【数学】2019届一轮复习人教A版简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案 10页

第3讲　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．‎ ‎2．理解全称量词与存在量词的意义．‎ ‎3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．‎ ‎2017·北京卷，13‎ ‎2017·山东卷，3‎ ‎2016·浙江卷，4‎ ‎2015·全国卷Ⅰ，3‎ ‎1．含有逻辑联结词的命题的真假判断，常结合函数、不等式、三角形问题等其他知识考查．‎ ‎2．全称命题的否定，特称命题的否定．‎ ‎3．常以不等式、函数为载体判断命题真假，或已知命题真假求参数的取值范围．‎ 分值：5分 ‎1．命题p∧q，p∨q，¬p的真值表 p q p∧q p∨q ‎¬p 真 真 ‎__真__‎ ‎__真__‎ ‎__假__‎ 真 假 ‎__假__‎ ‎__真__‎ ‎__假__‎ 假 真 ‎__假__‎ ‎__真__‎ ‎__真__‎ 假 假 ‎__假__‎ ‎__假__‎ ‎__真__‎ ‎2．全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ‎__∀__‎ 存在量词 存在一个、至少一个、有些、某些等 ‎__∃__‎ ‎3．全称命题和特称命题 名称 形式　　‎ 全称命题 特称命题 结构 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 简记 ‎__∀x∈M，p(x)__‎ ‎__∃x0∈M，p(x0)__‎ 否定 ‎__∃x0∈M__，¬p(x0)‎ ‎__∀x∈M__，¬p(x)‎ ‎4．含逻辑联结词命题的真假判断 ‎(1)p∧q中一假则假，全真才真．‎ ‎(2)p∨q中一真则真，全假才假．‎ ‎(3)p与¬p真假性相反．‎ ‎5．必会结论 ‎(1)“p∨q”的否定是“(¬p)∧(¬q)”；“p∧q”的否定是“(¬p)∨(¬q)”．‎ ‎(2)“且”“或”“非”三个逻辑联结词对应着集合中的“交”“并”“补”，所以含有逻辑联结词的问题常常转化为集合问题处理．‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．‎ ‎(1)命题“5>6或5>‎2”‎是假命题．(　×　)‎ ‎(2)p∧q为真的充分必要条件是p为真或q为真．(　×　)‎ ‎(3)“长方形的对角线相等”是特称命题．(　×　)‎ ‎(4)命题“菱形的对角线相等”的否定是“菱形的对角线不相等”．(　×　)‎ 解析　(1)错误．命题p∨q中有一真，则p∨q为真．‎ ‎(2)错误．p∧q为真，则p，q同时为真．‎ ‎(3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“任意长方形的对角线相等”，是全称命题．‎ ‎(4)错误．“菱形的对角线相等”是全称命题，其否定为“有的菱形的对角线不相等”．‎ ‎2．下列命题中的假命题是(　C　)‎ A．∃x∈R，lg x＝0　　　 B．∃x∈R，tan x＝1‎ C．∀x∈R，x3>0　　　 D．∀x∈R,2x>0‎ 解析　当x＝1时，lg x＝0；当x＝时，tan x＝1，所以A项，B项均为真命题，显然D项为真命题．当x＝0时，x3＝0，所以C项为假命题，故选C．‎ ‎3．已知命题p：若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x，y全为0；命题q：若a>b，则<.给出下列四个命题：‎ ‎①p且q；②p或q；③¬p；④¬q.‎ 其中真命题的个数是(　B　)‎ A．1　　　 B．‎2　‎　　‎ C．3　　　 D．4‎ 解析　∵命题p为真命题，q为假命题，∴p或q，¬q为真命题，故选B．‎ ‎4．已知命题p：∃n∈N,2n>1 000，则¬p为(　A　)‎ A．∀n∈N,2n≤1 000　　　 B．∀n∈N,2n>1 000‎ C．∃n∈N,2n≤1 000　　　 D．∃n∈N,2n<1 000‎ 解析　由于特称命题的否定是全称命题，因而¬p：∀n∈N,2n≤1 000，故选A．‎ ‎5．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(　A　)‎ A．(¬p)∨(¬q)　　　 B．p∨(¬q)‎ C．(¬p)∧(¬q)　　　 D．p∨q 解析　因为p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则 ¬p是“甲没有降落在指定范围”，¬q是“乙没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(¬p)∨(¬q)，故选A．‎ 一　含逻辑联结词命题的真假判断 ‎(1)判断含有逻辑联结词命题真假的步骤：‎ ‎①先判断简单命题p，q的真假．‎ ‎②再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假．‎ ‎(2)含逻辑联结词命题真假的等价关系：‎ ‎①p∨q真⇔p，q至少有一个真⇔(¬p)∧(¬q)假．‎ ‎②p∨q假⇔p，q均假⇔(¬p)∧(¬q)真．‎ ‎③p∧q真⇔p，q均真⇔(¬p)∨(¬q)假．