也是曲线y=ex的切线,只需证明直线AB的斜率和曲线y=lnx在点A处的切线的斜率及曲线y=ex在点B处的切线的斜率相等.‎ ‎(1)f (x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞).‎ 因为f ' (x)=‎1‎x‎+‎‎2‎‎(x-1‎‎)‎‎2‎>0,‎ 所以f (x)在(0,1)和(1,+∞)上单调递增.2分 因为f (e)=1 - e+1‎e-1‎<0,f (e2)=2 - e‎2‎‎+1‎e‎2‎‎-1‎‎=‎e‎2‎‎-3‎e‎2‎‎-1‎>0,‎ 所以f (x)在(1,+∞)上有唯一零点,记此零点为x1,则f (x1)=0.4分 又0<‎1‎x‎1‎<1,f (‎1‎x‎1‎)= - lnx1+x‎1‎‎+1‎x‎1‎‎-1‎= - f (x1)=0,故f (x)在(0,1)上有唯一零点‎1‎x‎1‎.‎ 综上,f (x)有且仅有两个零点.6分 ‎(2)因为‎1‎x‎0‎‎=‎e‎-lnx‎0‎,故点B( - lnx0,‎1‎x‎0‎)在曲线y=ex上.7分 由题设知f (x0)=0,即lnx0=x‎0‎‎+1‎x‎0‎‎-1‎,‎ 连接AB,则直线AB的斜率kAB=‎1‎x‎0‎‎-lnx‎0‎‎-lnx‎0‎-‎x‎0‎‎=‎1‎x‎0‎‎-‎x‎0‎‎+1‎x‎0‎‎-1‎‎-x‎0‎‎+1‎x‎0‎‎-1‎-‎x‎0‎=‎‎1‎x‎0‎.9分 曲线y=ex在点B( - lnx0,‎1‎x‎0‎)处的切线的斜率是‎1‎x‎0‎,曲线y=lnx在点A(x0,lnx0)处的切线的斜率也是‎1‎x‎0‎,所以曲线y=lnx在点A(x0,‎ lnx0)处的切线也是曲线y=ex的切线.12分 感悟升华 满分 策略 ‎1.得步骤分:抓住得分点,争得满分.如第(1)问中,求导,判断单调性,利用零点存在性定理确定零点个数.‎ ‎2.得关键分:解题过程中不可忽视关键点,有则给分,无则没分.如第(1)问中,求出f (x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞),判断f (x)在定义域内的单调性;第(2)问中,找关系式lnx0=x‎0‎‎+1‎x‎0‎‎-1‎,判定直线AB的斜率与曲线y=lnx在点A(x0,lnx0)处的切线的斜率及曲线y=ex在点B处的切线的斜率相等.‎ ‎3.得计算分:解题过程中计算准确是得满分的根本保证,如第(1)问中,求f ' (x)准确是关键,否则全盘皆输.第(2)问中,正确计算kAB等是关键,否则不得分.‎ 一题 多解 第(2)问也可用如下思路求解:‎ 先求出y=lnx在点A处的切线方程y=xx‎0‎+lnx0 - 1;‎ 再求出y=ex在点(x2,ex‎2‎)处的切线方程y=ex‎2‎·x+ex‎2‎(1 - x2),由ex‎2‎‎=‎‎1‎x‎0‎知x2= - lnx0,则y=xx‎0‎‎+‎‎1‎x‎0‎(1+lnx0).‎ 于是只需证明‎1‎x‎0‎(1+lnx0)与lnx0 - 1相等,将lnx0=x‎0‎‎+1‎x‎0‎‎-1‎分别代入,得它们均为‎2‎x‎0‎‎-1‎,即可证明.‎ ‎3[2018全国卷Ⅰ,21,12分][理]已知函数f (x)=‎1‎x - x+aln x.‎ ‎(1)讨论f (x)的单调性;‎ ‎(2)若f (x)存在两个极值点x1,x2,证明:f(x‎1‎)-f(x‎2‎)‎x‎1‎‎-‎x‎2‎2,令f ' (x)=0,得x=a-‎a‎2‎‎-4‎‎2‎或x=a+‎a‎2‎‎-4‎‎2‎.‎ 当x∈(0,a-‎a‎2‎‎-4‎‎2‎)∪(a+‎a‎2‎‎-4‎‎2‎,+∞)时,f ' (x)<0;‎ 当x∈(a-‎a‎2‎‎-4‎‎2‎,a+‎a‎2‎‎-4‎‎2‎)时,f ' (x)>0.‎ 所以f (x)在(0,a-‎a‎2‎‎-4‎‎2‎)和(a+‎a‎2‎‎-4‎‎2‎,+∞)上单调递减,在(a-‎a‎2‎‎-4‎‎2‎,a+‎a‎2‎‎-4‎‎2‎)上单调递增.5分 ‎(2)由(1)知,若f (x)存在两个极值点,则a>2.6分 因为f (x)的两个极值点x1,x2满足x2 - ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设x11.7分 因为f(x‎1‎)-f(x‎2‎)‎x‎1‎‎-‎x‎2‎= - ‎1‎x‎1‎x‎2‎ - 1+alnx‎1‎-lnx‎2‎x‎1‎‎-‎x‎2‎= - 2+alnx‎1‎-lnx‎2‎x‎1‎‎-‎x‎2‎= - 2+a‎-2lnx‎2‎‎1‎x‎2‎‎-‎x‎2‎,9分 所以f(x‎1‎)-f(x‎2‎)‎x‎1‎‎-‎x‎2‎