2020-2021年新高三数学一轮复习考点 指数函数与对数函数 22页

2020-2021 年新高三数学一轮复习考点 指数函数与对数函数 1.最新考试说明： 1.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，会解决与指数函数性质有关的问题. 【2020 年高考全国Ⅲ卷文数 10】设 35 2log2 ,log3 , 3abc ，则 （ ） A． a c b B． abc C．b c a D． c a b 【答案】A 【思路导引】分别将 a，b 改写为 3 3 1 l og 23a  ， 3 5 1 log 33b  ，再利用单调性比较即可． 【解析】因为 3 33 112log2log9333ac ， 3 55 112log3log25333bc ， 所以 a c b，故选：A． 【专家解读】本题考查了数式的大小比较，考查对数函数的单调性，考查转化与回归的思想，考查数学运 算、数学建模等学科素养．解题关键是正确应用对数函数的单调性，寻找合适的中间量． 【2020 年高考全国Ⅰ卷理数 12】若 242log42logabab ，则 （ ） A． 2ab B． 2ab C． 2ab D． 2ab 【答案】B 【思路导引】设 2()2log xfxx  ，利用作差法结合 ()fx的单调性即可得到答案． 【解析】设 ，则 为增函数，∵ 2 2422log42log2logabb abb ， ∴ ()(2)fafb  2 222 log (2 log 2 )abab    22 222 log (2 log 2 )bbbb   2 1log102  ， ∴ ()(2)fafb  ，∴ ． ∴ 2()()fafb  2 2 222log(2log)abab 222 222log(2log)bbbb 22 222logbb b ， 当 1b  时， 2( )()20f af b ，此时 2()()fafb  ，有 ；当 2b  时， 2( )()10f af b   ， 此时 2( ) ( )f a f b ，有 ，∴C、D 错误，故选 B． 【专家解读】本题的特点函数与方程的灵活运用，本题考查了函数与方程，考查函数的单调性，考查数学 运算、数学建模、逻辑推理等学科素养．解题关键是构造函数，应用函数的单调性解决问题． 【2020 年高考全国Ⅱ卷文数 12 理数 11】若 yxyx   3322 ，则 （ ） A．  ln 1 0yx   B．ln( 1) 0yx   C． 0ln  yx D． 0ln  yx 【答案】A 【思路导引】将不等式变为 2 3 2 3xxyy    ，根据   23ttft  的单调性知 xy ，以此去判断各个 选项中真数与 1 的大小关系，进而得到结果． 【解析】由 2 2 3 3xyxy    得： ，令 ， 2 xy  为 R 上的增函数， 3 xy  为 上的减函数，  ft 为 上的增函数， xy ， 0yxQ ， 11yx    ，  ln10yx ，则 A 正确，B 错误； xyQ 与 的大小不确定，故 CD 无法确定，故选 A． 【专家解读】本题的特点是函数单调性的灵活运用，本题考查了转化与化归的数学思想，考查函数的单调 性，考查数式的大小比较，考查数学运算、数学建模等学科素养．解题关键是构造适当的函数，应用函数 的单调性解决问题． 2.理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数；了解对数在简化 运算中的作用． 【2020 年高考全国Ⅲ卷理数 12】已知 544558,138．设 5813log3,log 5,log8abc ，则 （ ） A． abc B． bac C． bca D． cab 【答案】A 【思路导引】由题意可得 a 、b 、  0,1c  ，利用作商法以及基本不等式可得出 、 的大小关系，由 8log 5b  ，得 85b  ，结合 5458 可得出 4 5b  ，由 13log8c  ，得 13 8c  ，结合 4513 8 ，可得出 4 5c  ， 综合可得出 、 、 c 的大小关系． 【解析】解法一：由题意可知 、 、 ，   222 5 2 8 log 3 lg3 lg8 1 lg3 lg8 lg3 lg8 lg 24 1log 5 lg5 lg5 2 2lg5 lg 25lg5 a b                  ， ab；由 ， 得 ，由 ，得 5488b  ， 54b，可得 ；由 ，得 ，由 ，得 4513 13 c ， 54c，可得 ．综上所述， abc．故选 A． 解法二：易知 (0 1)a,b,c , ，由    222 5 5 55 55 8 log 3 log 8 log 24log 3 2log 3 log 8 1log 5 4 4 4 a b        ，知 ab ．