【数学】2019届一轮复习人教A版理第6章第4节　合情推理与演绎推理教案 8页

第四节 合情推理与演绎推理 [考纲传真] (教师用书独具)1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理 和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，了解合 情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段 论”进行一些简单的演绎推理． (对应学生用书第 97 页) [基础知识填充] 1．合情推理 类型 定义 特点 归纳 推理 根据一类事物的部分对象具有某种特征，推 出这类事物的全部对象都具有这种特征的 推理 由 部 分 到 整 体、由个别到 一般 类比 推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类 对象的某些已知特征，推出另一类对象也具 有这些特征的推理 由特殊到特殊 2.演绎推理 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种 推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断． [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．( ) (2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合 适．( ) (3)“所有 3 的倍数都是 9 的倍数，某数 m 是 3 的倍数，则 m 一定是 9 的倍 数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( ) (4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× 2．(教材改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2 时，an＝an－1＋2n－1，依次计 算 a2，a3，a4 后，猜想 an 的表达式是( ) A．an＝3n－1 B．an＝4n－3 C．an＝n2 D．an＝3n－1 C [a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想 an＝n2.] 3．“因为指数函数 y＝ax 是增函数(大前提)，而 y＝ 1 3 x 是指数函数(小前提)， 所以函数 y＝ 1 3 x 是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( ) A．大前提错误导致结论错误 B．小前提错误导致结论错误 C．推理形式错误导致结论错误 D．大前提和小前提错误导致结论错误 A [“指数函数 y＝ax 是增函数”是本推理的大前提，它是错误的．因为实 数 a 的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的．] 4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1∶2，则它们的面积比为 1∶4. 类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为 1∶2，则它们的体积比为 ________． 1∶8 [这两个正四面体的体积比为V1 V2 ＝ 1 3S1h1 ∶ 1 3S2h2 ＝S1 S2 ·h1 h2 ＝1∶8.] 5．观察下列不等式 1＋ 1 22 ＜3 2 ， 1＋ 1 22 ＋ 1 32 ＜5 3 ， 1＋ 1 22 ＋ 1 32 ＋ 1 42 ＜7 4 ， …… 照此规律，第五个．．．不等式为________． 1＋ 1 22 ＋ 1 32 ＋ 1 42 ＋ 1 52 ＋ 1 62 ＜11 6 [先观察左边，第一个不等式为 2 项相加，第二 个不等式为 3 项相加，第三个不等式为 4 项相加，则第五个不等式应为 6 项相加， 右边分子为分母的 2 倍减 1，分母即为所对应项数，故应填 1＋ 1 22 ＋ 1 32 ＋ 1 42 ＋ 1 52 ＋ 1 62 ＜11 6 .] (对应学生用书第 97 页) 归纳推理 ◎角度 1 与数字有关的推理 (2018·兰州实战模拟)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2 ＋3＋4＋3＋2＋1，……，由以上可推测出一个一般性结论：对于 n∈N*，则 1 ＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________. n2 [因为 1＝1＝12,1＋2＋1＝4＝22,1＋2＋3＋2＋1＝9＝32,1＋2＋3＋4＋3 ＋2＋1＝16＝42，……，由此可得 1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2.] ◎角度 2 与式子有关的推理 已知 f(x)＝ x 1＋x ，x≥0，若 f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N*，则 f2 019(x)的表达式为________. 