【数学】2020届一轮复习人教A版推理与证明、数学归纳法学案 12页

推理与证明、数学归纳法 ‎ ‎ ‎【考纲要求】‎ ‎1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．‎ ‎2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．‎ ‎3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．‎ ‎4.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．‎ ‎5.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．‎ ‎6.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．‎ ‎【知识网络】‎ 推 理 与 证 明 归纳 推 理 证 明 合情推理 演绎推理 数学归纳法 综合法 分析法 直接证明 类比 间接证明 反证法 ‎【考点梳理】‎ 推理与证明、数学归纳法407426 知识要点】‎ 考点一：合情推理与演绎推理 ‎1．推理的概念 根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论．‎ ‎2．合情推理 根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理称为合情推理．‎ 合情推理又具体分为归纳推理和类比推理两类：‎ ‎(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理，归纳推理简称归纳．‎ ‎(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理，类比推理简称类比．‎ ‎3．演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．‎ 三段论是演绎推理的一般模式，它包括：‎ ‎(1)大前提——已知的一般原理；‎ ‎(2)小前提——所研究的特殊情况；‎ ‎(3)结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．‎ 要点诠释：‎ 合情推理与演绎推理的区别与联系 ‎（1）从推理模式看：‎ ‎①归纳推理是由特殊到一般的推理．‎ ‎②类比推理是由特殊到特殊的推理．‎ ‎③演绎推理是由一般到特殊的推理．‎ ‎（2）从推理的结论看：‎ ‎①合情推理所得的结论不一定正确，有待证明。‎ ‎②演绎推理所得的结论一定正确。‎ ‎（3）总体来说，从推理的形式和推理的正确性上讲，二者有差异；从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的。合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的；演绎推理可以验证合情推理的正确性，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路.‎ 考点二：直接证明与间接证明 ‎1．综合法 ‎(1)定义：综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题．综合法是一种由因索果的证明方法，又叫顺推法．‎ ‎(2)综合法的思维框图：‎ 用表示已知条件，为定义、定理、公理等，表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：‎ ‎.........‎ ‎ 2．分析法 ‎(1) 定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件，定理，定义，公理)为止．这种证明方法叫做分析法．分析法又叫逆推法或执果索因法．‎ ‎(2)分析法的思维框图：‎ ‎.........得到一个明显成立的条件.‎ ‎3．反证法 ‎ ‎(1)定义：假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．这样的证明方法叫反证法．反证法是一种间接证明的方法．‎ ‎(2)应用反证法证明数学命题的一般步骤：‎ ‎ ①分清命题的条件和结论．‎ ‎ ②做出与命题结论相矛盾的假设．‎ ‎ ③由假设出发，结合已知条件，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果．‎ ‎ ④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明原命题为真．‎ 考点三：数学归纳法 数学归纳法证明命题的步骤：‎ ‎（1）证明当取第一个值时结论正确；‎ ‎（2）假设当时结论正确，证明时结论也正确，‎ 由（1）（2）确定对时结论都正确。‎ 要点诠释：‎ ‎1.在证明过程中 证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性.在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立；‎ 证明了第二步，就获得了递推的依据，但没有第一步就失去了递推的基础.