∵ 8l o g 5b  ， 13l o g 8c  ，∴ 85b  ， 1 3 8c  ，即 5585b  ， 441 3 8c  又∵ 5458 ， 451 3 8  ， ∴ 445541385813cbb ，即 bc ．综上所述： abc，故选 A． 【专家解读】本题的特点是注重知识的灵活运用，本题考查了数式的大小比较，考查指数函数、对数函数 的单调性，考查基本不等式、考查转化与回归的思想，考查数学运算、数学建模等学科素养．解题关键是 正确应用对数函数的单调性，寻找合适的中间量． 【2020 年高考全国Ⅰ卷文数 8】设 3l o g 4 2a  ，则 4 a  （ ） A． 1 16 B． 1 9 C． 1 8 D． 1 6 【答案】B 【思路导引】首先根据题中所给的式子，结合对数的运算法则，得到 3log 4 2a  ，即 49a  ，进而求得 14 9 a  ，得到结果． 【解析】由 3l o g 4 2a  可得 ，∴ ，∴有 ，故选 B． 【专家解读】本题考查了指数式与对数式的互化，考查幂的运算性质，考查数学运算学科素养．解题关键 是正确进行指数式与对数式的互化． 3.理解对数函数的概念，能解决与对数函数性质有关的问题. 【2020 年高考全国Ⅲ卷文理数 4】Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据 公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数  It （ t 的单位：天）的 Logisic 模型：    0.23531e t KIt   ，其中 K 为最大确诊病例数．当   0.95ItK  时，标志着已初步遏制疫情，则 t  约 为（ l n1 9 3 ） （ ） A． 60 B． 63 C． 66 D． 69 【答案】C 【思路导引】将tt 代入函数    0.23 531 t KIt e  结合   0.95ItK  求得t 即可得解． 【解析】    0.23531 t KIt e  ，∴    0.2353 0.95 1 t KI tK e      ，则  0.23 53 19te    ， ∴  0.23 53 ln19 3t    ，解得 3 53 660.23t    ，故选 C． 【专家解读】本题的特点是注重函数模型的应用，本题考查了对数的运算，考查指数与对数的互化，考查 转化与化归思想，考查数学运算学科素养．解题关键是正确进行指数与对数的互化． 2.命题方向预测： 1.指数函数的概念、图象与性质是近几年高考的热点． 2.通过具体问题考查指数函数的图象与性质，或利用指数函数的图象与性质解决一些实际问题是重点，也 是难点，同时考查分类讨论思想和数形结合思想． 3.高考考查的热点是对数式的运算和对数函数的图象、性质的综合应用，同时考查分类讨论、数形结合、 函数与方程思想． 4.题型以选择题和填空题为主，若与其他知识点交汇，则以解答题的形式出现. 3.课本结论总结： 指数与指数函数 1．分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是 a m n mn a (a>0，m，n∈N*，且 n>1)；正数的负分数指数幂的意义 是 1a m n n ma   (a>0，m，n∈N*，且 n>1)；0 的正分数指数幂等于 0；0 的负分数指数幂没有意义． (2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中 a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指数函数的图象与性质 对数与对数函数 1．对数的概念 如果 ax＝N(a>0 且 a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x＝logaN，其中__a__叫做对数的底数， __N__叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga M N ＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)；④logamMn＝ n m logaM. (2)对数的性质 ①alogaN＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0 且 a≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：logbN＝ a a log N log b (a，b 均大于零且不等于 1)； ②logab＝ 1 blog a ，推广 logab·logbc·logcd＝logad. 3．对数函数的图象与性质 4.