【数学】2018届一轮复习人教A版（理）9-2两直线的位置关系学案 15页

‎§9.2　两直线的位置关系 考纲展示►　‎ ‎1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直．‎ ‎2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．‎ ‎3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．‎ 考点1　两条直线的位置关系 ‎1.两条直线平行与垂直的判定 ‎(1)两条直线平行 ‎①对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔________；‎ ‎②当不重合的两条直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为________．‎ ‎(2)两条直线垂直 ‎①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔________；‎ ‎②如果l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2的关系为________．‎ 答案：(1)①k1＝k2　②平行　(2)①k1k2＝－1　②垂直 ‎2．两条直线的交点 答案：唯一解　无解　无穷多解 ‎ ‎ ‎(1)[教材习题改编]若直线l过点(－1,2)，且与直线y＝x垂直，则直线l的方程是________．‎ 答案：x＋y－1＝0‎ 解析：由条件知，直线l的斜率k＝－1，则其方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.‎ ‎(2)[教材习题改编]过点A(4，a)和B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则|AB|＝________.‎ 答案： 解析：依题意有＝1，即b－a＝1，则|AB|＝＝.‎ 两直线位置关系的重点：平行和垂直．‎ ‎(1)若直线l1：2x＋my＋1＝0与直线l2：y＝3x－1平行，则m＝________.‎ 答案：－ 解析：若l1∥l2，则需满足 得 所以m的值是－.‎ ‎(2)[2016·辽宁锦州模拟]若直线l1：kx＋(1－k)y－3＝0和l2：(k－1)x＋(2k＋3)y－2＝0互相垂直，则k＝________.‎ 答案：－3或1‎ 解析：由k(k－1)＋(1－k)(2k＋3)＝0，得k＝1或k＝－3.‎ ‎ ‎ ‎[典题1]　(1)[2017·重庆巴蜀中学模拟]若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相垂直，那么a的值等于(　　)‎ A．1 B．－ C．－ D．－2‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　由a·1＋2·1＝0，得a＝－2，故选D.‎ ‎(2)[2017·浙江金华十校模拟]“直线ax－y＝0与直线x－ay＝1平行”是“a＝‎1”‎成立的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎[答案]　B ‎[解析]　由直线ax－y＝0与x－ay＝1平行，得a2＝1，即a＝±1，所以“直线ax－y＝0与x－ay＝1平行”是“a＝‎1”‎的必要不充分条件．‎ ‎(3)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　)‎ A．x－2y－1＝0 　 B．x－2y＋1＝0‎ C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　依题意，设所求的直线方程为x－2y＋a＝0，由于点(1,0)在所求直线上，则1＋a＝0，即a＝－1，则所求的直线方程为x－2y－1＝0.‎ ‎(4)经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________．‎ ‎[答案]　4x＋3y－6＝0‎ ‎[解析]　解法一：由方程组得即P(0,2)．‎ ‎∵l⊥l3，∴直线l的斜率k＝－，‎ ‎∴直线l的方程为y－2＝－x，‎ 即4x＋3y－6＝0.‎ 解法二：∵直线l过直线l1和l2的交点，‎ ‎∴可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，‎ 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.‎ ‎∵l与l3垂直，‎ ‎∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11，‎ ‎∴直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0.‎ ‎[点石成金]　1.由一般式确定两直线位置关系的方法 直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)‎ l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)‎ l1与l2垂直 的充要条件 A‎1A2＋B1B2＝0‎ l1与l2平行 的充分条件 ＝≠(A2B‎2C2≠0)‎ l1与l2相交 的充分条件 ≠(A2B2≠0)‎ l1与l2重合 的充分条件 ＝＝(A2B‎2C2≠0)‎ 在判断两直线位置关系时，比例式与，的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答．‎ ‎2．两直线交点的求法 求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．‎ ‎3．常见的三大直线系方程 ‎(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是 Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．‎ ‎(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是 Bx－Ay＋m＝0(m∈R)．‎ ‎(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.‎ 考点2　距离公式的应用 三种距离 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 ‎|P1P2|＝‎ ‎ 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝ 距离问题中的易错点：平行线间的距离．