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- 2021-06-16 发布
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1.离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,常用字母X,Y,ξ,η,…表示,所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,则表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列,有时也用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n表示X的分布列.
(2)离散型随机变量的分布列的性质
①pi≥0,i=1,2,…,n;
②i=1.
3.常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布
若随机变量X服从两点分布,即其分布列为
X
0
1
P
1-p
p
其中p=P(X=1)称为成功概率.
(2)超几何分布
一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.如果随机变量X的分布列具有下表形式,
X
0
1
…
m
P
…
则称随机变量X服从超几何分布.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)抛掷均匀硬币一次,出现正面的次数是随机变量.( √ )
(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.( √ )
(3)某人射击时命中的概率为0.5,此人射击三次命中的次数X服从两点分布.( × )
(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名演员,其中女演员的人数X服从超几何分布.( √ )
(5)离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( × )
(6)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.( √ )
1.(教材改编)抛掷甲、乙两颗骰子,所得点数之和为X,那么X=4表示的事件是( )
A.一颗是3点,一颗是1点
B.两颗都是2点
C.甲是3点,乙是1点或甲是1点,乙是3点或两颗都是2点
D.以上答案都不对
答案 C
解析 根据抛掷两颗骰子的试验结果可知,C正确.
2.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X去描述1次试验的成功次数,则P(X=0)等于( )
A.0 B. C. D.
答案 C
解析 设X的分布列为
X
0
1
P
p
2p
即“X=0”表示试验失败,“X=1”表示试验成功,由p+2p=1,得p=,故选C.
3.从标有1~10的10支竹签中任取2支,设所得2支竹签上的数字之和为X,那么随机变量X可能取得的值有( )
A.17个 B.18个 C.19个 D.20个
答案 A
解析 X可能取得的值有3,4,5,…,19,共17个.
4.从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球,设其中有X个红球,则随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
答案 0.1 0.6 0.3
解析 ∵X的所有可能取值为0,1,2,
∴P(X=0)==0.1,
P(X=1)===0.6,P(X=2)==0.3.
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
0.1
0.6
0.3
5.(教材改编)一盒中有12个乒乓球,其中9个新的、3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为______.
答案
解析 由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球,
故P(X=4)==.
题型一 离散型随机变量的分布列的性质
例1 (1)设X是一个离散型随机变量,其分布列为
X
-1
0
1
P
2-3q
q2
则q等于( )
A.1 B.±
C.- D.+
答案 C
解析 ∵+2-3q+q2=1,∴q2-3q+=0,解得q=±.又由题意知08且n∈N*),其中女校友6位,组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单,现随机从中选出2位校友代表,若选出的2位校友是一男一女,则称为“最佳组合”.
(1)若随机选出的2名校友代表为“最佳组合”的概率不小于,求n的最大值;
(2)当n=12时,设选出的2位校友代表中女校友人数为ξ,求ξ的分布列.
解 (1)设选出2人为“最佳组合”记为事件A,
则事件A发生的概率P(A)==.
依题意≥,化简得n2-25n+144≤0,
∴9≤n≤16,故n的最大值为16.
(2)由题意,ξ的可能取值为0,1,2,且ξ服从超几何分布,
则P(ξ =k)=(k=0,1,2),
∴P(ξ=0)=P(ξ=2)==,
P(ξ=1)==.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P