【数学】2018届一轮复习人教A版对数与对数函数教案 15页

‎1.对数的概念 如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中__a__叫作对数的底数，__N__叫作真数.‎ ‎2.对数的性质与运算法则 ‎(1)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ‎①loga(MN)＝logaM＋logaN；‎ ‎②loga＝logaM－logaN；‎ ‎③logaMn＝nlogaM (n∈R)；‎ ‎④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).‎ ‎(2)对数的性质 ‎①alogaN＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0且a≠1).‎ ‎(3)对数的重要公式 ‎①换底公式logbN＝ (a，b均大于零且不等于1)；‎ ‎②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.‎ ‎3.对数函数的图像与性质 a>1‎ ‎01时，y>0‎ 当01时，y<0‎ 当00‎ ‎4.反函数 指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图像关于直线__y＝x__对称.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　×　)‎ ‎(2)logax·logay＝loga(x＋y).(　×　)‎ ‎(3)函数y＝log2x及y＝log3x都是对数函数.(　×　)‎ ‎(4)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数.(　×　)‎ ‎(5)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.(　√　)‎ ‎(6)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图像只在第一、四象限.(　√　)‎ ‎1.(2015·湖南)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　　)‎ A.奇函数，且在(0,1)上是增函数 B.奇函数，且在(0,1)上是减函数 C.偶函数，且在(0,1)上是增函数 D.偶函数，且在(0,1)上是减函数 答案　A 解析　易知函数定义域为(－1，1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，又f(x)＝ln＝ln，由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0,1)上是增函数，故选A.‎ ‎2.设a＝log，b＝log，c＝log3，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A.a>，∴c1时，函数单调递增，所以只有选项B正确.‎ ‎4.已知x，y，z都是大于1的正数，m>0，且logxm＝24，logym＝40，logxyzm＝12，则logzm的值为(　　)‎ A. B.60‎ C. D. 答案　B 解析　由已知得logm(xyz)＝logmx＋logmy＋logmz＝，而logmx＝，logmy＝，故logmz＝－logmx－logmy＝－－＝，即logzm＝60.‎ ‎5.(教材改编)若loga<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________________.‎ 答案　∪(1，＋∞)‎ 解析　当01时，loga1.‎ ‎∴实数a的取值范围是∪(1，＋∞).‎ 题型一　对数式的运算 例1　(1)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)‎ A. B.10‎ C.20 D.100‎ ‎(2)lg＋lg的值是________.‎ 答案　(1)A　(2)1‎ 解析　(1)∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，‎ ‎∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.‎ ‎∴m＝.‎ ‎(2)原式＝lg＝lg 10＝1.‎ 思维升华　在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算.‎ ‎　(1)计算＝________.‎ ‎(2)已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝________.‎ 答案　(1)1　(2)12‎ 解析　(1)原式 ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝＝＝1.‎ ‎(2)∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3，‎ ‎∴a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12.‎ 题型二　对数函数的图像及应用 例2　(1)函数y＝2log4(1－x)的图像大致是(　　)‎ ‎(2)当01时不满足条件，当0，所以a的取值范围为.‎ 方法二　∵04x>1，‎ ‎∴01，则0b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c 答案　D 解析　由对数运算法则得a＝log36＝1＋log32，b＝1＋log52，c＝1＋log72，由对数函数图像得log32>log52>log72，所以a>b>c，故选D.‎ 命题点2　解对数不等式 例4　若loga(a2＋1)0，故必有a2＋1>2a，‎ 又loga(a2＋1)1，所以a>.综上，a∈(，1).‎ 命题点3　和对数函数有关的复合函数 例5　已知函数f(x)＝loga(3－ax).‎ ‎(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.‎ 解　(1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，‎ 则t(x)＝3－ax为减函数，‎ x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a，‎ 当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，‎ 即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立.‎ ‎∴3－2a>0.∴a<.‎ 又a>0且a≠1，∴a∈(0,1)∪.‎ ‎(2)t(x)＝3－ax，∵a>0，∴函数t(x)为减函数.‎ ‎∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴y＝logat为增函数，‎ ‎∴a>1，x∈[1,2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，∴即 故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.‎ 思维升华　‎ 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.