‎ 两平行直线3x－4y－1＝0与6x－8y＋18＝0间的距离是________．‎ 答案：2‎ 解析：两平行直线的方程分别是3x－4y－1＝0和3x－4y＋9＝0，‎ 由两平行线间的距离公式得，‎ 所求距离d＝＝2.‎ 两平行直线l1，l2分别过点A(1,0)，B(0,5)，若l1与l2间的距离为5，则l1与l2的方程分别为________．‎ 答案：y＝0与y＝5或5x－12y－5＝0与5x－12y＋60＝0‎ 解析：依题意，两条直线的斜率必存在．‎ 设所求直线方程为l1：y＝k(x－1)，l2：y＝kx＋5.‎ ‎∵两条平行直线间的距离为5，‎ ‎∴＝5，‎ 解得k＝0或k＝，‎ ‎∴所求直线方程为l1：y＝0，l2：y＝5或l1：5x－12y－5＝0，l2：5x－12y＋60＝0.‎ ‎[典题2]　直线l经过点P(2，－5)且与点A(3，－2)和点B(－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l的方程．‎ ‎[解]　当直线l与x轴垂直时，此时直线l的方程为x＝2，‎ 点A到直线l的距离为d1＝1，点B到直线l的距离为d2＝3，不符合题意，‎ 故直线l的斜率必存在，设为k，‎ ‎∵直线l过点P(2，－5)，‎ ‎∴设直线l的方程为y＋5＝k(x－2)，‎ 即kx－y－2k－5＝0.‎ ‎∴点A(3，－2)到直线l的距离 d1＝＝，‎ 点B(－1,6)到直线l的距离 d2＝＝.‎ ‎∵d1∶d2＝1∶2，∴＝，‎ ‎∴k2＋18k＋17＝0，∴k1＝－1，k2＝－17.‎ ‎∴所求直线方程为x＋y＋3＝0和17x＋y－29＝0.‎ ‎[点石成金]　利用距离公式应注意：‎ ‎(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；‎ ‎(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.‎ ‎1.[2017·四川绵阳一诊]若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案：C 解析：因为＝≠，所以两直线平行，‎ 由题意可知，|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，‎ 即＝，所以|PQ|的最小值为.‎ ‎2．直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为________．‎ 答案：x＋3y－5＝0或x＝－1‎ 解析：解法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则它的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.‎ 由题意知，＝，‎ 即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－，‎ ‎∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，‎ 即x＋3y－5＝0.‎ 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．‎ 综上知，所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.‎ 解法二：当AB∥l时，有k＝kAB＝－，‎ 直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.‎ 当l过AB中点时，AB的中点为(－1,4)，‎ ‎∴直线l的方程为x＝－1.‎ 故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.‎ 考点3　对称问题 ‎[考情聚焦]　对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．‎ 主要有以下几个命题角度：‎ 角度一 点关于点的中心对称问题 ‎[典题3]　过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________．‎ ‎[答案]　x＋4y－4＝0‎ ‎[解析]　设l1与l的交点为A(a,8－‎2a)，‎ 则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,‎2a－6)在l2上，‎ 代入l2的方程得－a－3(‎2a－6)＋10＝0，解得a＝4，‎ 即点A(4,0)在直线l上，‎ 所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.‎ 角度二 点关于直线的对称问题 ‎[典题4]　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　设A′(x，y)，由已知得 解得 故A′.‎ 角度三 直线关于直线的对称问题 ‎[典题5]　已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．‎ ‎[解]　在直线m上任取一点，如M(2,0)，‎ 则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．‎ 设对称点M′(a，b)，则 解得 ‎∴M′.‎ 设直线m与直线l的交点为N，则 由得N(4,3)．‎ 又∵m′经过点N(4,3)，‎ ‎∴由两点式，得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.‎ 角度四 对称问题的应用 ‎[典题6]　 在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　以AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 则A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)，得△ABC的重心D，‎ 设AP＝x，则P(x,0)，x∈(0,4)，‎ 由光的反射定理知，点P关于直线BC，AC的对称点P1(4,4－x)，P2(－x,0)，与△ABC的重心D共线，‎ 所以＝，‎ 解得x＝，AP＝.‎ ‎[点石成金]　1.点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 ‎2．