只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论；‎ ‎2.用数学归纳法证明问题时 初始值的选取：‎ 初始值就是我们要证明的命题对象的最小自然数。根据题目不同，初始值不一定从开始。如，证明不等式，初始值应从开始.‎ 必须把要把归纳假设用上一次或者多次：‎ 在由假设时命题成立，证明时命题也成立，必须把要把归纳假设用上一次或者多次。必须把归纳假设“时命题成立”作为条件来推导出“时命题也成立”是第二步的关键，只有通过归纳假设的使用，才达到由n=k的情况递推到n=k+1的情况，保证了命题的传递性。此处变形的方法较多，要在不同题型中逐步去体会，如证明整除问题、几何问题等。‎ ‎【典型例题】‎ 类型一：合情推理与演绎推理 例1．平面内的1条直线把平面分成2部分，2条相交直线把平面分成4部分，3条相交但不共点的直线把平面分成7部分，n条彼此相交而无三条共点的直线，把平面分成多少部分？‎ ‎【思路点拨】‎ 可通过画当直线条数n为3，4，5时，分别计算出它们将平面分成的区域数，从中发现规律，再归纳出结论.‎ ‎【解析】设平面被n条直线分成部分，则：‎ 当n=1时，S1=1+1=2；‎ 当n=2时，S2=1+1+2=4；‎ 当n=3时，S3=1+1+2+3=7；‎ 当n=4时，S4=1+1+2+3+4=11.‎ 据此猜想，得.‎ ‎【总结升华】本题是由部分到整体的推理，先把部分的情况都写出来，然后寻找规律，概括出整体的情况，是典型的归纳推理.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】平面中有n个圆，每两个圆都相交于两点，每三个圆都无公共点，它们将平面分成块区域，有，，，……，则的表达式是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【变式2】在数列中，a1=1，且，计算a2，a3，a4，并猜想的表达式.‎ ‎【解析】，，，‎ 猜想：.‎ 例2．证明函数在内是增函数．‎ ‎【思路点拨】证明本题所依据的大前提是：在某个区间（a, b）内，如果，那么函数在这个区间内单调递增．小前提是的导数在区间内满足，这是证明本例的关键．‎ ‎【证明】. ‎ 当时，有，‎ 所以. ‎ 所以在内是增函数．‎ ‎【总结升华】演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( ) ‎ A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 ‎ ‎【答案】C ‎【变式2】函数y＝f（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 . ‎ ‎【解析】∵函数y＝f（x）在（0，2）上是增函数，‎ 由0＜x+2＜2得-2＜x＜0‎ ‎∴函数y=f(x+2) 在（-2，0）上是增函数，‎ 又∵函数y=f(x+2)是偶函数，‎ ‎∴函数y=f(x+2) 在（0，2）上是减函数 由图象可得f(2.5)>f(1)>f(3.5).‎ 类型二：直接证明与间接证明 例3(2015春 静宁县校级期中)已知，(其中e是自然对数的底数)，求证：‎ ‎【思路点拨】直接利用分析法的证明步骤，结合函数单调性证明即可.‎ ‎【证明】‎ 要证 只需证，只需证：‎ 取函数则 当时，‎ 函数在上单调递减 当时，有即得证.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】(2014春 亭湖区校级期中)在三棱锥A-BCD中，E、F、G、H分别是边AB，BC，CD，DA的中点.‎ (1) 求证：四边形EFGH是平行四边形 (2) 若AC=BD，求证：四边形EFGH为菱形.‎ ‎【证明】(1)E、F、G、H分别是边AB，BC，CD，DA的中点.‎ 四边形EFGH为平行四边形.‎ (2) 若AC=BD,则EF=EH 平行四边形EFGH为菱形.‎ ‎【变式2】已知a,b,c∈R,求证：.‎ ‎【证明】∵a2+b2≥2ab ，∴2(a2+b2)≥a2+2ab+b2=(a+b)2‎ ‎ 即,两边开方得 ‎ 同理可得, ‎ ‎ 三式相加得：‎ 例4．已知a3＋b3=2,求证：a+b≤2.‎ ‎【思路分析】根据已知条件a3＋b3，想到立方和公式。‎ ‎【证明】假设a+b>2,则b>2-a，‎ ‎∴b3>(2-a)3‎ ‎∴ a3＋b3>a3＋(2-a)3=8-12a+6a2=6(a-1)2+2≥2,‎ 与已知矛盾，‎ ‎∴a+b≤2‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】设二次函数中的、、均为奇数，‎ 求证：方程无整数根.‎ ‎【证明】假设方程 有整数根，则成立，‎ 所以.‎ 因为为奇数，所以也为奇数，且与都必须为奇数.‎ 因为已知、为奇数，又为奇数，‎ 所以为偶数，这与为奇数矛盾，‎ 所以假设不成立，原命题成立.‎ 推理与证明、数学归纳法407426 例5】‎ 例5．若都为实数，且，，，‎ 求证：中至少有一个大于0.‎ ‎【思路分析】“中至少有一个大于0”的反面是“都不大于0”。‎ ‎【证明】假设都不大于0，则，，，‎ 所以 又 ‎.‎ 因为，，，，‎ 所以，‎ 所以，这与矛盾，‎ 所以假设不成立，原命题成立.