【导学号：97190206】 f2 019(x)＝ x 1＋2 019x [f1(x)＝ x 1＋x ，f2(x)＝ x 1＋x 1＋ x 1＋x ＝ x 1＋2x ，f3(x)＝ x 1＋2x 1＋ x 1＋2x ＝ x 1＋3x ，…，fn＋1(x)＝f(fn(x))＝ x 1＋nx ， 归纳可得 f2 019(x)＝ x 1＋2 019x.] ◎角度 3 与图形有关的推理 如图 641 的图形由小正方形组成，请观察图(1)至图(4)的规律，并 依此规律，写出第 n 个图形中小正方形的个数是________． 图 641 nn＋1 2 (n∈N*) [由题图知第 n 个图形的小正方形个数为 1＋2＋3＋…＋n. 所以总个数为nn＋1 2 (n∈N*)．] [规律方法] 归纳推理问题的常见类型及解题策略 1与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可 解. 2与式子有关的推理.观察每个式子的特点，注意是纵向看，找到规律后可解. 3与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验 法验证其真伪性. [跟踪训练] (1)数列1 2 ，1 3 ，2 3 ，1 4 ，2 4 ，3 4 ，…， 1 m＋1 ， 2 m＋1 ，…， m m＋1 ，…的第 20 项是( ) A．5 8 B．3 4 C．5 7 D．6 7 (2)已知 x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋1 x ≥2，x＋4 x2 ＝x 2 ＋x 2 ＋4 x2 ≥3，x＋27 x3 ＝x 3 ＋x 3 ＋x 3 ＋27 x3 ≥4，…，类比得 x＋a xn ≥n＋1(n∈N*)，则 a＝__________. (3)(2018·郑州第二次质量预测)平面内凸四边形有 2 条对角线，凸五边形有 5 条对角线，依次类推，凸十三边形的对角线条数为( ) A．42 B．65 C．143 D．169 (1)C (2)nn(n∈N*) (3)B [(1)数列 m m＋1 在数列中是第 1＋2＋3＋…＋m＝ mm＋1 2 项，当 m＝5 时，即5 6 是数列中第 15 项， 则第 20 项是5 7 ，故选 C． (2)第一个式子是 n＝1 的情况，此时 a＝11＝1；第二个式子是 n＝2 的情况， 此时 a＝22＝4；第三个式子是 n＝3 的情况，此时 a＝33＝27，归纳可知 a＝nn. (3)可以通过列表归纳分析得到． 凸多边形 4 5 6 7 8 … 对角线条数 2 2＋ 3 2＋3＋ 4 2＋3＋4＋5 2＋3＋4＋5＋6 … ∴凸 13 边形有 2＋3＋4＋…＋11＝13×10 2 ＝65 条对角线．故选 B．] 类比推理 (1)若数列{an}是等差数列，则数列{bn} bn＝a1＋a2＋…＋an n 也是等差 数列，类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列， 则 dn 的表达式应为( ) A．dn＝c1＋c2＋…＋cn n B．dn＝c1·c2·…·cn n C．dn＝n cn1＋cn2＋…＋cnn n D．dn＝n c1·c2·…·cn (2)在平面几何中，△ABC 的∠C 的平分线 CE 分 AB 所成线段的比为AC BC ＝AE BE. 把这个结论类比到空间：在三棱锥 ABCD 中(如图 642)，平面 DEC 平分二面角 ACDB 且与 AB 相交于 E，则得到类比的结论是________________． 图 642 (1)D (2)AE EB ＝S△ACD S△BCD [(1)法一：从商类比开方，从和类比到积，则算术平均 数可以类比几何平均数，故 dn 的表达式为 dn＝n c1·c2·…·cn. 法二：若{an}是等差数列，则 a1＋a2＋…＋an＝na1＋nn－1 2 d， ∴bn＝a1＋n－1 2 d＝d 2n＋a1－d 2 ，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则 c1·c2·…·cn＝cn1·q1＋2＋…＋(n－1)＝cn1·q nn－1 2 ，∴dn＝n c1·c2·…·cn＝c1·q n－1 2 ，即{dn} 为等比数列，故选 D． (2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AE EB ＝S△ACD S△BCD .] [规律方法] 类比推理的常见情形与处理方法 1常见情形：平面与空间类比；低维与高维类比；等差数列与等比数列类比； 运算类比和与积、乘与乘方，差与除，除与开方.数的运算与向量运算类比；圆 锥曲线间的类比等. 2处理方法：进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行 对比，提出猜想，其中找到合适的类比对象是解题的关键. [跟踪训练] 给出下面类比推理(其中 Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复 数集)： ①“若 a，b∈R，则 a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若 a，c∈C，则 a－c＝0 ⇒a＝c”； ②“若 a，b，c，d∈R，则复数 a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若 a，b，c，d∈Q，则 a＋b 2＝c＋d 2⇒a＝c，b＝d”； ③“若 a，b∈R，则 a－b>0⇒a>b”类比推出“若 a，b∈C，则 a－b>0⇒ a>b”； ④“若 x∈R，则|x|<1⇒－1