【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版9-1直线的方程学案 15页

‎§9.1　直线的方程 最新考纲 考情考向分析 ‎1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，掌握确定直线位置的几何要素.‎ ‎2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.‎ ‎3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、截距式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.‎ 以考查直线方程的求法为主，直线的斜率、倾斜角也是考查的重点.题型主要在解答题中与圆、圆锥曲线等知识交汇出现，有时也会在选择、填空题中出现.‎ ‎1.平面直角坐标系中的基本公式 ‎(1)两点的距离公式：‎ 已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则d(A，B)＝|AB|＝.‎ ‎(2)中点公式：‎ 已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x＝，y＝.‎ ‎2.直线的倾斜角 ‎(1)定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，我们规定，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.‎ ‎(2)倾斜角的范围：[0°，180°).‎ ‎3.直线的斜率 ‎(1)定义：通常，我们把直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的斜率，垂直于x轴的直线，人们常说它的斜率不存在；‎ ‎(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝ (x1≠x2).若直线的倾斜角为θ，则k＝tan θ.‎ ‎4.直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0)‎ 不含直线x＝x0‎ 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1 (y1≠y2)‎ 截距式 ＋＝1‎ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0‎ ‎(A2＋B2≠0)‎ 平面直角坐标系内的直线都适用 概念方法微思考 ‎1.直线都有倾斜角，是不是都有斜率？倾斜角越大，斜率k就越大吗？‎ 提示　倾斜角α∈[0，π)，当α＝时，斜率k不存在；因为k＝tan α.当α∈时，α越大，斜率k就越大，同样α∈时也是如此，但当α∈(0，π)且α≠时就不是了.‎ ‎2.“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？‎ 提示　“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.‎ 题组一　思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.(　√　)‎ ‎(2)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　×　)‎ ‎(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(　×　)‎ ‎(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.(　√　)‎ 题组二　教材改编 ‎2.若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)‎ A.1 B.4 C.1或3 D.1或4‎ 答案　A 解析　由题意得＝1，解得m＝1.‎ ‎3.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 .‎ 答案　3x－2y＝0或x＋y－5＝0‎ 解析　当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；‎ 当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，‎ 则＋＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.‎ 题组三　易错自纠 ‎4.直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　)‎ A. B. C.∪ D.∪ 答案　B 解析　由直线方程可得该直线的斜率为－，‎ 又－1≤－<0，所以倾斜角的取值范围是.‎ ‎5.如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　　)‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　C 解析　由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限.‎ ‎6.过直线l：y＝x上的点P(2,2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为 .‎ 答案　x－2y＋2＝0或x＝2‎ 解析　①若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x＝2，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意；‎ ‎②若直线m的斜率k＝0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；‎ ‎③若直线m的斜率k≠0，设其方程为y－2＝k(x－2)，令y＝0，得x＝2－，依题意有××2＝2，即＝1，解得k＝，所以直线m的方程为y－2＝(x－2)，即x－2y＋2＝0.‎ 综上可知，直线m的方程为x－2y＋2＝0或x＝2.‎ 题型一　直线的倾斜角与斜率 例1　(1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的范围是(　　)‎ A.[0，π) B.∪ C. D.∪ 答案　B 解析　设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，‎ 又sin α∈[－1,1]，θ∈[0，π)，‎ 所以0≤θ≤或≤θ<π.‎ ‎(2)(2018·抚顺调研)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为 .‎ 答案　(－∞，－]∪[1，＋∞)‎ 解析　如图，∵kAP＝＝1，‎ kBP＝＝－，‎ ‎∴k∈(－∞，－ ]∪[1，＋∞).‎ 引申探究 ‎1.若将本例(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.‎ 解　∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0，)，‎ ‎∴kAP＝＝，‎ kBP＝＝.‎ 如图可知，直线l斜率的取值范围为.‎ ‎2.若将本例(2)中的B点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的取值范围.‎ 解　如图，直线PA的倾斜角为45°，‎ 直线PB的倾斜角为135°，‎ 由图象知l的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°).‎ 思维升华　(1)倾斜角α与斜率k的关系 ‎①当α∈时，k∈[0，＋∞).‎ ‎②当α＝时，斜率k不存在.‎ ‎③当α∈时，k∈(－∞，0).‎ ‎(2)斜率的两种求法 ‎①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率.‎ ‎②公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率.