‎ ‎　(1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(　　)‎ A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b ‎(2)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为(　　)‎ A.[1,2) B.[1,2]‎ C.[1，＋∞) D.[2，＋∞)‎ ‎(3)设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)‎ A.(－1,0)∪(0,1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ C.(－1,0)∪(1，＋∞) D.(－∞，－1)∪(0,1)‎ 答案　(1)D　(2)A　(3)C 解析　(1)∵<2<3,1<2<，3>2，‎ ‎∴log3log22，‎ ‎∴1，∴c>a>b.‎ ‎(2)令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有即 解得1≤a<2，即a∈[1,2)，故选A.‎ ‎(3)由题意可得或 解得a>1或－1b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>b>a ‎(3)已知a＝，b＝，c＝，则(　　)‎ A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b 思维点拨　(1)可根据幂函数y＝x0.5的单调性或比商法确定a，b的大小关系，然后利用中间值比较a，c大小.(2)a，b均为对数式，可化为同底，再利用中间变量和c比较.(3)化为同底的指数式.‎ 解析　(1)根据幂函数y＝x0.5的单调性，‎ 可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即blog0.30.3＝1，即c>1.所以blog22＝1，b＝logπ＝log2log3>log43.6.‎ 方法二　∵log3>log33＝1，且<3.4，‎ ‎∴log31，‎ ‎∴log43.6log3>log43.6.‎ 由于y＝5x为增函数，∴.‎ 即，故a>c>b.‎ 答案　(1)C　(2)C　(3)C 温馨提醒　(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法.‎ ‎(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1.对数值取正、负值的规律 当a>1且b>1或00；‎ 当a>1且01时，logab<0.‎ ‎2.对数函数的定义域及单调性 在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按01进行分类讨论.‎ ‎3.比较幂、对数大小有两种常用方法(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.‎ ‎4.多个对数函数图像比较底数大小的问题，可通过比较图像与直线y＝1交点的横坐标进行判定.‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1.在运算性质logaMα＝αlogaM中，要特别注意条件，在无M＞0的条件下应为logaMα＝αloga|M|(α∈N＋，且α为偶数).‎ ‎2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.‎ A组　专项基础训练 ‎(时间40分钟)‎ ‎1.若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是(　　)‎ 答案　B 解析　由题图可知y＝logax的图像过点(3,1)，‎ ‎∴loga3＝1，即a＝3.‎ A项，y＝3－x＝()x在R上为减函数，错误；‎ B项，y＝x3符合；‎ C项，y＝(－x)3＝－x3在R上为减函数，错误；‎ D项，y＝log3(－x)在(－∞，0)上为减函数，错误.‎ ‎2.函数y＝ln 的图像为(　　)‎ 答案　A 解析　易知2x－3≠0，即x≠，排除C、D.当x>时，函数为减函数，当x<时，函数为增函数，所以选A.‎ ‎3.已知b>0，log5b＝a，lg b＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是(　　)‎ A.d＝ac B.a＝cd C.c＝ad D.d＝a＋c 答案　B 解析　log5b＝a，lg b＝c，两式相除得＝，log510＝.∵5d＝10，∴log510＝d，∴d＝，cd＝a.故选B.‎ ‎4.设f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是(　　)‎ A.(－1,0) B.(0,1)‎ C.(－∞，0) D.(－∞，0)∪(1，＋∞)‎ 答案　A 解析　由f(x)是奇函数可得a＝－1，‎ ‎∴f(x)＝lg，定义域为(－1,1).‎ 由f(x)<0，可得0<<1，∴－10，a≠1)，且f(1)＝2.‎ ‎(1)求a的值及f(x)的定义域；‎ ‎(2)求f(x)在区间[0，]上的最大值.‎ 解　(1)∵f(1)＝2，‎ ‎∴loga4＝2(a>0，a≠1)，‎ ‎∴a＝2.‎ 由得x∈(－1,3)，‎ ‎∴函数f(x)的定义域为(－1,3).‎ ‎(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)‎ ‎＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]，‎ ‎∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；‎ 当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，‎ 故函数f(x)在[0，]上的最大值是f(1)＝log24＝2.‎ B组　专项能力提升 ‎(时间20分钟)‎ ‎11.(2015·陕西)设f(x)＝ln x,0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是(　　)‎ A.q＝r＜p B.p＝rp D.p＝r＞q 答案　B 解析　∵0＜a＜b，∴＞，‎ 又∵f(x)＝ln x在(0，＋∞)上为增函数，‎ ‎∴f＞f()，即q＞p.‎ 又r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b)＝ln＝p，‎ 故p＝r＜q.选B.‎ ‎12.设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝ln x，则有(　　)‎ A.f()|－1|>|－1|，‎ ‎∴f()0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－，求a的值.‎ 解　由题意知f(x)＝(logax＋1)(logax＋2)‎ ‎＝(logx＋3logax＋2)＝(logax＋)2－.‎ 当f(x)取最小值－时，logax＝－.‎ 又∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1).‎ ‎∵f(x)是关于logax的二次函数，‎ ‎∴函数f(x)的最大值必在x＝2或x＝8时取得.‎ 若(loga2＋)2－＝1，‎ 则a＝，‎ 此时f(x)取得最小值时，x＝‎ ‎＝∉[2,8]，舍去.‎ 若(loga8＋)2－＝1，则a＝，‎ 此时f(x)取得最小值时，x＝＝2∈[2,8]，‎ 符合题意，∴a＝.‎