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  • 2021-06-16 发布

2020学年高一数学下册期末两条直线的位置关系知识点

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2020 学年高一数学下册期末两条直线的位置关系知识点 1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 ①对于两条不重合的直线 l1,l2,若其斜率分别为 k1,k2,则有 l1∥l2 ⇔ k1=k2. ②当直线 l1,l2 不重合且斜率都不存在时,l1∥l2. (2)两条直线垂直 ①如果两条直线 l1,l2 的斜率存在,设为 k1,k2,则有 l1⊥l2 ⇔ k1·k2=-1. ②当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为 0 时,l1⊥l2. 2.两直线平行或重合的充要条件 直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与直线 l2:A2x+B2y+C2=0 平行的充要条件是 A1B2-A2B1= 0,A1C2≠A2C1.重合的充要条件是 A1B2-A2B1=0,A1C2=A2C. 3.两直线垂直的充要条件 直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与直线 l2:A2x+B2y+C2=0 垂直的充要条件是 A1A2+B1B2= 0. 例 1.(P101A 组 T10 改编)已知 P(-2,m),Q(m,4),且直线 PQ 垂直于直线 x+y+1=0, 则 m=____________. 【答案】1 [由题意知 m-4 -2-m =1,所以 m-4=-2-m,所以 m=1.] 练习.(2019·山东滨州调研)直线 2x+(m+1)y+4=0 与直线 mx+3y-2=0 平行,则 m 等于( ) A.2 B.-3 C.2 或-3 D.-2 或-3 【答案】C [直线 2x+(m+1)y+4=0 与直线 mx+3y-2=0 平行,则有 2 m = m+1 3 ≠ 4 -2 ,故 m=2 或-3. ] 4.两条直线的交点的求法 直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,C1,A2,B2,C2 为常数),则 l1 与 l2 的交点坐标就是方程组 A1x+B1y+C1=0, A2x+B2y+C2=0 的解. 例 2.(2019·山东济宁月考)若三条直线 y=2x,x+y=3,mx+2y+5=0 相交于同一点, 则 m 的值为____________. 【答案】-9 [由 y=2x x+y=3 得 x=1 y=2 ,即交点坐标为(1,2).又三线共点,∴m+2×2 +5=0,m=-9.] 练习.当 00, 故直线 l1:kx-y=k-1 与直线 l2:ky-x=2k 的交点在第二象限.] 5.三种距离 P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点之间的距离 |P1P2| d= x2-x12+y2-y12 点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d=|Ax0+By0+C| A2+B2 平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2 =0 间的距离 d=|C1-C2| A2+B2 例 3.(2019·山东蒙阴月考)已知两条平行直线,l1:mx+8y+n=0 与 l2:2x+my-1 =0 间的距离为 5,则直线 l1 的方程为________________. 【答案】2x±4y+9=0 或 2x±4y-11=0 [∵l1∥l2,∴m 2 = 8 m ≠ n -1 ,∴ m=4, n≠-2 或 m=-4, n≠2. (1)当 m=4 时,直线 l1 的方程为 4x+8y+n=0, 把 l2 的方程写成 4x+8y-2=0, ∴ |n+2| 16+64 = 5,解得 n=-22 或 18. 故所求直线的方程为 2x+4y-11=0 或 2x+4y+9=0. (2)当 m=-4 时,直线 l1 的方程为 4x-8y-n=0, l2 的方程为 4x-8y-2=0, ∴|-n+2| 16+64 = 5,解得 n=-18 或 22. 故所求直线的方程为 2x-4y+9=0 或 2x-4y-11=0.] [变式探究] 将题 2 改为“已知直线 l 过点 P(3,-4)且与点 A(-2,2),B(4,-2)等距离, 则直线 l 的方程为________________.” 【答案】2x-y-2=0 或 2x+3y-18=0 [显然直线 l 斜率不存在时,不满足题意;设所 求直线方程为 y-4=k(x-3),即 kx-y+4-3k=0, 由已知,得|-2k-2+4-3k| 1+k2 =|4k+2+4-3k| 1+k2 , ∴k=2 或 k=-2 3 . ∴所求直线 l 的方程为 2x-y-2=0 或 2x+3y-18=0.] 练习. (P110 B 组 T2 改编)已知点(a,2)(a>0)到直线 l:x-y+3=0 的距离为 1,则 a 等于 ( ) A. 2 B.2- 2 C. 2-1 D. 2+1 【答案】C [由题意得|a-2+3| 1+1 =1. 解得 a=-1+ 2或 a=-1- 2.∵a>0,∴a =-1+ 2.] 6.直线系方程 (1)与直线 Ax+By+C=0 平行的直线系方程是 Ax+By+m=0(m∈R 且 m≠C). (2)与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程是 Bx-Ay+n=0(n∈R). (3)过直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程为 A1x+B1y +C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括 l2. 例 4.求经过两条直线 l1:x+y-4=0 和 l2:x-y+2=0 的交点,且与直线 2x-y-1=0 垂直的直线方程为____________________. 【答案】x+2y-7=0 [由 x+y-4=0, x-y+2=0, 得 x=1, y=3, ∴l1 与 l2 的交点坐标为(1,3). 设与直线 2x-y-1=0 垂直的直线方程为 x+2y+c=0,则 1+2×3+c=0,∴c=-7. ∴所求直线方程为 x+2y-7=0.] 7.对称问题 在求对称点时,关键是抓住两点:一是两对称点的连线与对称轴垂直;二是两对称点的中 心在对称轴上,即抓住“垂直平分”,由“垂直”列出一个方程,由“平分”列出一个方程, 联立求解. 例 5. (2019·福建厦门月考)过点 P(0,1)作直线 l 使它被直线 l1:2x+y-8=0 和 l2:x-3y +10=0 截得的线段被点 P 平分,则直线 l 的方程为____________________. 【答案】x+4y-4=0 [设 l1 与 l 的交点为 A(a,8-2a),则由题意知,点 A 关于点 P 的 对称点 B(-a,2a-6)在 l2 上,代入 l2 的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得 a=4,即点 A(4,0) 在直线 l 上,所以直线 l 的方程为 x+4y-4=0.] 练习. (2019·山东德州月考)直线 2x-y+3=0 关于直线 x-y+2=0 对称的直线方程是 ( ) A.x-2y+3=0 B.x-2y-3=0 C.x+2y+1=0 D.x+2y-1=0 A [设所求直线上任意一点 P(x,y),则 P 关于 x-y+2=0 的对称点为 P′(x0,y0), 由 x+x0 2 -y+y0 2 +2=0, x-x0=-y-y0, 得 x0=y-2, y0=x+2, 由点 P′(x0,y0)在直线 2x-y+3=0 上, ∴2(y-2)-(x+2)+3=0,即 x-2y+3=0.] 练习. (2019·湖北孝感五校联考)已知直线 y=2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线, 若点 A,B 的坐标分别是(-4,2),(3,1),则点 C 的坐标为( ) A.(-2, 4) B.(-2,-4) C.(2, 4) D.(2,-4) C [设 A(-4,2)关于直线 y=2x 的对称点为(x,y),则 y-2 x+4 ×2=-1, y+2 2 =2×-4+x 2 , 解得 x=4, y=-2, ∴BC所在直线方程为y-1=-2-1 4-3 (x-3),即3x+y-10=0.联立 3x+y-10=0, y=2x, 解 得 x=2, y=4, 则 C(2,4).]