【数学】2018届一轮复习人教A版第五章第1讲数列的概念与简单表示法学案 10页

知识点 考纲下载 数列的概念和简单表示法 ‎1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．‎ ‎2．了解数列是自变量为正整数的一类函数．‎ 等差数列 ‎1.理解等差数列的概念．‎ ‎2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．‎ ‎3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．‎ ‎4．了解等差数列与一次函数的关系．‎ 等比数列 ‎1.理解等比数列的概念．‎ ‎2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．‎ ‎3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．‎ ‎4．了解等比数列与指数函数的关系．‎ 第1讲　数列的概念与简单表示法 ‎,　　　　　　 　　[学生用书P95])‎ ‎1．数列的定义、分类与通项公式 ‎(1)数列的定义 ‎①数列：按照一定顺序排列的一列数．‎ ‎②数列的项：数列中的每一个数．‎ ‎(2)数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 递增数列 an＋1>an 其中，n∈N*‎ 项与项间的 递减数列 an＋11)，则a2 017＝__________，|an＋an＋1|＝__________(n>1)．‎ ‎[解析] 由a1＝1，an＝a－1，得 a2＝a－1＝12－1＝0，a3＝a－1＝02－1＝－1，‎ a4＝a－1＝(－1)2－1＝0，a5＝a－1＝02－1＝－1，‎ 由此可猜想当n>1时，n为奇数时an＝－1，n为偶数时an＝0，所以a2 017＝－1，|an＋an＋1|＝1.‎ ‎[答案] －1　1‎ ‎5．若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝________．‎ ‎[解析] 由Sn＝an＋，得当n≥2时，Sn－1＝an－1＋，两式相减，得an＝an－an－1，‎ 所以当n≥2时，an＝－2an－1.‎ 又n＝1时，S1＝a1＝a1＋，a1＝1，‎ 所以an＝(－2)n－1.‎ ‎[答案] (－2)n－1‎ ‎　由an与Sn的关系求通项公式an(高频考点)[学生用书P96]‎ an与Sn关系的应用是高考的常考内容，且多出现在选择题或填空题中，有时也出现在解答题的已知条件中，属容易题．‎ 高考对an与Sn关系的考查主要有以下两个命题角度：‎ ‎(1)利用an与Sn的关系求通项公式an；‎ ‎(2)利用an与Sn的关系求Sn.‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝(　　)‎ A．2n－1　　　　　　　　 B． C． D． ‎(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式为________．‎ ‎【解析】　(1)由已知Sn＝2an＋1，得Sn＝2(Sn＋1－Sn)，即2Sn＋1＝3Sn，＝，而S1＝a1＝1，所以Sn＝.‎ ‎(2)当n＝1时，a1＝S1＝－1；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－(2n－1－3)＝2n－2n－1＝2n－1，a1不适合此等式．所以an＝ ‎【答案】　(1)B　(2)an＝ 已知Sn求an的三个步骤 ‎(1)先利用a1＝S1求出a1.‎ ‎(2)用n－1(n≥2)替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．‎ ‎(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．　 ‎ ‎[题点通关]‎ ‎ 角度一　利用an与Sn的关系求通项公式an ‎1．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为(　　)‎ A．an＝2n－3 B．an＝2n＋3‎ C．an＝ D．an＝ ‎　C　[解析] 当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，由于n＝1时a1的值不适合n≥2的解析式，故通项公式为C.‎ ‎ 角度二　利用an与Sn的关系求Sn ‎2．(2015·高考全国卷Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________．‎ ‎[解析] 因为 an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，‎ 所以 Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.‎ 因为 Sn≠0，所以 －＝1，即－＝－1.‎ 又＝－1，所以 {}是首项为－1，公差为－1的等差数列．‎ 所以 ＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，所以 Sn＝－.‎ ‎[答案] － ‎　由数列的递推关系求通项公式[学生用书P97]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　分别求出满足下列条件的数列的通项公式．‎ ‎(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；‎ ‎(2)a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)．