名师二级结论： （1）根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式 的化简运算． （2）指数函数的单调性是由底数 a 的大小决定的，因此解题时通常对底数 a 按：0＜a＜1 和 a＞1 进行分类 讨论． （3）换元时注意换元后“新元”的范围． （4）对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化 进行证明． （5）解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围． （6）对数值的大小比较方法 化同底后利用函数的单调性、作差或作商法、利用中间量(0 或 1)、化同真数后利用图象比较． 5.课本经典习题： (1)新课标 A 版第 70 页，B 组第 2 题 指数函数 xby a   的图象如图所示，求二次函数 2y a x b x的顶点的横坐标的取值范围． 【解析】由图可知指数函数 xby a   是减函数，所以 01b a．而二次函数 2yaxbx的顶点的横坐标 为 1 22 bb aa ，所以 1 022 b a ，即二次函数 2yaxbx的顶点的横坐标的取值范围是 1 02  ， ． 【经典理由】有效把指数函数和二次函数相结合 (2)新课标 A 版第 60 页，B 组第 4 题 设 312 12,,xxyaya 其中 0,1.aa且 确定 x 为何值时，有： 12;(1) yy 12(2).yy 【解析】（1）3x+1=-2x 时，得 x=- 1 5 ; (2) 1a  时， xya 单调递增，由于 12yy ，得 3x+1>-2x 得 x>- , 01a， 单调递减，由于 ，得 3x+1 -2x 解得 x - ． 【经典理由】根据 a 的取值进行分类讨论 (3)新课标 A 版第 72 页，例 8 比较下列各组数中两个数的大小： o y x 1 （1）log 2 3 . 4 与 log 2 8 . 5； （2）log 0 . 3 1 . 8 与 log 0 . 3 2 . 7； （3）log a 5 . 1 与 log a 5 . 9 ( 0a  且 1a  )． 【解析】（1）∵ y = log 2 x 在 ( 0 , + ∞) 上是增函数且 3 . 4＜8 . 5， ∴ log 2 3 . 4 ＜ log 2 8 . 5 ； （2）∵ y = log 0 . 3 x 在 ( 0 , + ∞)上是减函数且 1 . 8＜2 . 7， ∴log 0 . 3 1 . 8＞log 0 . 3 2 . 7； （3）解：当 1a  时，∵ y = log a x 在( 0 , + ∞) 上是增函数且 5 . 1＜5 . 9， ∴ log a 5 . 1  log a 5 . 9， 当 0＜a＜1 时，∵ y = log a x 在 ( 0 , + ∞) 上是减函数且 5 . 1＜5 . 9， ∴ log a 5 . 1＞log a 5 . 9 ． 【经典理由】以对数函数为载体，考查对数运算和对数函数的图象与性质的应用 6.考点交汇展示： (1)指数（对数）函数与集合交汇 例 1．（ 2020·云南省云南师大附中高三其他（理））已知集合  2{|(1)0},|log (1)Ax x xBxyx ， 则 AB （ ） A． {|1}xx B．{|0}xx C．{| 01}xx D．  【答案】A 【解析】∵集合 {|(1)0}Ax x x ，∴集合  |1Axx  或 0x  ，∵集合 2{ |log (1)}Bx yx ， ∴集合 { | 1}B x x，∴ {|1}ABxx ， 例 2．（2020·黑龙江省哈师大附中高三其他（文））若全集U  R ，集合   | lg 6A x y x   ，  | 21xBx，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A．  2,3 B．  1,0 C．  0,6 D．  ,0 【答案】D 【解析】     |lg66Axyxxx ，    210xBxxx ，阴影部分表示的集合是      U ,0,6,0BAð . (2)指数（对数）函数与不等式交汇 例 3．（ 2020·福建省高三）已知函数 ,0() ln,0 xexfx xx     ，则不等式 1() 2fx 的解集是（ ） A．(,ln2](0,] e B． ( , l n 2 )   C．(0, ]e D．(,ln 2)(0,) e 【答案】A 【解析】当 0x  时，由 得 1 2 xe  ，两边取以 e 为底的对数得： ln2x  ，当 0x  时，由 得 1ln 2x  ，解得 1 20 xee ，综上 或0 xe ， 例 4．（ 2020·上海高三专题练习）函数  log31,(0ayxa 且 1)a  的图象恒过定点 A，若点 A 在直 线 10mxny 上（其中 m，n＞0），则 12 mn 的最小值等于__________. 