【数学】2020届一轮复习人教B版坐标系与参数方程学案理 9页

坐标系与参数方程 ‎【2019年高考考纲解读】‎ 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线的位置关系等解析几何知识．‎ ‎【重点、难点剖析】‎ ‎1．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则 ‎2．直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．‎ 几个特殊位置的直线的极坐标方程 ‎(1)直线过极点：θ＝α；‎ ‎(2)直线过点M(a,0)(a>0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；‎ ‎(3)直线过M且平行于极轴：ρsin θ＝b.‎ ‎3．圆的极坐标方程 若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为：‎ ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ0－r2＝0.‎ 几个特殊位置的圆的极坐标方程 ‎(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；‎ ‎(2)当圆心位于M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcos θ；‎ ‎(3)当圆心位于M，半径为r：ρ＝2rsin θ.‎ ‎(4)圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π)．圆心在点A(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程为r2＝ρ2＋ρ0－2ρρ0cos(θ－θ0)．‎ ‎4．直线的参数方程 经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)．‎ 设P是直线上的任一点，则t表示有向线段的数量．‎ ‎5．圆的参数方程 圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π)．‎ ‎6．圆锥曲线的参数方程 ‎(1)椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(2)双曲线－＝1的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(3)抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为(t为参数).‎ ‎【题型示例】‎ 题型一　极坐标方程和参数方程 ‎【例1】(2018·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.‎ ‎(1)求C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．‎ ‎【解析】(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.‎ ‎(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．‎ 由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右侧的射线为l1，y轴左侧的射线为l2.‎ 由于点B在圆C2的外部，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．‎ 当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0.‎ 经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；‎ 当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点，满足题意．‎ 当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.‎ 经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；‎ 当k＝时，l2与C2没有公共点．‎ 综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.‎ ‎【变式探究】．(2017·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.‎ ‎(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．‎ ‎【解析】　(1)设点P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)，由题设知，‎ ‎|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.‎ 由|OM|·|OP|＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)．‎ 所以C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．‎ ‎【变式探究】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1上一点A的极坐标为，曲线C2的极坐标方程为ρ＝cos θ.‎ ‎(1)求曲线C1的极坐标方程；‎ ‎(2)设点M，N在C1上，点P在C2上(异于极点)，若O，M，P，N四点依次在同一条直线l上，且|MP|，|OP|，|PN|成等比数列，求 l的极坐标方程．‎ 解　(1)曲线C1的直角坐标方程为(x－a)2＋y2＝3，‎ 化简得x2＋y2－2ax＋a2－3＝0.‎ 又x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ，‎ 所以ρ2－2aρcos θ＋a2－3＝0.‎ 代入点，得a2－a－2＝0，‎ 解得a＝2或a＝－1(舍去)．‎ 所以曲线C1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋1＝0.‎ ‎(2)由题意知，设直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)，‎ 设点M，N，P，‎ 则ρ1<ρ3<ρ2. ‎ 联立得ρ2－4ρcos α＋1＝0，‎ 所以ρ1＋ρ2＝4cos α，ρ1ρ2＝1.‎ 联立得ρ3＝cos α.‎ 因为|MP|，|OP|，|PN|成等比数列，‎ 所以ρ＝(ρ3－ρ1)(ρ2－ρ3)，即2ρ＝(ρ1＋ρ2)ρ3－ρ1ρ2.‎ 所以2cos2α＝4cos2α－1，解得cos α＝(舍负)．‎ 经检验，满足O，M，P，N四点依次在同一条直线上，‎ 所以l的极坐标方程为θ＝±(ρ∈R)．‎ ‎【变式探究】将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.‎ ‎(1)写出C的参数方程；‎ ‎(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．