‎ ‎【总结升华】正确地作出反设(即否定结论)是正确运用反证法的前提，要注意一些常用的“结论否定形式”，另外，需注意作出的反设必须包括与结论相反的所有情况，也只有证明了与结论相反的所有情况都不成立，才能保证原来的结论一定成立．‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】设函数在内都有，且恒成立，‎ 求证：对任意都有.‎ ‎【证明】假设“对任意都有”不成立，则，有成立，‎ ‎∵，∴‎ 又∵‎ 这与矛盾，‎ 所以假设不成立，原命题成立.‎ 类型三：数学归纳法 例6．用数学归纳法证明等式 ‎ ‎ 对所有均成立.‎ ‎【思路点拨】在利用归纳假设论证等式成立时，注意分析与的两个等式的差别.时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由变为.因此在证明中，右式中的应与-合并，才能得到所证式.所以，在论证之前，把时等式的左右两边的结构先作一分析.‎ ‎【证明】（1)当时，左式=，右式=， ‎ ‎∴左式=右式，等式成立.‎ ‎（2)假设当()时等式成立，‎ 即，‎ 则当时，‎ 即时，等式也成立，‎ 由（1)（2)可知，等式对均成立.‎ ‎【总结升华】‎ ‎①数学归纳法的第二步是递推的“依据”，是论证过程的关键，在论证时必须用到时的假设结论，然后通过恰当的推理和计算来证明时命题也成立.‎ ‎②数学归纳法的证明过程中，要把握好两个关键之处：一是与的关系；二是与的关系.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】在数列中，，当时，且设 ‎，证明：数列的各项均为3的倍数.‎ ‎【解析】（1) ∵，∴，，∴‎ ‎∴当时，为3的倍数，命题成立.‎ ‎（2)假设当 ()时命题成立，即为3的倍数，‎ 则当时，‎ 由假设知：为3的倍数，又因为为3的倍数 所以为3的倍数，‎ 即当时，等式成立.‎ 由（1)（2)可知，数列的各项均为3的倍数对均成立.‎ ‎例7．已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且对于所有的非零自然数n, 与2的等差中项等于与2的正的等比中项.‎ ‎（1）写出的前三项； ‎ ‎（2）求的通项公式；‎ ‎（3）令，求.‎ ‎【思路点拨】归纳-猜想-证明的方法.根据已知条件和递推关系，先求出数列的前几项，然后归纳出其中的规律，写出其通项．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由已知得：，‎ ‎ 当时，，解得；‎ ‎ 当时，即，解得；‎ 当时，，解得.‎ ‎（2）方法一：，‎ ‎ ∴ ，‎ 又,‎ ‎∴,‎ 整理得 ‎∵，即 ‎ ‎∴()，又,‎ ‎∴是首项为2，公差为4的等差数列，‎ 故.‎ 方法二：由（1）猜想： ()‎ 下面用数学归纳法证明 ①当时已成立 ②假设时，命题成立.即成立 ‎ 当时，‎ ‎∵， 又, ,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∵的各项均为正数 ‎∴‎ 即n=k+1时，结论也成立.‎ 由①，②可知，对一切，.‎ ‎（3）‎ ‎ ∴ .‎ ‎【总结升华】‎ ‎①归纳推理所得到的结论有可能正确，也有可能错误，它的正确性需要严格的证明．因此在具体问题中，常常用归纳推理去猜测发现结论，而利用演绎推理去验证或证明发现的结论．这也是数学发现的一条重要途径．‎ ‎②本题考察了与之间的关系；本题既可以用数学归纳法，还可用递推关系.在利用归纳假设进行论证这一步中，应利用去求Sk，而不是利用求和.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】已知，又数列的前n项和满足, .‎ ‎ (1) 求数列的前n项和及通项；‎ ‎ (2) 若，试比较与；与；与的大小，猜测与()的大小关系并加以证明；‎ ‎【解析】（1）由, 可求得：,‎ ‎ ∴,‎ ‎∴为等差数列，且首项，公差 ‎∴，即,‎ ‎∴当时，,‎ 当时，,‎ ‎ ∴.‎ ‎(2)；, ；‎ ‎ , ∴.‎ ‎ 猜测：.‎ ‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎①验证,时成立.‎ ‎ ②假设n=k时，成立.‎ ‎ 即成立，等价于.‎ ‎ 则当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴‎ ‎ 即时，成立.‎ ‎ 由①，②可得对任意成立.‎ ‎ 【变式2】已知等差数列的前10项的和，‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，……，第项，……，按原来的顺序排成一个新的数列，试求此新数列的前n项的和；‎ ‎ （3）设，试比较与的大小并说明理由.‎ ‎【解析】（1）设等差数列的公差为，‎ 则，解得 ‎∴‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎∴‎ 当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ 由此猜测：时，时 下面用数学归纳法证明：时 ‎①当时，可以验证结论成立，‎ ‎②假设时，结论成立，‎ 即 则时，‎ ‎∵且 又 ∴即 ‎∴即时猜想成立 由（1）（2）可知：时成立.‎ 综上所述，时，时.‎