【答案】8 【解析】  log31,(0ayxa 且 ，令 31x 解得 2x  ，则  log2311ay     即函数过定点 ( 2, 1)A ，又点 A 在直线 上， 21mn ， 则 1 2 2 4 2 4 44 4 2 8m n m n n m n m m n m n m n m n        … ，当且仅当 4nm mn 时，等号成立， (3)指数（对数）函数与函数零点交汇 例 5．（ 2020·辉县市第二高级中学高三）函数 3( ) log sinf x x x在区间[ 2,3] 上零点的个数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】令 f(x)=0,所以 3l og sinxx ，在同一坐标系下作出函数 g(x)= 3 l og x 和 h(x)= sin x 在区间[-2， 3]的图像， 观察图像得两函数在[-2,0]有两个交点，在[0,3]有 4 个交点，所以函数   3logsinfxxx 在区间  2 ,3 上零点的个数为 6. 例 6．（ 2020·河北省高三二模）已知方程 22log0x x 的两根分别为 1x ， 2x ，则（ ） A． 1212xx B． 12 2xx  C． 12 1xx D． 1201xx 【答案】D 【解析】不妨设 12xx ，作出 2 xy  与 2logyx 的图象，如图. 由图可知 1201xx   ，则 1 2 12 1logl2 ogx xx   ， 2 2222logo2 lgx xx ，那么   21 2 1 2 2 2 12log log log 2 2 0xxxxxx      ，则 . (4)指数（对数）函数与数列交汇 例 7．（ 2020·陕西省高三二模）等比数列  na ， 0na  且 5638 54a a a a，则 3132310logloglog aaa  （ ） A． 12 B． 15 C． 8 D． 32 log 5 【答案】B 【解析】由等比数列的性质得 563856 254aaaaaa ，所以 56 27aa  ，所以 1 10 2 9 3 8 4 9 27a a a a a a a a    ，则  5 31323103563loglogloglog5log2715aaaa a ， (5)指数（对数）函数与函数性质交汇 例 8．（ 2020·迁西县第一中学高三）已知定义在 R 上的函数  fx在区间 0, 上单调递增，且  1y f x的图象关于 1x  对称，若实数 a 满足  1 2 log2faf  ，则 的取值范围是（ ） A． 10, 4   B． 1 ,4  C． 1 ,44   D．  4,  【答案】C 【解析】将函数 的图象向左平移 1 个单位长度可得函数  yfx 的图象，由于函数 的图象关于直线 对称，则函数 的图象关于 y 轴对称，即函数 为偶函 数，由 ，得    2log2faf  ， 函数 在区间 上单调递增，则 2log2a  ，得 22 log 2  a ，解得 1 44 a.因此，实数 的取值范围是 . 例 9．（ 2020·天津一中高三）已知定义在 的函数 对任意的 x 满足    2fxfx  ，当 11x   ，   3fxx  ，函数   log , 0 1 ,0 a xx gx xx    ，若函数      h xfxgx在 6 , 上有 6 个 零点，则实数 的取值范围是（ ） A．  10, 7,7   B．  11, 7,997    C．  11, 7,997   D．  1 ,1 1 ,99   【答案】C 【解析】因为函数  y f x 对任意的 x 满足    2f x f x  ，所以  fx周期为 2，因为当 11x   ，   3f x x  ，画出 的图象以及   log,0 1 ,0 a xx gx xx    的图象，因为函数      hxfxgx在  6  , 上有 6 个零点，所以 与  gx在 上要有且仅有 6 个交点，由图像可得，在 y 轴左 侧有 2 个交点，只要在 轴右侧有且仅有 4 个交点，则 l og 7 1 l og 9 1 a a    ，即有 170 7 1191 9 aa aa     或 或 ，所以 79a或 11 97a .故选：C. (6)指数（对数）函数与充分必要条件交汇 例 10．（ 2020·浙江省高三其他）已知 0a  ， 0b  ，则“lnln0ab”是“  ln0ab”的（ ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为 lnlnln0abab ，所以 1ab  ， ， ，显然 ,ab中至少有一个大于 1，如果都 小于等于 1，根据不等式的性质可知：乘积也小于等于 1，与乘积大于 1 不符.