‎ ‎④p∧q假⇔p，q至少有一个假⇔(¬p)∨(¬q)真．‎ ‎⑤¬p真⇔p假；¬p假⇔p真．‎ ‎【例1】 (1)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(¬q)；④(¬p)∨q中，真命题是(　C　)‎ A．①③　　　 B．①④　　　‎ C．②③　　　 D．②④‎ ‎(2)“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的__必要不充分__条件．‎ 解析　(1)当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而¬p为假命题．当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而¬q为真命题．由真值表知，①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(¬q)为真命题；④(¬p)∨q为假命题．‎ ‎(2)p或q为真命题p且q为真命题；p且q为真命题⇒p或q为真命题．‎ 二　全称命题与特称命题 ‎(1)全称命题与特称命题真假的判断方法：‎ 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题 真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题 真 存在一个对象使命题真 否定为假 假 所有对象使命题假 否定为真 ‎ (2)全称命题与特称命题的否定：‎ ‎①否定量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行否定．‎ ‎②否定结论：对原命题的结论进行否定．‎ ‎【例2】 (1)(2017·山东卷)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是(　B　)‎ A．p∧q　　　 B．p∧¬q C．¬p∧q　　　 D．¬p∧¬q ‎(2)命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是(　D　)‎ A．全等三角形的面积不一定都相等 B．不全等三角形的面积不一定都相等 C．存在两个不全等三角形的面积相等 D．存在两个全等三角形的面积不相等 解析　(1)当x>0时，x＋1>1，因此ln (x＋1)>0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a>b，显然a2>b2不成立，因此q为假命题．易知B项为真命题．‎ ‎(2)命题是省略量词的全称命题，故选D．‎ ‎【例3】 (1)下列命题中的假命题是(　B　)‎ A．∀x∈R,2x－1>0　　　 B．∀x∈N*，(x－1)2>0‎ C．∃x0∈R，ln x0<1　　　 D．∃x0∈R，tan x0＝2‎ ‎(2)已知命题p：∀x>0，x＋≥4；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，2x0＝，则下列判断正确的是(　C　)‎ A．p是假命题　　　 B．q是真命题 C．p∧(¬q)是真命题　　　 D．(¬p)∧q是真命题 解析　(1)因为2x－1>0，对∀x∈R恒成立，所以A项是真命题；当x＝1时，(x－1)2＝‎ ‎0，所以B项是假命题；存在00时，x＋≥2＝4，p是真命题；当x>0时，2x>1，q是假命题，所以p∧(¬q)是真命题，(¬p)∧q是假命题．‎ 三　根据命题的真假求参数的取值范围 根据命题的真假求参数取值范围的求解策略 ‎(1)含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)简单命题的真假，求出此时命题成立的参数的取值范围，再求出含逻辑联结词的命题成立的参数的取值范围．‎ ‎(2)全称命题可转化为恒成立问题．‎ ‎【例4】 已知命题p：函数y＝x2－2x＋a在区间(1,2)上有1个零点，命题q：函数y＝x2＋(‎2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同的两点，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求a的取值范围．‎ 解析　若命题p为真，则函数y＝x2－2x＋a在区间(1,2)上有1个零点．因为二次函数图象开口向上，对称轴为x＝1，‎ 所以所以00，得‎4a2－‎12a＋5>0，‎ 解得a<或a>.‎ 因为p∧q是假命题，p∨q是真命题，所以p，q一真一假．‎ ‎①若p真q假，则所以≤a<1；‎ ‎②若p假q真，则所以a≤0或a>.‎ 故实数a的取值范围是(－∞，0]∪∪.‎ ‎1．(2018·四川资阳模拟)下列命题，为真命题的是(　D　)‎ A．∃x∈R，x2≤x－2‎ B．∀x∈R,2x>2－x2‎ C．函数f(x)＝是定义域上的减函数 D．“被2整除的整数都是偶数”的否定是“至少存在一个被2整除的整数不是偶数”‎ 解析　x2－x＋2＝2＋>0，即x2>x－2，故A项错误；当x＝0时，20<2－02，故B项错误；函数f(x)＝在其定义域上不是单调函数，故C项错误，只有D项正确．‎ ‎2．(2018·河南许昌二模)命题“∀x≥0且x∈R,2x>x‎2”‎的否定是(　C　)‎ A．∃x0≥0且x0∈R,2x0>x B．