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- 2021-06-16 发布
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第05节 数系的扩充和复数的引入
【考纲解读】
考 点
考纲内容
5年统计
分析预测
数系的扩充和复数的引入
1.理解复数的定义、复数的模和复数相等的概念.
2.了解复数的加、减运算的几何意义.
3.掌握复数代数形式的四则运算.
2013•浙江文2,理1;
2014•浙江文11;理2;
2017•浙江12.
1.以考查复数的运算(特别是乘法)为主,基本稳定为选择题或填空题,为容易题;
2.从各地高考命题看,考查复数的运算、概念相结合,复数的运算与复数的几何意义相结合,命题比较灵活,题型稳定,均为容易题.
3.备考重点:
理解有关概念是基础,掌握复数代数的四则运算法则是关键,熟、快、准是得分的保障.
【知识清单】
1.复数的有关概念及性质
1.虚数单位为i,规定:i2=-1,且实数与它进行四则运算时,原有的加法、乘法的运算律仍然成立.
2.复数的概念
形如:a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中a叫做复数的实部,b叫做复数的虚部.
①当b=0时,复数a+bi为实数;
②当b≠0时,复数a+bi为虚数;
③当a=0且b≠0时,复数a+bi为纯虚数.
3.复数相等的充要条件
a+bi=c+di(a,b,c,d∈R)⇔ a=c且b=d,特别地,a+bi=0⇔ a=b=0.
4.共轭复数:一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数,复数z的共轭复数记作.
5. 复数的模
向量的模r叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或.即==r=(r≥0,r∈R).
对点练习:
【2017浙江台州4月一模】已知复数的实部为1,则_________,__________.
【答案】 1
【解析】 ,实部 ,所以 , .
2.复数的几何意义
1.z=a+bi(a,b∈R)与复平面上的点Z(a,b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点).
2.复平面内,实轴上的点都表示实数;虚轴上的点除原点外都表示纯虚数.
对点练习:
【2016高考新课标2理数】已知在复平面内对应的点在第四象限,则实数的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
3.复数的四则运算
1.复数的加、减、乘、除的运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
(1)z1±z2=(a±c)+(b±d)i;
(2)z1·z2=(ac-bd)+(ad+bc)i;
(3)=+i (z2≠0).
2. .
对点练习:
【2017浙江,12】已知a,b∈R,(i是虚数单位)则 ,ab= .
【答案】5,2
【解析】由题意可得,则,解得,则
【考点深度剖析】
从近几年高考命题看,复数往往有一道选择题或填空题,属于容易题.主要考查的方向有两个,一是复数的概念及运算,如复数的实部、虚部、纯虚数、复数的相等、共轭复数等概念以及复数的运算;二是复数的几何意义及其应用,如复数对应的点的位置(坐标),复数与方程的综合问题等.偶有与其它知识综合的简单题,以考查复数的运算居多.
【重点难点突破】
考点1 复数的有关概念及性质
【1-1】下列命题中:
(1)在复数集中,任意两个数都不能比较大小;
(2)若z=m+ni(m,n∈C),则当且仅当m=0,n≠0时,z为纯虚数;
(3)若(z1-z2)2+(z2-z3)2=0,则z1=z2=z3;
(4)x+yi=1+i⇔x=y=1;
(5)若实数a与ai对应,则实数集与纯虚数集一一对应.
其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】A
【解析】
(4)只有当x,y∈R时命题才正确.
(5)若a=0,则0·i=0不是纯虚数.故选A.
【1-2】(1)i是虚数单位,若复数a-(a∈R)是纯虚数,则a的值为( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
(2)若=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位),则a+b=________.
【答案】(1)D;(2)3.
【解析】(1)复数a-=a-=(a-3)-i为纯虚数,∴a-3=0,∴a=3.故选D.
(2)由已知得3+bi=(1-i)(a+bi)=(a+b)+(b-a)i,根据复数相等的定义可得 ∴a+b=3.故填3.
【领悟技法】
(1)中的负号易忽略.
(2)对于复数m+ni,如果m,n∈C(或没有明确界定m,n∈R),则不可想当然地判定m,n∈R.
(3)对于a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件,只注意了a=0而漏掉了b≠0.
【触类旁通】
【变式一】【2017浙江嘉兴测试】已知复数(是虚数单位)是纯虚数,则实数( )
A.-2 B.-1 C.0 D.2
【答案】A
【变式二】已知为虚数单位,,若为纯虚数,则复数的模等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设,则,故,解之得,则,故,应选B.
考点2 复数的几何意义
【2-1】【2017浙江模拟】当时,复数在平面上对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】0,m-1<0,点在第四象限.
【2-2】已知A,B是锐角三角形的两内角,则复数(sinA-cosB)+(sinB-cosA)i在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【答案】A
即sinA-cosB>0.同理可得,sinB-cosA>0.故选A.
【领悟技法】
复数的几何意义
(1) (其中a,b∈R).
(2)表示复数z对应的点与原点的距离.
(3)表示两点的距离,即表示复数z1与z2对应的点的距离.
【触类旁通】
【变式一】已知为虚数单位,在复平面内,复数对应的点所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】D
【解析】,在第四象限.
【变式二】复数(其中为虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】A
【解析】因,故在第一象限,应选A.
考点3 复数的代数运算
【3-1】复数的实部与虚部之和为( )
A.-3 B.4
C.3 D.-11
【答案】D
【解析】
【3-2】【2017浙江嘉兴、杭州、宁波等五校联考】若复数满足,其中为虚数单位,则=( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设,所以 ,所以 ,所以选B.
【领悟技法】
复数的加、减法运算中,可以从形式上理解为关于虚数单位“”的多项式合并同类项,复数的乘法与多项式的乘法相类似,只是在结果中把换成-1.复数除法可类比实数运算的分母有理化.复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解.
【触类旁通】
【变式一】【2017浙江高考模拟】已知复数,其中为虚数单位,则 ( )
A. B. C. D.2
【答案】C.
【解析】由题意得,,∴,故选C.
【变式二】【2016高考新课标3理数】若,则( )
(A)1 (B) -1 (C) (D)
【答案】C
【易错试题常警惕】
易错典例:已知复数(为虚数单位),则复数的共轭复数的虚部为( )
A. B. C. D.
易错分析:(Ⅰ)共轭复数的概念不清;(Ⅱ)分式中分母实数化过程中,分子分母同乘分母的共轭复数出错.
正确解析:,所以,虚部为,选D.
温馨提醒:
1.在进行复数的运算时,不能把实数集的运算法则和性质照搬到复数集中来,如下面的结论,当z∈C时,不是总成立的:(1)(zm)n=zmn(m,n为分数);(2)若zm=zn,则m=n(z≠1);(3)若z+z=0,则z1=z2=0.
2.注意利用共轭复数的性质,将转化为,即复数的模的运算,常能使解题简捷.
【学科素养提升之思想方法篇】
数形结合百般好,隔裂分家万事休——数形结合思想
我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好,隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为,数形结合,主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的.
向量的几何表示,三角形、平行四边形法则,使向量具备形的特征,而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征,因此,向量融数与形于一身,具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此,在应用向量解决问题或解答向量问题时,要注意恰当地运用数形结合思想,将复杂问题简单化、将抽象问题具体化,达到事半功倍的效果.
【典例】2017“超级全能生”浙江3月联考】在复平面内,复数对应的向量为,复数对应的向量为,那么向量对应的复数为( )
A. B. C. D.
【答案】D