由ln( ) 0ab，可得 1ab， 与1的关系不确定，由 可以推出 ，但是由 推不出ln +ln 0ab ， 可以举特例：如 2 3ab ，符合 1ab，但是不符合 1ab  ，因此“ l n l n 0ab”是“ l n ( ) 0ab” 的充分不必要条件， 【考点分类】 热点 1 指数函数、对数函数 1．（ 2020·山东省高三二模）若 l o g 0a b  （ 0a  且 1a  ）， 2 21bb  ，则（ ） A． 1a  ， 1b  B． 01a， C． ， 01b D． ， 【答案】B 【解析】因为 ，所以 2 0bb ，因为 0b  ，所以 ，因为 ， ， 所以 ，故选：B 2.（2020·哈尔滨市第一中学校高三一模）已知  1fx 是定义在 R 上的奇函数，  22f  ，且对任意 1 1x  ， 2 1x  ， 12xx ，    12 12 fxfx xx   0 恒成立，则使不等式  22log2fx成立的 x 的取值范 围是（ ） A．  0 ,1 B．  0 ,2 C．  4,  D．  1,4 【答案】D 【解析】因为函数 的图象是由函数  fx的图象向左平移 1 个单位长度得到， 是定义在 上的奇函数，所以函数 的图象的对称中心为点 1,0 ，因为对任意 ， ， ， 恒成立，所以函数 在  ,1 上单调递减，所以函数 在 上单调递减， 因为 ，所以    022ff  ，又 ，所以  222log2fx 即      22 2 log 0f f x f   ，所以 202log2 x 即 20log2 x，所以14x，所以使不等式 成立的 的取值范围是 . 3．（ 2020·黑龙江省哈尔滨三中高三）中国的 5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公 式： 2log 1 SCW N  .它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道 内信号的平均功率 S ，信道内部的高斯噪声功率 N 的大小，其中 S N 叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式 中真数中的 1 可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽 W ，而将信噪比 从 1000 提升至 4000，则 C 大 约增加了（ ）附： l g2 0 . 3 0 1 0 A．10% B．20% C．50% D．100% 【答案】B 【解析】当 1000S N  时， 2l o g 1 0 0 0CW ，当 4000S N  时， 2l o g 0 0 04CW 因为 2 2 log4000 lg 400032lg 23.6020 1.2log1000lg100033  ，所以将信噪比 从 1000 提升至 4000，则 大约 增加了 20%，故选：B 4．（ 2020·江西省高三三模）如图所示，正方形 A B C D 的四个顶点在函数 1 l o g ayx ， 2 2l o g ayx ， 3 log3(1)ayxa 的图像上，则 a  ________. 【答案】2 【解析】由图象变换可知，点 A 在函数 图像上，点 ,BD在函数 图像上，点 在函 数 的图像上，则设  11,2logaB x x ，  11,log 3aC x x  ，  22,logaAxx ，  22,2logaDxx ，则 21log 2logaaxx ， 2 21xx，又 212log log 3aaxx， 2 112log log 3aaxx， 整理得 1log 1a x  ，即 1xa ， 2 2xa ， ABCD 为正方形，  2 11log 3 2logaaa a x x     即 2 2aa，解得 2a  ， 1a  （舍） 【方法规律】 1.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次 要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断， 最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决． 2.对数式的化简与求值的常用思路(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使 幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并． (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、 商、幂再运算. 3．比较对数值大小时若底数相同，构造相应的对数函数，利用单调性求解；若底数不同，可以找中间量， 也可以用换底公式化成同底的对数再比较． 4．