‎ ‎【解】　(1)an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝0＋1＋3＋…＋(2n－5)＋(2n－3)＝(n－1)2，‎ 所以数列的通项公式为an＝(n－1)2.‎ ‎(2)当n≥2，n∈N*时，‎ an＝a1×××…× ‎＝1×××…×××＝n，‎ 当n＝1时，也符合上式，‎ 所以该数列的通项公式为an＝n.‎ ‎　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋，求an.‎ ‎[解] an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝＋＋…＋＋＋2＝3－.‎ ‎2．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2nan，求an.‎ ‎[解] 由于＝2n，‎ 故＝21，＝22，…，＝2n－1，‎ 将这n－1个等式叠乘，‎ 得＝21＋2＋…＋(n－1)＝2，故an＝2.‎ ‎　数列的性质[学生用书P97]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ>0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n 都成立．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设a1>0，λ＝100.当n为何值时，数列的前n项和最大？‎ ‎【解】　(1)取n＝1，得λa＝2S1＝2a1，a1(λa1－2)＝0.‎ 若a1＝0，则Sn＝0，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝0－0＝0，‎ 所以an＝0.‎ 若a1≠0，则a1＝，当n≥2时，2an＝＋Sn，2an－1＝＋Sn－1，‎ 两式相减得2an－2an－1＝an，‎ 所以an＝2an－1(n≥2)，‎ 从而数列{an}是等比数列，‎ 所以an＝a1·2n－1＝·2n－1＝.‎ 综上，当a1＝0时，an＝0；‎ 当a1≠0时，an＝.‎ ‎(2)当a1>0且λ＝100时，‎ 令bn＝lg，‎ 由(1)知bn＝lg＝2－nlg 2.‎ 所以数列{bn}是单调递减的等差数列(公差为－lg 2)．‎ b1>b2>…>b6＝lg＝lg>lg 1＝0，‎ 当n≥7时，bn≤b7＝lg＝lg0⇔数列{an}是单调递增数列；an＋1－an<0⇔数列{an}是单调递减数列；an＋1－an＝0⇔数列{an}是常数列．‎ ‎②作商比较法：‎ ‎〈1〉当an>0时，>1⇔数列{an}是单调递增数列；<1⇔数列{an}是单调递减数列；＝1⇔数列{an}是常数列．‎ ‎〈2〉当an<0时，>1⇔数列{an}是单调递减数列；<1⇔数列{an}是单调递增数列；＝1⇔数列{an}是常数列．‎ ‎(2)求数列最大项或最小项的方法 ‎①可以利用不等式组(n≥2)找到数列的最大项；‎ ‎②利用不等式组(n≥2)找到数列的最小项．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是(　　)‎ A．　　　　　　　　　　 B． C．4 D．0‎ ‎　D　[解析] an＝－3＋，由二次函数性质，得当n＝2或n＝3时，an取最大值，最大值为a2＝a3＝0.故选D.‎ ‎2．设函数f(x)＝数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是(　　)‎ A． B． C．(1，3) D．(2，3)‎ ‎　D　[解析] 因为数列{an}是递增数列，又an＝f(n)(n∈N*)．‎ 所以⇒2an(n∈N*)，则该函数的图象是(　　)‎ ‎　A　[解析] 由an＋1＝f(an)，an＋1>an知f(an)>an，‎ 可以知道x∈(0，1)时f(x)>x，‎ 即f(x)的图象在y＝x图象的上方，‎ 由选项中所给的图象可以看出，A符合条件．‎ ‎,　　　　　　　 　　[学生用书P263(独立成册)])‎ ‎1．已知n∈N*，给出四个表达式：①an＝ ‎②an＝，③an＝，④an＝.‎ 其中能作为数列：0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是(　　)‎ A．①②③　　　　　　　　　 B．①②④‎ C．②③④ D．①③④‎ ‎　A　[解析] 检验知①②③都是所给数列的通项公式．‎ ‎2．已知数列{an}的通项公式an＝(n∈N*)，则是这个数列的(　　)‎ A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第12项 ‎　C　[解析] 由题意知＝，n∈N*，解得n＝10，即是这个数列的第10项．‎ ‎3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1an＝2n(n∈N*)，则a10＝(　　)‎ A．64 B．32‎ C．16 D．8‎ ‎　B　[解析] 因为an＋1an＝2n，所以an＋2an＋1＝2n＋1，两式相除得＝2.又a1a2＝2，a1＝1，所以a2＝2.‎ 法一：···＝24，即a10＝25＝32.‎ 法二：数列{a2n}是首项为2，公比为2的等比数列，‎ 所以a10＝2×24＝32.‎ ‎4．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝(　　)‎ A． B． C． D． ‎　A　[解析] 法一：令n＝2，3，4，5分别求出a3＝，a5＝，所以a3＋a5＝.‎ 法二：当n≥2时，a1·a2·a3·…·an＝n2.当n≥3时，a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2.‎ 两式相除得an＝，所以a3＝，a5＝，‎ 所以a3＋a5＝.