2020学年高一数学下册期末两条直线的位置关系知识点 5页

2020 学年高一数学下册期末两条直线的位置关系知识点 1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 ①对于两条不重合的直线 l1，l2，若其斜率分别为 k1，k2，则有 l1∥l2 ⇔ k1＝k2． ②当直线 l1，l2 不重合且斜率都不存在时，l1∥l2． (2)两条直线垂直 ①如果两条直线 l1，l2 的斜率存在，设为 k1，k2，则有 l1⊥l2 ⇔ k1·k2＝－1． ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为 0 时，l1⊥l2． 2．两直线平行或重合的充要条件 直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 平行的充要条件是 A1B2－A2B1＝ 0，A1C2≠A2C1.重合的充要条件是 A1B2－A2B1＝0，A1C2＝A2C． 3．两直线垂直的充要条件 直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 垂直的充要条件是 A1A2＋B1B2＝ 0． 例 1．(P101A 组 T10 改编)已知 P(－2，m)，Q(m,4)，且直线 PQ 垂直于直线 x＋y＋1＝0， 则 m＝____________． 【答案】1 [由题意知 m－4 －2－m ＝1，所以 m－4＝－2－m，所以 m＝1.] 练习．(2019·山东滨州调研)直线 2x＋(m＋1)y＋4＝0 与直线 mx＋3y－2＝0 平行，则 m 等于( ) A．2 B．－3 C．2 或－3 D．－2 或－3 【答案】C [直线 2x＋(m＋1)y＋4＝0 与直线 mx＋3y－2＝0 平行，则有 2 m ＝ m＋1 3 ≠ 4 －2 ，故 m＝2 或－3. ] 4．两条直线的交点的求法 直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2 为常数)，则 l1 与 l2 的交点坐标就是方程组 A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0 的解． 例 2．(2019·山东济宁月考)若三条直线 y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0 相交于同一点， 则 m 的值为____________． 【答案】－9 [由 y＝2x x＋y＝3 得 x＝1 y＝2 ，即交点坐标为(1,2)．又三线共点，∴m＋2×2 ＋5＝0，m＝－9.] 练习．当 00， 故直线 l1：kx－y＝k－1 与直线 l2：ky－x＝2k 的交点在第二象限．] 5．三种距离 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离 |P1P2| d＝ x2－x12＋y2－y12 点 P0(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝|Ax0＋By0＋C| A2＋B2 平行线 Ax＋By＋C1＝0 与 Ax＋By＋C2 ＝0 间的距离 d＝|C1－C2| A2＋B2 例 3．(2019·山东蒙阴月考)已知两条平行直线，l1：mx＋8y＋n＝0 与 l2：2x＋my－1 ＝0 间的距离为 5，则直线 l1 的方程为________________． 【答案】2x±4y＋9＝0 或 2x±4y－11＝0 [∵l1∥l2，∴m 2 ＝ 8 m ≠ n －1 ，∴ m＝4， n≠－2 或 m＝－4， n≠2. (1)当 m＝4 时，直线 l1 的方程为 4x＋8y＋n＝0， 把 l2 的方程写成 4x＋8y－2＝0， ∴ |n＋2| 16＋64 ＝ 5，解得 n＝－22 或 18． 故所求直线的方程为 2x＋4y－11＝0 或 2x＋4y＋9＝0． (2)当 m＝－4 时，直线 l1 的方程为 4x－8y－n＝0， l2 的方程为 4x－8y－2＝0， ∴|－n＋2| 16＋64 ＝ 5，解得 n＝－18 或 22． 故所求直线的方程为 2x－4y＋9＝0 或 2x－4y－11＝0.] [变式探究] 将题 2 改为“已知直线 l 过点 P(3，－4)且与点 A(－2,2)，B(4，－2)等距离， 则直线 l 的方程为________________.” 【答案】2x－y－2＝0 或 2x＋3y－18＝0 [显然直线 l 斜率不存在时，不满足题意；设所 求直线方程为 y－4＝k(x－3)，即 kx－y＋4－3k＝0， 由已知，得|－2k－2＋4－3k| 1＋k2 ＝|4k＋2＋4－3k| 1＋k2 ， ∴k＝2 或 k＝－2 3 ． ∴所求直线 l 的方程为 2x－y－2＝0 或 2x＋3y－18＝0.] 练习. (P110 B 组 T2 改编)已知点(a,2)(a>0)到直线 l：x－y＋3＝0 的距离为 1，则 a 等于 ( ) A． 2 B．2－ 2 C． 2－1 D． 2＋1 【答案】C [由题意得|a－2＋3| 1＋1 ＝1. 解得 a＝－1＋ 2或 a＝－1－ 2.∵a>0，∴a ＝－1＋ 2.] 6．直线系方程 (1)与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程是 Ax＋By＋m＝0(m∈R 且 m≠C)． (2)与直线 Ax＋By＋C＝0 垂直的直线系方程是 Bx－Ay＋n＝0(n∈R)． (3)过直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的交点的直线系方程为 A1x＋B1y ＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括 l2． 例 4．求经过两条直线 l1：x＋y－4＝0 和 l2：x－y＋2＝0 的交点，且与直线 2x－y－1＝0 垂直的直线方程为____________________. 【答案】x＋2y－7＝0 [由 x＋y－4＝0， x－y＋2＝0， 得 x＝1， y＝3， ∴l1 与 l2 的交点坐标为(1,3)． 设与直线 2x－y－1＝0 垂直的直线方程为 x＋2y＋c＝0，则 1＋2×3＋c＝0，∴c＝－7． ∴所求直线方程为 x＋2y－7＝0.] 7.对称问题 在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中 心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程， 联立求解． 例 5. (2019·福建厦门月考)过点 P(0,1)作直线 l 使它被直线 l1：2x＋y－8＝0 和 l2：x－3y ＋10＝0 截得的线段被点 P 平分，则直线 l 的方程为____________________． 【答案】x＋4y－4＝0 [设 l1 与 l 的交点为 A(a,8－2a)，则由题意知，点 A 关于点 P 的 对称点 B(－a,2a－6)在 l2 上，代入 l2 的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得 a＝4，即点 A(4,0) 在直线 l 上，所以直线 l 的方程为 x＋4y－4＝0.] 练习. (2019·山东德州月考)直线 2x－y＋3＝0 关于直线 x－y＋2＝0 对称的直线方程是 ( ) A．x－2y＋3＝0 B．x－2y－3＝0 C．x＋2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0 A [设所求直线上任意一点 P(x，y)，则 P 关于 x－y＋2＝0 的对称点为 P′(x0，y0)， 由 x＋x0 2 －y＋y0 2 ＋2＝0， x－x0＝－y－y0， 得 x0＝y－2， y0＝x＋2， 由点 P′(x0，y0)在直线 2x－y＋3＝0 上， ∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即 x－2y＋3＝0.] 练习. (2019·湖北孝感五校联考)已知直线 y＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线， 若点 A，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点 C 的坐标为( ) A．(－2, 4) B．(－2，－4) C．(2, 4) D．(2，－4) C [设 A(－4,2)关于直线 y＝2x 的对称点为(x，y)，则 y－2 x＋4 ×2＝－1， y＋2 2 ＝2×－4＋x 2 ， 解得 x＝4， y＝－2， ∴BC所在直线方程为y－1＝－2－1 4－3 (x－3)，即3x＋y－10＝0.联立 3x＋y－10＝0， y＝2x， 解 得 x＝2， y＝4， 则 C(2,4)．]