利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，一 是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与 1 的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由 哪些基本初等函数复合而成的． 【解题技巧】 1.图像题要注意根据图像的单调性和特殊点判断 2.指数形式的几个数字比大小要注意构造相应的指数函数和幂函数 3．判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令 x＝1 得到底数的值再进行比较． 4．指数函数 y＝ax (a>0，a≠1)的性质和 a 的取值有关，一定要分清 a>1 与 00 的解集为________． 【答案】{x|2＜x＜3} 【解析】∵函数 y＝lg(x2－2x＋3)有最小值，f(x)＝alg(x2－2x＋3)有最大值，∴0＜a＜1. ∴由 loga(x2－5x＋7)>0，得 0＜x2－5x＋7＜1，解得 2＜x＜3. ∴不等式 loga(x2－5x＋7)>0 的解集为{x|2＜x＜3}． 【易错点】指数函数和对数函数中注意讨论底数 a 的大小，复合函数的单调性往往也和 a 的取值有关 【热点预测】 1. 函数    2 1 2 log4fxx 的单调递增区间为( ) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2) 【答案】Ｄ 【解析】首先由 2,,2042  xorxx 得函数的定义域为(－∞，－ 2)  (2，＋ ∞)；再令 42  xu ， 则 uy 2 1log 在（０，＋∞）是减函数，又因为 在(－∞，－2)上是减函数；由复合函数的单调 性可知：函数 的单调递增区间为(－∞，－2)；故选Ｄ． 2．（ 2020·山西省高三）已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数 a 满足    21 2 loglog21fafaf   ，则 a 的取值范围是（ ） A． 1 22   ， B．[1，2] C． 10 2   ， D．（0，2] 【答案】A 【解析】因为函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，所以 1 2 2 2 (log ) ( log ) (log )f a f a f a   ， 则 为 2(log)(1)faf  ，因为函数 f（x）在区间[0，+∞）上单调递增， 所以|log2a|≤1，解得 1 2  a≤2，则 a 的取值范围是[ 1 2 ，2]， 3．（ 2020·陕西省西安中学高三）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中普 通物质的原子总数 N 约为 1080.则下列各数中与 M N 最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A．1033 B．1053 C．1073 D．1093 【答案】D 【解析】设 361 80 3 10 M xN  ，两边取对数， 361 36180 80 3lglglg3lg10361lg38093.2810x  ，所以 9 3 . 2 810x  ，即 M N 最接近 9310 ，故选 D. 4．（ 2020·山东省临沂第一中学高三）若 2 1 3 log(35)yxax 在 1,  上单调递减，则 a 的取值范围是 （ ）. A． ( , 6 )   B． ( 6 ,0) C． ( 8 , 6 ] D．  8 , 6 【答案】C 【解析】由题意得 21, 3 5 06 a x ax且     在  1,  上恒成立，所以3508aa 即 86a    ，选 C. 5.设函数 3 2()log xfxa x 在区间 (1, 2) 内有零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A． 3(1,log2) B． 3(0,log2) C． 3(log2,1) D． 3(1,log4) 【答案】C 【解析】∵单调函数 在区间（1，2）内有零点，∴f（1）•f（2）＜0 又 aafaaf  2log2 22log)2(,11 21log)1( 333 ，则 0)2(log)1( 3  aa 解得 12log3 a ，故选 C． 6.【2017天津，理 6】已知奇函数 ()fx在 R 上是增函数， ()()gxxfx .