河南省洛阳市汝阳县2021届高三第一学期联考数学试题（文）Word版含解析 8页

1 河南省洛阳市汝阳县 2021 届高三第一学期联考数学试题（文） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知集合 A＝{x|x<4}，B＝{x||x|＝x}，则 A∩B＝ A.(2，4] B.[－1，2) C.[0，4] D.[0，4) 2.已知复数 z＝3＋i，则 z2－z 在复平面内对应的点的坐标为 A.(－5，5) B.(5，－5) C.(5，5) D.(－5.－5) 3.已知数列{an}是等差数列，且 a2＋a3＋a4＝2π，则 a3＝ A. 3  B. 2 3  C.π D. 4 3  4.已知椭圆 C： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为 C 上一点，PF1⊥F1F2，∠PF2F1＝ 6  ， 则椭圆 C 的离心率为 A. 3 3 B. 3 2 C. 2 2 D. 1 2 5.执行如图所示的程序框图，则输出 x 的值为 A.179 B.180 C.181 D.182 6.我国在有效防控疫情的同时积极有序推进复工复产，各旅游景区也逐渐恢复开放。某 4A 景区对重新开放后 的月份 x 与该月游客的日平均人数 y(单位：千人/天)进行了统计分析，得出下表数据： 若 y 与 x 线性相关，且求得其线性回归方程为 y ＝x－2，则表中 t 的值为 A.4.7 B.4.8 C.5 D.无法确定 7.若函数 f(x)＝2x3－25x＋2－m 是定义在 R 上的奇函数，则 f(x)的图像在点(m，f(m))处的切线方程为 A.x＋2y－70＝0 B.x－y＋32＝0 C.2x－y＋30＝0 D.x＋y＋32＝0 8.已知函数 f(x)＝sin( 2  x＋φ)(0<φ< 2  )的图像过点(0， 3 2 )，则 f(x)图像的一个对称中心为 A.( 1 3 ，0) B.(1.0) C.( 4 3 ，0) D，(2，0) 2 9.古希腊时期，人们把宽与长之比为 5 1 2  的矩形称为黄金矩形，把这个比值 5 1 2  称为黄金分割比例，下 图为希腊的一古建筑。其中部分廊、檐、顶的连接点为图中所示相关对应点，图中的矩形 ABCD、EBCF、 FGHC、FGJI、LGJK、MNJK 均近似为黄金矩形，若 A 与 D 间的距离大于 18.7m，C 与 F 间的距离小于 12m， 则该古建筑中 A 与 B 间的距离可能是(参考数据： 5 1 2  ≈0.618，0.6182≈0.38，0.6183≈0.236) A.29m B.29.8m C.30.8m D.32.8m 10.在正项数列{an}中，a1·a2·a3＝8，且 log2an＋1＋ 1 2 1log 2na  ，令 bn＝ 1 log 2 log 2n na a   ，则数列{bn} 的前 2020 项和 S2020＝ A. 2019 2020 B. 2019 2021 C. 2020 2021 D. 2021 2022 11.已知双曲线 T： 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左、右焦点分别为 F1，F2，以 F1F2 为直径的圆与 T 在第一、 三象限内分别交于点 M，N，四边形 F1MF2N 的面积为 60，周长为 34，则双曲线 T 的离心率为 A.13 5 B. 13 7 C.12 5 D. 7 5 12.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)称之为“堑 堵”，如图，三棱柱 ABC－A1B1C1 为一个“堑堵”。底面△ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形且 AB＝5，AC ＝3，点 P 在棱 BB1 上，且 PC⊥PC1，当△APC1 的面积取最小值时，三棱锥 P－ABC 的外接球表面积为 A. 45 2  B. 45 5 2  C.30π D.45π 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 3 13.已知向量 a，b 的夹角为 60°，|a|＝2|b|＝2，则(a＋b)·b＝ 。 14.若实数 x，y 满足约束条件 x y 1 0 x y 1 0 x 2y 4 0            ，则 z＝2x＋3y 的最大值是 。 15.我国的旅游资源丰富，是人们假期旅游的好去处，小五现从大理、黄果树瀑布、阳朔、张家界和青海湖中 任选两处去旅游，则恰好选中青海湖的概率为 。 16.已知函数 f(x)＝ xe ,x 0 lnx ,x 0    ，若关于 x 的方程[f(x)－a]·[f(x)－a－ 1 2 ]＝0 恰有 5 个不相等的实数根，则 实数 a 的取值范围是 。 三、解答題：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共 60 分。 17.(12 分) 为了解决消费者在网购退货过程中和商家由于运费问题产生的纠纷，某保险公司推出退货“运费险”。消费 者在购买商品时可选择是否购买运费险，当购买运费险的消费者退货时，保险公司将按约定对消费者的退货 运费进行赔付，该保险公司随机调查了 100 名消费者，统计数据如下： (1)请将上面列联表补充完整，并求若在农村消费者和城镇消费者中按分层抽样抽取一个容量为 15 的样本时， 农村消费者和城镇消费者各应抽取的人数； (2)是否有 95%的把握认为消费者购买运费险与城镇农村有关? 附： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n＝a＋b＋c＋d。 4 18.(12 分) 在△ABC 中，BC＝3 2 ，点 D 在线段 AB 上。 (1)若∠ADC 为锐角，B＝ 4  ，DC＝DA＝2 3 ，求角 A 的大小； (2)若 3 4 BD AD  ，AC＝5，CD＝3，求线段 AB 的长。 19.(12 分) 如图，多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为菱形，在梯形 ABEF 中，AF//BE，AF⊥AB，AB＝BE＝2AF＝ 2，平面 ABEF⊥平面 ABCD。 (1)证明：BD⊥平面 AFC； (2)若多面体 ABCDEF 的体积为 4 3 3 ，∠ADC 为锐角，求∠ADC 的大小。 20.(12 分) 已知函数 f(x)＝(x－2)ex＋ 1 2 x2－x。 (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)若不等式 af(x)≥( 2 a ＋1)x2－(a＋4)x＋4 对任意 x∈(2，＋∞)恒成立，求实数 a 的取值范围。 5 21.(12 分) 已知 F(1，0)，以线段 FP 为直径的圆恒与 y 轴相切，动点 P 的轨迹记为曲线 T。 (1)求曲线 T 的方程； (2)设直线 l 经过点(2，0)与曲线 T 交于 M，N 两点，问：在 x 轴上是否存在一点 Q，使得直线 QM，QN 的倾 斜角互补?若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。 (二)选考题：共 10 分，请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22.[选修 4－4：坐标系与参数方程](10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 cos sin x r y r      (α为参数，r>0)，以坐标原点 O 为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系。直线 l 的极坐标方程为 2 ρcos(θ＋ 4  )＝4。 (1)分别求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程，并求当直线 l 与圆 C 相切时 r 的值； (2)动点 P，Q 分别在直线 l 与圆 C 上，若 r＝ 2 ，求线段 PQ 长度的最小值。 23.[选修 4－5：不等式选讲](10 分) 设不等式|x－4|＋2|x＋1|≤4x 的解集为 M。 (1)求集合 M； (2)若 a，b∈M，证明：ab－2a≥2b－4。 6 7 8