解决点关于直线对称问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直．‎ ‎3．若直线l1，l2关于直线l对称，则有如下性质：①若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；②若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B′在直线l2上．‎ ‎4．解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解.‎ ‎[方法技巧]　1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.‎ ‎2．与已知直线垂直及平行的直线系的设法 与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为：‎ ‎(1)垂直：Bx－Ay＋m＝0；(2)平行：Ax＋By＋n＝0.‎ ‎3．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)，则：‎ ‎(1)l1⊥l2⇔A‎1A2＋B1B2＝0；‎ ‎(2)l1∥l2⇔＝≠(A2B‎2C2≠0)；‎ ‎(3)l1与l2相交⇔≠(A2B2≠0)；‎ ‎(4)l1与l2重合⇔＝＝(A2B‎2C2≠0)．‎ ‎4．对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法．‎ ‎[易错防范]　1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．‎ ‎2．运用两平行直线间的距离公式d＝的前提是将两方程中的x，y的系数化为对应相等．‎ ‎ 真题演练集训 ‎ ‎1．[2016·四川卷]设直线l1，l2分别是函数f(x)＝图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是(　　)‎ A．(0,1) B．(0,2)‎ C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)‎ 答案：A 解析：不妨设P1(x1，ln x1)，P2(x2，－ln x2)，‎ 由于l1⊥l2，所以×＝－1，则x1＝.‎ 又切线l1：y－ln x1＝(x－x1)，‎ l2：y＋ln x2＝－(x－x2)，于是A(0，ln x1－1)，B(0,1＋ln x1)，所以|AB|＝2.‎ 联立 解得xP＝.‎ 所以S△PAB＝×2×xP＝，‎ 因为x1>1，所以x1＋>2，‎ 所以S△PAB的取值范围是(0,1)，故选A.‎ ‎2．[2013·新课标全国卷Ⅱ]已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是(　　)‎ A. (0,1) B. C. D. 答案：B 解析：如图①所示，点F在线段AB上时，‎ 可求得E，‎ 则S△EFB＝·＝S△ABC＝，‎ 整理得a＝，‎ 由 可解得≤b<；‎ ‎①②‎ 如图②所示，当点F在点A左侧时，可求得E，G，‎ 则S四边形ABEG＝S△BEF－S△AFG＝·－·＝S△ABC＝，‎ 整理可得a2＝－2b2＋4b－1，‎ 由 可解得1－0，‎ 则＝＝＝ ‎≤＝4，‎ 当且仅当t＝，即t＝5时等号成立；‎ 当m＝时，＝0；‎ 当m>时，t<0，则0>＝ ‎＝＝≥＝－1，‎ 当且仅当t＝，即t＝－5时等号成立．‎ 综上可得，(m∈R)的最大值为4，‎ 所以点P(2,1)到直线mx－y－3＝0(m∈R)的最大距离是＝2.‎ 解法二：对于直线l：mx－y－3＝0(m∈R)，‎ 令m＝0，则有－y－3＝0；‎ 令m＝1，则有x－y－3＝0，‎ 解方程组得 则直线l经过定点Q(0，－3)，如图所示．‎ 由原题答图知，当PQ⊥l时，点P(2,1)到直线l的距离取得最大值，此时|PQ|＝＝2，‎ 所以点P(2,1)到直线l的最大距离是2.‎ ‎[答案]　2 方法探究 受思维定式的影响，很容易想到解法一，这种方法看起来可行，但是在具体求解时很繁琐，解法二应用数形结合的思想，方便简捷，是最优解法，值得学习和借鉴．‎ 专题二　有关直线的距离最值问题 ‎[典例3]　已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．‎ ‎(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；‎ ‎(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．‎ ‎[思路分析]　‎ ‎ ‎ ‎[解]　(1)设A关于直线l的对称点A′(m，n)，‎ 则解得 故A′(－2,8)．‎ P为直线l上的一点，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，‎ 当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，‎ 则点P就是直线A′B与直线l的交点，‎ 解得 故所求的点P的坐标为(－2,3)．‎ ‎(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则||PB|－|PA||≤|AB|，‎ 当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，‎ 则点P就是直线AB与直线l的交点，‎ 又直线AB的方程为y＝x－2，‎ 解得 故所求的点P的坐标为(12,10)．‎ ‎[典例4]　已知点A(3,1)，在直线y＝x和y＝0上各找一点M和N，使△AMN的周长最短，并求出最短周长．‎ ‎[思路分析]　‎ ‎[解]　由点A(3,1)及直线y＝x，可求得点A关于y＝x的对称点为点B(1,3)，同样可求得点A关于y＝0的对称点为点C(3，－1)，如图所示．‎ 则|AM|＋|AN|＋|MN|＝|BM|＋|CN|＋|MN|≥|BC|，‎ 当且仅当B，M，N，C四点共线时，△AMN的周长最短，为|BC|＝2.‎ 由B(1,3)，C(3，－1)可得，直线BC的方程为2x＋y－5＝0.‎ 由得 故点M的坐标为.‎ 对于2x＋y－5＝0，令y＝0，得x＝，‎ 故点N的坐标为.‎ 故在直线y＝x上找一点M，在y＝0上找一点N，可使△AMN的周长最短，最短周长为2.‎ 领悟整合 在直线l上找一点P到两定点A，B的距离之和最小，则点P必在线段AB′上，故将l同侧的点利用对称转化为异侧的点；若点P到两定点A，B的距离之差最大，则点P必在AB′的延长线或BA′的延长线上，故将l异侧的点利用对称性转化为同侧的点(A′，B′为点A，B关于l的对称点)．‎