若 2(log5.1)ag ， 0.8(2)bg ， (3)cg ， 则 a，b，c 的大小关系为 （A） abc （B） cba （C） bac （D） bca 【答案】 C 【解析】因为 ()fx是奇函数且在 R 上是增函数，所以在 0x  时， ()0fx ，从而 ()()gxxfx 是 R 上 的偶函数，且在[0,) 上是增函数， 22( log 5.1) (log 5.1)a g g   ， 0.822 ，又 45.18，则 22 log 5.1 3，所以即 0.8 202log 5.13 ， 0.8 2(2 ) (log 5.1) (3)g g g，所以bac，故选 C． 7．（ 2020·吉林省松原市实验高级中学高三）已知实数 ,,abc分别满足 2a a ， 0.5log bb ， 2log cc ， 那么（ ） A． abc B． a c b C． b c a D． c b a 【答案】A 【解析】 a 是方程 2 x x 的根，即函数   2 xfx 与 yx 的交点，画出图像，如图所示： 从图像中可以看出： 0a  . b 是方程 0.5l o g xx 的根，即函数   0.5l ogg x x  与 yx 的交点，画出图像， 如图所示： 由图像可知：01b. c 是方程 2log xx 的根，即函数   2logmxx  与  h x x 的交点，所以 0c  . 因为  0,1x  时，   0mx  ， ( ) 0hx  ，此时这两个函数没交点；  1,2x  时，  01mx，而 1()2hx，此时这两个函数没有交点；所以 2c .其实 4, 16xx都是两个函数的交点. 综上： 20cba . 8．（ 2020·重庆高三）定义在 R 上的奇函数  fx满足： 33 44f x f x            ，且当 30, 4x  时，   2log ( 1)f x x m   ，若   2100log3f  ，则实数 m 的值为（ ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】B 【解析】由 为奇函数知 33 44f x f x             ，∴ 33 44f x f x             ，即  3 2fxfx ，∴    33 2fxfxfx   ，∴  fx是周期为 3 的周期函数， 故     2 131001log 22fffm   ，即 22 3loglog32 m ，∴ 1m  . 9．（ 2020·天津一中高三月考）已知奇函数 在 R 上是增函数，若 2 1l og 5af  ，  2l og 4.1bf ，  0.82cf ，则 ,,abc的大小关系为( ) A． abc B． bac C． c b a D． c a b 【答案】C 【解析】由题意：  22 1loglog55aff  ，且 0.8 22log5log4.12,122 ，据此 0.8 22log5log4.12，结合函数的单调性有      0.8 22log5log4.12fff ，即 ,abccba . 10．（ 2020·福建省厦门一中高三）已知 1ab， 01c，下列不等式成立的是（ ） A． abcc B． ac bc C．loglogcbac D． ccbaab 【答案】D 【解析】由题意，对于 A 中，由 ， 知， abcc ，故本选项错误． 对于 B 中，由 ， 知，ac bc ，故本选项错误． 对于 C 中，由 ， 知， 1log log = logccc b ab，无 法判断logc a 与 log b c 的大小，故本选项错误． 对于 D 中，由 ， 知， -1 1ccab ，则 11ccabaabb ，即 ccbaab＜ ．故本选项正确． 11．（ 2020·吉林省高三）若 24loglog1xy，则 2xy 的最小值为（ ） A． 2 B． 23 C． 4 D． 22 【答案】C 【解析】因为  22 24 444logloglogloglog1xyxyx y ，所以 2 4( 0, 0)x y x y   ， 则 2224x y x y… ，当且仅当 2 2xy时，等号成立，故 的最小值为 4. 12．（ 2020·巩义市教育科研培训中心高三）设 a 、 b 、 c 依次表示函数   1 2 1f x x x    ，   1 2 log 1g x x x   ，   1 12 x hxx  的零点，则 、 、 的大小关系为（ ）． A． abc B．c b a C． a c b D．b c a 【答案】D 【解析】依题意可得， 1 2 1 2 1,log,() 2 xyxyxy 的图象与 1yx的图象交点的横坐标为 ,,abc， 作出图象如图： 由图象可知， ， 13．（ 2020·全国高三月考）已知函数   1()2 xafx  关于 1x  对称,则    220fxf  的解集为_____. 【答案】  1,2 【解析】∵函数 关于 对称,∴   111, 2 x a f x  ,则由     12 2 0 2f x f   , 结合图象可得 0222x ,求得12x, 14.