【数学】2020届一轮复习人教B版9-7离散型随机变量及其分布列学案 12页

第七节 离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量及其分布列 (1)理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解 分布列对于刻画随机现象的重要性． (2)理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用． 知识点一 离散型随机变量分布列 1．随机变量的有关概念 (1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母 X，Y，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量分布列的概念及性质 (1)概念：若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，…，xi，…，xn，X 取每一个 值 xi(i＝1,2，…，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 此表称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列，有时也用等式 P(X＝xi) ＝pi，i＝1,2，…，n 表示 X 的分布列． (2)分布列的性质 ①pi≥0，i＝1,2,3，…，n. ②∑n i＝1pi＝1. 易误提醒 (1)对于分布列易忽视其性质 p1＋p2＋…＋pn＝1 及 pi≥0(i＝1，2，…，n) 其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确． (2)确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的． [自测练习] 1．设随机变量 X 的分布列如下： X 1 2 3 4 P 1 6 1 3 1 6 p 则 p 为( ) A.1 6 B.1 3 C.2 3 D.1 2 解析：由1 6 ＋1 3 ＋1 6 ＋p＝1，∴p＝1 3. 答案：B 2．已知随机变量 X 的分布列为 P(X＝i)＝ i 2a(i＝1,2,3)，则 P(X＝2)＝________. 解析：由分布列的性质知 1 2a ＋ 2 2a ＋ 3 2a ＝1，∴a＝3，∴P(X＝2)＝ 2 2a ＝1 3. 答案：1 3 知识点二 常见的离散型随机变量的分布列 1．两点分布列 X 0 1 P 1－p p 若随机变量 X 的分布列具有上表的形式，就称 X 服从两点分布，并称 p＝P(X＝1)为成 功概率． 2．超几何分布列 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则 P(X＝k)＝CkMCn－kN－M CnN ， k＝0,1,2，…，m，其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*. X 0 1 … m P C0MCn－0N－M CnN C1MCn－1N－M CnN … CmMCn－mN－M CnN 如果随机变量 X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从超几何分布． 易误提醒 对 m＝min{M，n}的理解易忽视其含义如下： m 为 k 的最大取值，当抽取的产品件数不大于总体中次品件数，即 n≤M 时，k(抽取的 样本中次品的件数)的最大值为 m＝n；当抽取的产品件数大于总体中次品件数，即 n>M 时， k 的最大值为 m＝M. [自测练习] 3．设某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功次数， 则 P(X＝0)等于( ) A．0 B.1 2 C.1 3 D.2 3 解析：由已知得 X 的所有可能取值为 0,1，且 P(X＝1)＝2P(X＝0)， 由 P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得 P(X＝0)＝1 3. 答案：C 考点一 离散型随机变量分布列的性质| 1．已知随机变量 X 的概率分布如下： X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P 2 3 2 32 2 33 2 34 2 35 2 36 2 37 2 38 2 39 m 则 P(X＝10)＝( ) A. 2 39 B. 2 310 C. 1 39 D. 1 310 解析：由离散型随机变量分布列的性质可知2 3 ＋ 2 32 ＋ 2 33 ＋…＋ 2 39 ＋m＝1， ∴m＝1－ 2 3 ＋ 2 32 ＋ 2 33 ＋…＋ 2 39 ＝1－2· 1 3 1－ 1 3 9 1－1 3 ＝ 1 3 9＝ 1 39. 答案：C 2．若随机变量 X 的分布列为( ) X －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当 P(X8 且 n∈N*)，其中女校友 6 位，组委会对这 n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出 2 位校友代表，若选出 的 2 位校友是一男一女，则称为“最佳组合”． (1)若随机选出的 2 位校友代表为“最佳组合”的概率不小于1 2 ，求 n 的最大值； (2)当 n＝12 时，设选出的 2 位校友代表中女校友人数为ξ，求ξ的分布列． 解：(1)由题意可知，所选 2 人为“最佳组合”的概率为C1n－6C16 C2n ＝12n－6 nn－1 ， 则12n－6 nn－1 ≥1 2 ，化简得 n2－25n＋144≤0， 解得 9≤n≤16，故 n 的最大值为 16. (2)由题意得，ξ的可能取值为 0,1,2， 则 P(ξ＝0)＝ C26 C212 ＝ 5 22 ，P(ξ＝1)＝C16C16 C212 ＝ 6 11 ，P(ξ＝2)＝ C26 C212 ＝ 5 22 ， ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 5 22 6 11 5 22 23.忽视分布列性质致误 【典例】 随机变量ξ的分布列如下： ξ －1 0 1 P a b c 其中 a，b，c 成等差数列，则 P(|ξ|＝1)＝________，公差 d 的取值范围是________． [解析] 因为 a，b，c 成等差数列，所以 2b＝a＋c.又 a＋b＋c＝1，所以 b＝1 3.所以 P(|ξ| ＝1)＝a＋c＝2 3.又 a＝1 3 －d，c＝1 3 ＋d，根据分布列的性质，得 0≤1 3 －d≤2 3 ，0≤1 3 ＋d≤2 3 ，所 以－1 3 ≤d≤1 3 ，此即公差 d 的取值范围． [答案] 2 3 －1 3 ，1 3 [易误点评] 求解易忽视 a，b，c 因大于或等于 0 而致误． [防范措施] 利用分布列的性质解决问题时要注意每一变量对应的概率值 0≤Pi≤1. [跟踪练习] 设 X 是一个离散型随机变量，其分布列为 X 1 2 3 P q2 1－q 5q 2 －1 则 q＝________；P(X≤2)＝________. 解析：由分布列的性质得： 0≤q2≤1，① 0≤1－q≤1，② 0≤5 2q－1≤1，③ q2＋1－q＋ 5 2q－1 ＝1，④ 由①②③，得2 5 ≤q≤4 5. 由④，得 q2＋3 2q－1＝0，即 q－1 2 (q＋2)＝0，解得 q＝1 2 或 q＝－2(舍去)．故 q＝1 2. 由分布列可知 X 的可能取值只有 1,2,3，故 P(X≤2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝q2＋(1－q)＝ 1 2 2＋ 1－1 2 ＝3 4. 答案：1 2 3 4 A 组 考点能力演练 1．袋中有大小相同的 5 个球，分别标有 1,2,3,4,5 五个号码，现在在有放回抽取的条件 下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量 X，则 X 所有可能取值的个数是( ) A．5 B．9 C．10 D．25 解析：X 的所有可能取值为 2,3,4,5,6,7,8,9,10 共 9 个． 答案：B 2．已知随机变量 X 的分布列为 P(X＝i)＝ i 2a(i＝1,2,3,4)，则 P(2