‎ ‎5．在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.若a6＝64，则a9等于(　　)‎ A．256 B．510‎ C．512 D．1 024‎ ‎　C　[解析] 在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.所以a6＝a3·a3＝64，a3＝8.所以a9＝a6·a3＝64×8＝512.‎ ‎6．在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝7，an＋2等于anan＋1(n∈N*)的个位数，则a2 017＝(　　)‎ A．8 B．6‎ C．4 D．2‎ ‎　D　[解析] 由题意得：a3＝4，a4＝8，a5＝2，a6＝6，a7＝2，a8＝2，a9＝4，a10＝8；所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a2 017＝a335×6＋7＝a7＝2.‎ ‎7．(2017·杭州模拟)数列{an}定义如下：a1＝1，当n≥2时，an＝若an＝，则n的值为________．‎ ‎[解析] 因为a1＝1，所以a2＝1＋a1＝2，a3＝＝，a4＝1＋a2＝3，a5＝＝，a6＝1＋a3＝，a7＝＝，a8＝1＋a4＝4，a9＝＝，所以n＝9.‎ ‎[答案] 9‎ ‎8．下列关于星星的图案构成一个数列，则该数列的一个通项公式是________．‎ ‎[解析] 从题图中可观察星星的构成规律，n＝1时，有1个，n＝2时，有3个；n＝3时，有6个；n＝4时，有10个；…，所以an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝.‎ ‎[答案] an＝ ‎9．已知数列{an}满足a1＝1，an＝(n≥2)，其中Sn为{an}的前n项和，则S2 016＝________．‎ ‎[解析] 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝，‎ 整理得－＝2，‎ 所以数列是公差为2的等差数列，‎ 又＝＝1，‎ 所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，Sn＝，‎ 所以S2 016＝＝.‎ ‎[答案] ‎10．(2017·长春模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，{Sn＋nan}为常数列，则an ‎＝________．‎ ‎[解析] 由题意知，Sn＋nan＝2，当n≥2时，(n＋1)an＝(n－1)an－1，从而···…·＝··…·，有an＝，‎ 当n＝1时上式成立，所以an＝.‎ ‎[答案] ‎11．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝an＋an＋1，求数列{bn}的通项公式．‎ ‎[解] (1)当n＝1时，a1＝S1＝22－2＝2；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－(2n－2)＝2n＋1－2n＝2n.‎ 因为a1也适合此等式，‎ 所以an＝2n(n∈N*)．‎ ‎(2)因为bn＝an＋an＋1，‎ 且an＝2n，an＋1＝2n＋1，‎ 所以bn＝2n＋2n＋1＝3·2n.‎ ‎12．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则该数列的前2 017项的乘积a1·a2·a3·…·a2 017＝________．‎ ‎[解析] 因为a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，‎ 所以a2＝＝＝－3，‎ a3＝＝＝－，‎ a4＝＝＝，‎ a5＝＝＝2＝a1.‎ 所以数列{an}的周期T＝5－1＝4.‎ 而a2 017＝a504×4＋1＝a1＝2.‎ a1a2a3a4＝2×(－3)××＝1，‎ 所以a1·a2·a3·…·a2 016·a2 017＝1504·a2 017＝2.‎ ‎[答案] 2‎ ‎13．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.‎ ‎(1)求a2，a3；‎ ‎(2)求{an}的通项公式．‎ ‎[解] (1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝4a2，‎ 解得a2＝3a1＝3.‎ 由S3＝a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，‎ 解得a3＝(a1＋a2)＝6.‎ ‎(2)由题设知a1＝1.‎ 当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，‎ 整理得an＝an－1.‎ 于是 a1＝1，‎ a2＝a1，‎ a3＝a2，‎ ‎…‎ an－1＝an－2，‎ an＝an－1.‎ 将以上n个等式两端分别相乘，‎ 整理得an＝.‎ 显然，当n＝1时也满足上式．‎ 综上可知，{an}的通项公式an＝.‎ ‎14．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.‎ ‎(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；‎ ‎(2)若对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．‎ ‎[解] (1)由n2－5n＋4<0，解得1an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－<，即得k>－3.‎ 所以实数k的取值范围为(－3，＋∞)．‎