∀x≥0且x∈R,2x≤x2‎ C．∃x0≥0且x0∈R,2x0≤x D．∃x0<0且x0∈R,2x0≤x 解析　因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定为：∃x0≥0且x0∈R,2x0≤x，故选C．‎ ‎3．若命题“∃x0∈R，x－2x0＋m≤‎0”‎是假命题，则实数m的取值范围是__(1，＋∞)__.‎ 解析　由题意，命题“∀x∈R，x2－2x＋m>‎0”‎是真命题，故Δ＝(－2)2－‎4m<0，即m>1．‎ ‎4．(2018·河北邯郸一模)已知三个命题p，q，m中只有一个是真命题，课堂上老师给出了三个判断：A：p是真命题；B：p∨q是假命题；C：m是真命题．老师告诉学生三个判断中只有一个是错误的，那么三个命题q，p，m中的真命题是__m__.‎ 解析　①若A是错误的，则p是假命题，q是假命题，m是真命题，满足条件；②若B是错误的，则p是真命题，m是真命题，不满足条件；③若C是错误的，则p是真命题，p∨q不可能是假命题，不满足条件．故真命题是m.‎ 易错点1　混淆否命题与命题的否定 错因分析：否命题既要否定条件，又要否定结论，而命题的否定只否定结论．‎ ‎【例1】 写出命题“若a2＋b2＝0，则实数a，b全为零”的否定及否命题．‎ 解析　命题的否定：若a2＋b2＝0，则实数a，b不全为零．‎ 命题的否命题：若a2＋b2≠0，则实数a，b不全为零．‎ ‎【跟踪训练1】 命题p的否定是“对所有正数x，>x＋‎1”‎，则命题p可写为！！！　∃x0∈(0，＋∞)，≤x0＋1　###.‎ 解析　因为p是¬p的否定，所以只需将全称命题变为特称命题，再对结论否定即可．‎ 易错点2　不会判断全称命题、特称命题的真假 错因分析：判断全称命题为真时需给出严格的证明，为假时只需举出一个反例；判断特 称命题为真时，只需找出满足的一个对象，为假时可用反证法．‎ ‎【例2】 下列命题中，真命题是(　　)‎ A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数 B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数 C．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数 D．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数 解析　当m＝0时，f(x)＝x2是偶函数，故A项正确D项错误．当m＝1时，f(x)＝x2＋x是非奇非偶函数，故C项错误．又y＝x2是偶函数，则f(x)＝x2＋mx不可能是奇函数，故B项错误．‎ 答案　A ‎【跟踪训练2】 给出以下命题：①∀x∈R，|x|>x；②∃α∈R，sin 3α＝3sin α；③∀x∈R，x>sin x ；④∃x∈(0，＋∞)，xx，④错．故正确命题的序号只有②.‎ 课时达标　第3讲 ‎[解密考纲]本考点考查命题及其相互关系，全称命题和特称命题的互化，尤其是后者，频繁出现在高考题中，常以选择题、填空题的形式呈现．‎ 一、选择题 ‎1．已知命题p：∀x>0，总有ex≥1，则¬p为(　B　)‎ A．∃x0≤0，使得ex0<1　　 B．∃x0>0，使得ex0<1‎ C．∀x>0，总有ex<1　　　　 D．∀x≤0，总有ex<1‎ 解析　因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x>0，总有ex≥1的否定为¬p：∃x0>0，使得ex0<1．故选B．‎ ‎2．已知命题p：∃x0∈R，tan x0＝1；命题q：∀x∈R，x2＞0.下面结论正确的是(　D　)‎ A．命题“p∧q”是真命题 B．命题“p∧¬q”是假命题 C．命题“(¬p)∨q”是真命题 D．命题“(¬p)∧(¬q)”是假命题 解析　取x0＝，有tan＝1，故命题p是真命题；当x＝0时，x2＝0，故命题q是假命题．再根据复合命题的真值表，知D项是正确的．‎ ‎3．(2018·河南模拟)已知函数f(x)＝x2－2ax＋‎2a2－2(a≠0)，g(x)＝－ex－，则下列命题 为真命题的是(　B　)‎ A．∀x∈R，都有f(x)＜g(x) B．∀x∈R，都有f(x)＞g(x)‎ C．∃x0∈R，使得f(x0)＜g(x0) D．∃x0∈R，使得f(x0)＝g(x0)‎ 解析　函数f(x)＝x2－2ax＋‎2a2－2＝(x－a)2＋a2－2≥a2－2>－2，g(x)＝－ex－＝－≤－2，显然∀x∈R，都有f(x)>g(x)，故选B．‎ ‎4．命题“∃x∈R，使x2＋ax－‎4a＜0为假命题”是命题“－16≤a≤‎0”‎的(　A　)‎ A．充要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件　　　　 D．既不充分也不必要条件 解析　依题意，知x2＋ax－‎4a≥0恒成立，则Δ＝a2＋‎16a≤0，解得－16≤a≤0，故选A．‎ ‎5．(2018·山东枣庄模拟)命题p：x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若¬p是真命题，则实数a的取值范围是(　D　)‎ A．(0,4]　　　　 B．[0,4]‎ C．(－∞，0)∪[4，＋∞)　　　　 D．(－∞，0)∪(4，＋∞)‎ 解析　命题p的否定是¬p：∃x∈R，ax2＋ax＋1<0成立，即关于x的不等式ax2＋ax＋1<0有解．