‎ ‎【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程、极坐标方程与普通方程间的转化．结合方程的转化和应用考查考生的应用意识和转化思想．‎ ‎【思路方法】(1)先列方程，再进一步转化为参数方程．‎ ‎(2)解出交点，再求得直线方程，最后转化为极坐标方程．‎ ‎(2)由解得或 不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k＝，‎ 于是所求直线方程为y－1＝，‎ 化为极坐标方程并整理，得 ‎2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，‎ 即ρ＝.‎ ‎【感悟提升】若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴正半轴重合，两坐标系的长度单位相同，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化．求解与极坐标方程有关的问题时，可以转化为熟悉的直角坐标方程求解．若最终结果要求用极坐标表示，则需将直角坐标转化为极坐标．‎ 题型二　参数方程与普通方程的互化 ‎【例2】(2018·全国Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．‎ ‎(1)求α的取值范围；‎ ‎(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．‎ ‎【解析】　(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.‎ 当α＝时，l与⊙O交于两点．‎ 当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点当且仅当<1，解得k<－1或k>1，即α∈或α∈.‎ 综上，α的取值范围是.‎ ‎(2)l的参数方程为 .‎ 设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，‎ 则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsin α＋1＝0.‎ 于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α.‎ 又点P的坐标(x，y)满足 所以点P的轨迹的参数方程是.‎ ‎【感悟提升】(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等．‎ ‎(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x，y有范围限制，要标出x，y的取值范围．‎ ‎【变式探究】 【2017·江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 在平面坐标系中中,已知直线的参考方程为(为参数),曲线的参数方程为(‎ 为参数).设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直线的普通方程为.‎ 因为点在曲线上，设，‎ 从而点到直线的的距离，‎ 当时， .‎ 因此当点的坐标为时，曲线上点到直线的距离取到最小值. ‎ ‎【考点】参数方程化普通方程 ‎【变式探究】在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为（t为参数,a＞0）．‎ 在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ=.‎ ‎（I）说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎（II）直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a．‎ ‎【答案】（I）圆,（II）1‎ ‎【解析】解：（Ⅰ）消去参数得到的普通方程.‎ 是以为圆心，为半径的圆.‎ 将代入的普通方程中，得到的极坐标方程为 ‎.‎ ‎（Ⅱ）曲线的公共点的极坐标满足方程组 若，由方程组得，由已知，‎ 可得，从而，解得（舍去），.‎ 时，极点也为的公共点，在上.所以.‎ ‎ 【变式探究】在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求C1，C2的极坐标方程； ‎ 解析　直线l的直角坐标方程为y＝x＋2，由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，直角坐标方程为x2－y2＝4，把y＝x＋2代入双曲线方程解得x＝－2，因此交点为(－2，0)，其极坐标为(2，π)．‎ 答案　(2，π)‎ ‎【变式探究】(2014·福建)已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为 ‎(θ为参数)．‎ ‎(1)求直线l和圆C的普通方程；‎ ‎(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．‎ ‎【命题意图】本小题主要考查直线与圆的参数方程等基础知识，意在考查考生的运算求解能力及化归与转化思想．‎ ‎【解题思路】(1)消去参数，即可求出直线l与圆C的普通方程．‎ ‎(2)求出圆心的坐标，利用圆心到直线l的距离不大于半径，得到关于参数a的不等式，即可求出参数a的取值范围．‎ ‎【解析】(1)直线l的普通方程为2x－y－‎2a＝0，‎ 圆C的普通方程为x2＋y2＝16.‎ ‎(2)因为直线l与圆C有公共点，‎ 故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，‎ 解得－2≤a≤2.‎ ‎【感悟提升】‎ ‎1．将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．‎ ‎2．在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．‎ ‎【变式探究】(2015·福建，21(2))在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为ρsin＝m(m∈R)．‎ ‎①求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；‎ ‎②设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．‎ ‎【举一反三】(2015·湖南，16Ⅱ)已知直线l： (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．‎ 解　(1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①‎ 将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②‎ ‎(2)将代入②式，得t2＋5t＋18＝0.‎ 设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，‎ ‎|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.‎ ‎ ‎