设函数 , ,求 的最大值___________. 【答案】12 【解析】设 ，∵ ，∴−2⩽t⩽2，则函数 f(x) 等价为 g(t)=(t+2)(1+t)= +3t+2= − ，∴g(t)在[−2,− )单调递减,在[− ,2]上单调递增， ∴当 时,g(t)取得最小值,最小值为− ,即 =− 时,即 x= 时,f(x)的最小值为− 当 t=2 时,g(t)取得最大值,最大值为 g(2)=12,即 =2 时,即 x=4 时,f(x)的最大值为 12. 15.已知函数    1,01 12log   aax mxmxf a 是奇函数，则函数  xfy  的定义域为 【答案】 ( 1,1) 【解析】 本题定义域不确定，不要用奇函数的必要条件 (0 ) 0f  来求参数 m ，而就根据奇函数的定义有 ( ) ( ) 0f x f x    ，即 2121loglog0 11aa mmxmmx xx   ，化简得 22(1)4(1)mxmm 恒成立， 所以 1m  ，则 1()log 1a xfx x   .由 1 01 x x   ，解得 11x   . 16．（ 2020·上海高三专题练习）设函数 1 2 2,1,() 1log,1, x xfx xx     则满足 ()2fx 的 x 的取值范围是 _______________. 【答案】 [0 , ) 【解析】 1x  时， 1()22 xfx ， 11x， 0x  ，∴01x， 1x  时， 2()1log2fxx  ， 2log 1x  ， 1 2x  ，所以 ，综上，原不等式的解集为 ． 17．（ 2020·天津耀华中学高三二模）若 1ba且3log6log11abba，则 3 2 1a b  的最小值为 ______________ 【答案】 221  【解析】因为 1ba，所以log 1a b  ；因为3log 6log 11abba，所以 623log 11,log 3 log ( )log 3a a a a b b bb   或 舍 ，即 3ba 因此 3 2 1a b  2 2 21 1 2 ( 1) 1 2 2 11 1 1b b bb b b              。当且仅当 21b  时取等号 18．（ 2020·迁西县第一中学高三）已知 2()f x x  ， 1( ) ( ) 2 xg x m ，若对 1 [ 1,3 ]x   ， 2 [ 0 ,2 ]x ， 12( ) ( )f x g x  ，则实数 m 的取值范围是 . 【答案】 1[ , )4  【解析】因为对 ， ， ，所以只需 min min( ) ( )f x g x 即可，因为 ， ，所以  min()00fxf ，  min 1()2 4gxgm  ，由 110,44mm   19．（ 2020·上海高三二模）已知函数 1()logsin11 xfxx x   ，若 ( ) 4fm ，则 ()fm__________ 【答案】 2 【解析】令 1( ) log sin1 xg x xx  ，则  ( ) 1f x g x ，    11()logsinlogsin11 xxgxxxgx xx    ， ()gx 为奇函数，又 ，  ()13gmfm ，  ()3gmgm ，  ()12fmgm . 20．（ 2020·上海高三专题练习）对于函数 ()fx定义域中的任意 1x ，  212xxx  ，有如下结论：（1）      1212fxxfxfx ；（ 2）      1212fxxfxfx ；（ 3）    12 12 0fxfx xx   ；（ 4）    1212 22 f x f xxxf  ．当 ()lgfxx  时，上述结论中正确结论的序号是________． 【答案】(2)(3)(4) 【解析】当 时，对(1), 1212()lg()fxxxx ，而 1212()()lglgfxfxxx ，故 2 121 ())() (fxx xxff ，故(1)错误；对(2), 12121 21 2()()lglglg()()f xf xxxx xf x x ，故(2) 正确；对(3)，因为函数 是(0,) 上的增函数，所以 12 12 ()() 0fxfx xx   ，故(3)正确； 对(4)， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 12 ( ) ( ) lg lglg lg2 2 2 2 2 x x f x f x x x x x x xf xx         ， 因为 2 121 21212 2()0()x xx xxxxx  ，所以 121 2 2xxx x ，所以 12 12 1 2 xx xx   ，所以 12 12 l g 0 2 xx xx   ，所以 1212 ()() 022 xxfxfxf  ，所以    1212 22 fxfxxxf  ，故(4)正确.