当a＝0时，1<0，不等式不成立；当a>0时，要使不等式有解，须a2－‎4a>0，解得a>4或a<0，即a>4；当a<0时，不等式一定有解，即a<0.综上，a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)，故选D．‎ ‎6．(2018·河南开封一模)已知命题p1：∀x∈(0，＋∞)，有3x>2x，p2：∃θ∈R，sin θ＋cos θ＝，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬p1)∨p2和q4：p1∧(¬p2)中，真命题是(　C　)‎ A．q1，q3　　　 B．q2，q‎3　‎　　‎ C．q1，q4　　　 D．q2，q4‎ 解析　因为y＝x在R上是增函数，即y＝x>1在(0，＋∞)上恒成立，所以p1是真命题；sin θ＋cos θ＝sin≤，所以命题p2是假命题，¬p2是真命题，所以命题q1：p1∨p2，q4：p1∧(¬p2)是真命题，故选C．‎ 二、填空题 ‎7．(2017·北京卷)能够说明“设a，b，c是任意实数，若a>b>c，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为__－1，－2，－3(答案不唯一)__.‎ 解析　因为“设a，b，c是任意实数．若a>b>c，则a＋b>c”是假命题，则它的否定“设存在实数a，b，c.若a>b>c，则a＋b≤c”是真命题．‎ 由于a>b>c，所以a＋b>‎2c，又a＋b≤c，所以c<0.‎ 因此a，b，c依次可取整数－1，－2，－3，满足a＋b≤c.‎ ‎8．(2018·四川成都模拟)已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠‎0”‎是假命题，则f(a＋b)＝__0__.　‎ 解析　若“∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠‎0”‎是假命题，则“∀x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝‎0”‎是真命题，即f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，则a＋b＝0，即f(a＋b)＝0.‎ ‎9．命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<‎0”‎为假命题，则实数a的取值范围是！！！　[－2，2]　###.‎ 解析　由题意知“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥‎0”‎为真命题，‎ 所以Δ＝(－‎3a)2－4×2×9≤0，解得－2≤a≤2.‎ 三、解答题 ‎10．(2018·河北衡水调研)已知a∈R，命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.‎ ‎(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．‎ 解析　(1)由命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥‎0”‎为真，得a≤1，即a的取值范围是(－∞，1]．‎ ‎(2)由(1)可知，命题p为真时，a≤1，‎ 命题q为真时，Δ＝‎4a2－4(2－a)≥0，解得a≤－2或a≥1．‎ 因为命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，所以命题p与命题q一真一假，‎ 当命题p为真，命题q为假时，⇒－2＜a＜1，‎ 当命题p为假，命题q为真时，⇒a＞1．‎ 综上，实数a的取值范围是(－2,1)∪(1，＋∞)．‎ ‎11．设命题p：函数f(x)＝lg(x2－4x＋a2)的定义域为R；命题q：对任意m∈[－1,1]，不等式a2－‎5a－3≥恒成立；如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．‎ 解析　命题p：f(x)＝lg(x2－4x＋a2)的定义域为R⇒‎ Δ＝16－‎4a2<0⇒a>2或a＜－2.‎ 命题q：∵m∈[－1,1]，∴ ∈[2 ,3]．‎ ‎∵对任意m∈[－1,1]，不等式a2－‎5a－3≥恒成立，‎ ‎∴只须满足a2－‎5a－3≥3，解得a≥6或a≤－1．　‎ ‎∵命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，则p与q一真一假．‎ ‎①若p真q假，则⇒2＜a＜6；‎ ‎②若p假q真，则⇒－2≤a≤－1，‎ 综上，a的取值范围为[－2，－1]∪(2,6)．‎ ‎12．(2018·湖北孝感调研)命题p：f(x)＝－x2＋2ax＋1－a，在[0,1]上的最大值不超过2，命题q：正数x，y满足x＋2y＝8，且a≤＋恒成立，若p∨(¬q)为假命题，求实数a的取值范围．‎ 解析　∵f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1，∴f(x)在(－∞，a)上递增，在(a，＋∞)上递减．‎ 当a≤0时，f(x)在[0,1]上递减，f(x)max＝f(0)＝1－a≤2，‎ 解得－1≤a≤0；‎ 当0