2020-2021年新高三数学一轮复习考点：一元二次不等式及其解法 12页

2020-2021 年新高三数学一轮复习考点：一元二次不等式及其解法 本部分常与不等式的基本性质、集合、函数的性质、数列、函数与导数等知识融合考查，多以选择题或 填空题的形式考查，考查频率比较高，难度较小。 考试要求 1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的 关系； 2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数 求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集； 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 一、一元二次不等式的解法； 二、一元二次方程与一元二次不等式； 三、一元二次不等式恒成立问题。 四、一元二次不等式的应用 【易错警示】 1.当 Δ<0 时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为 R 还是∅，要注意区别. 2.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论. 一元二次不等式的解法 1.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为 2 的整式不等式叫作一元二次不等式. 2.三个“二次”间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根 x1， x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝ x2＝－ b 2a 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x＞x2 或x＜x1}       x|x≠－ b 2a R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 【知识拓展】 1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把 a＜0 的情况转化为 a＞0 时 的情形. 2.在解决不等式 ax2＋bx＋c>0(或≥0)对于一切 x∈R 恒成立问题时，当二次项系数含有字母 时，需要对二次项系数 a 进行讨论，并研究当 a＝0 时是否满足题意. 1.解一元二次不等式的一般方法 和步骤 (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式. (2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为 R 或∅). (3)求：求出对应的一元二次方程的根. (4)写：利用“大于零取两边，小于零取中间”写出不等式的解集. 2.含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论： (1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行讨 论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论； (2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的 情形，以便确定解集的形式； (3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集. 【典例】 角度 1 不含参数的不等式 【例 1－1】 求不等式－2x2＋x＋3<0 的解集. 解 化－2x2＋x＋3<0 为 2x2－x－3>0， 解方程 2x2－x－3＝0，得 x1＝－1，x2＝3 2， ∴不等式 2x2－x－3>0 的解集为(－∞，－1)∪ 3 2，＋∞ ， 即原不等式的解集为(－∞，－1)∪ 3 2，＋∞ . 角度 2 含参数的不等式 命题点 1 通过判别式分类讨论 【例 1－2】 解关于 x 的不等式 kx2－2x＋k<0(k∈R). 解 ①当 k＝0 时，不等式的解为 x>0. ②当 k>0 时，若 Δ＝4－4k2>0，即 00，即－11－ 1－k2 k ， 若 Δ<0，即 k<－1 时，不等式的解集为 R； 若 Δ＝0，即 k＝－1 时，不等式的解为 x≠－1， 综上所述，k≥1 时，不等式的解集为∅； 00}； 当－11－ 1－k2 k ； k＝－1 时，不等式的解集为{x|x≠－1}； k<－1 时，不等式的解集为 R. 命题点 2 通过根的大小分类讨论 【例 1－3】 解关于 x 的不等式 ax2－2≥2x－ax(a∈R). 解 原不等式可化为 ax2＋(a－2)x－2≥0. ①当 a＝0 时，原不等式化为 x＋1≤0，解得 x≤－1. ②当 a＞0 时，原不等式化为 x－2 a (x＋1)≥0， 解得 x≥2 a或 x≤－1. ③当 a＜0 时，原不等式化为 x－2 a (x＋1)≤0. 当2 a＞－1，即 a＜－2 时，解得－1≤x≤2 a； 当2 a＝－1，即 a＝－2 时，解得 x＝－1 满足题意； 当2 a＜－1，即－20 或(x－a)(x－b)<0 型不等式的解集 不等式 解集 ab (x－a)·(x－b)>0 {x|xb} {x|x≠a} {x|xa} (x－a)·(x－b)<0 {x|a0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0). (2)f(x) g(x)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且 g(x)≠0. 【知识拓展】1.一元二次方程根的分布问题： 方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ>0)有不相等的两根为 x1，x2，且 x10，x2>0) 一正根一负根 即一个根小于 0，一个根大于 0(x1<00) 得出的结论   Δ>0， － b 2a<0， f 0>0   Δ>0， － b 2a>0， f 0>0 f (0)<0 大致图象(a<0) 得出的结论   Δ>0， － b 2a<0， f 0<0   Δ>0， － b 2a>0， f 0<0 f (0)>0 综合结论(不讨 论 a)   Δ>0， － b 2a<0， a·f 0>0   Δ>0， － b 2a>0， a·f 0>0 a·f (0)<0 表二：(两根与 k 的大小比较) 分布情况 两根都小于 k 即 x1k，x2>k 一个根小于 k，一个根 大于 k 即 x10) 得出的结论   Δ>0， － b 2a0   Δ>0， － b 2a>k， f k>0 f (k)<0 大致图象(a<0) 得出的结论   Δ>0， － b 2a0， － b 2a>k， f k<0 f (k)>0 综合结论(不讨 论 a)   Δ>0， － b 2a0   Δ>0， － b 2a>k， a·f k>0 a·f (k)<0 表三：(根在区间上的分布) 分布情况 两根都在(m，n)内 两根有且仅有一根在(m， n)内(图象有两种情况，只 画了一种) 一根在(m，n)内，另 一根在(p，q)内， m0) 得出的结 论   Δ>0， f m>0， f n>0， m<－ b 2a0， f n<0， f p<0， f q>0 或   f mf n<0， f pf q<0 大致图象 (a<0) 得出的结 论   Δ>0， f m<0， f n<0， m<－ b 2a0， f p>0， f q<0 或   f mf n<0， f pf q<0 综合结论 (不讨论 a)   Δ>0， f m·f n>0， m<－ b 2an，(图形分别如下) 需满足的条件是 (1)a>0 时，   f m<0， f n<0； (2)a<0 时，   f m>0， f n>0. 对以上的根的分布表中，两根有且仅有一根在(m，n)内有以下特殊情况： (ⅰ)若 f (m)＝0 或 f (n)＝0，则此时 f (m)·f (n)<0 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为 m 或 n，可 以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m，n)内，从而可以求出参数的值．如方程 mx2－(m＋2)x＋ 2＝0 在区间(1,3)上有一根，因为 f (1)＝0，所以 mx2－(m＋2)x＋2＝(x－1)(mx－2)，另一根为2 m，由 1<2 m<3 得2 3a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|0)的解集为(－a，a). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间. 2.解不等式 ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当 a＝0 时的情形. 3.不等式 ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式 ax2＋bx＋c>0 对任意实数 x 恒成立⇔a＝b＝0， c>0 或 a>0， Δ<0. (2)不等式 ax2＋bx＋c<0 对任意实数 x 恒成立⇔a＝b＝0， c<0 或 a<0， Δ<0. 【典例】 【例 2】 已知不等式 ax2－bx－1>0 的解集是{x|－1 2