‎ ‎(3)倾斜角α范围与直线斜率范围互求时，要充分利用y＝tan α的单调性.‎ 跟踪训练1　(1)若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a等于(　　)‎ A.1±或0 B.或0‎ C. D.或0‎ 答案　A 解析　∵平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，∴kAB＝kAC，‎ 即＝，‎ 即a(a2－2a－1)＝0，‎ 解得a＝0或a＝1±.故选A.‎ ‎(2)直线l经过点A(3,1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是 .‎ 答案　 解析　直线l的斜率k＝＝1＋m2≥1，‎ 所以k＝tan α≥1.‎ 又y＝tan α在上是增函数，‎ 因此≤α<.‎ 题型二　求直线的方程 例2　求适合下列条件的直线方程：‎ ‎(1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；‎ ‎(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－；‎ ‎(3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且|AB|＝5.‎ 解　(1)方法一　设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，‎ ‎∴l的方程为y＝x，‎ 即2x－3y＝0.‎ 若a≠0，则设l的方程为＋＝1，‎ ‎∵l过点(3,2)，∴＋＝1，‎ ‎∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，‎ 综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.‎ 方法二　由题意，所求直线的斜率k存在且k≠0，‎ 设直线方程为y－2＝k(x－3)，‎ 令y＝0，得x＝3－，‎ 令x＝0，得y＝2－3k，‎ 由已知3－＝2－3k，‎ 解得k＝－1或k＝，‎ ‎∴直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)，‎ 即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.‎ ‎(2)设所求直线的斜率为k，依题意 k＝－×3＝－.‎ 又直线经过点A(－1，－3)，‎ 因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，‎ 即3x＋4y＋15＝0.‎ ‎(3)过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.‎ 解方程组 求得B点坐标为(1,4)，‎ 此时|AB|＝5，即x＝1为所求.‎ 设过A(1，－1)且与y轴不平行的直线为y＋1＝k(x－1)，‎ 解方程组 得两直线交点为 ‎(k≠－2，否则与已知直线平行).‎ 则B点坐标为.‎ 由已知2＋2＝52，‎ 解得k＝－，∴y＋1＝－(x－1)，‎ 即3x＋4y＋1＝0.‎ 综上可知，所求直线的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.‎ 思维升华　在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.‎ 跟踪训练2　根据所给条件求直线的方程：‎ ‎(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；‎ ‎(2)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；‎ ‎(3)直线过点(5,10)，到原点的距离为5.‎ 解　(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.‎ 设倾斜角为α，则sin α＝(0<α<π)，‎ 从而cos α＝±，则k＝tan α＝±.‎ 故所求直线方程为y＝±(x＋4).‎ 即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.‎ ‎(2)设直线l在x，y轴上的截距均为a.‎ 若a＝0，即l过(0,0)及(4,1)两点，‎ ‎∴l的方程为y＝x，即x－4y＝0.‎ 若a≠0，则设l的方程为＋＝1，‎ ‎∵l过点(4,1)，∴＋＝1，‎ ‎∴a＝5，‎ ‎∴l的方程为x＋y－5＝0.‎ 综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.‎ ‎(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；‎ 当斜率存在时，设其为k，‎ 则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，‎ 即kx－y＋(10－5k)＝0.‎ 由点到直线的距离公式，得＝5，解得k＝.‎ 故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.‎ 综上可知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.‎ 题型三　直线方程的综合应用 命题点1　与均值不等式相结合求最值问题 例3　(2018·包头模拟)已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，求当||·||取得最小值时直线l的方程.‎ 解　设A(a,0)，B(0，b)，则a>0，b>0，‎ 直线l的方程为＋＝1，‎ 所以＋＝1.‎ ‎||·||＝－·＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)‎ ‎＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5‎ ‎＝(2a＋b)－5＝＋≥4，‎ 当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.‎ 命题点2　由直线方程解决参数问题 例4　已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当00，b>0)，‎ 因为直线l经过点P(4,1)，‎ 所以＋＝1.‎ ‎(1)＋＝1≥2＝，‎ 所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立，‎ 所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，此时直线l的方程为＋＝1，即x＋4y－8＝0.‎ ‎(2)因为＋＝1，a>0，b>0，‎ 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－6＝0.‎ 一、选择题 ‎1.直线x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为(　　)‎ A.30° B.60° C.150° D.120°‎ 答案　B 解析　设直线的倾斜角为α，斜率为k，‎ 化直线方程为y＝x＋a，‎ ‎∴k＝tan α＝.‎ ‎∵0°≤α<180°，∴α＝60°.‎ ‎2.(2018·大连模拟)过点(2,1)且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小的直线方程是(　　)‎ A.x＝2 B.y＝1 C.x＝1 D.y＝2‎ 答案　A 解析　∵直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为，‎ 依题意，所求直线的倾斜角为－＝，‎ ‎∴斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x＝2.‎ ‎3.已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为(　　)‎ A.150° B.135° C.120° D.不存在 答案　A 解析　由y＝，得x2＋y2＝2(y≥0)，它表示以原点O为圆心，以为半径的圆的一部分，其图象如图所示.‎ 显然直线l的斜率存在，‎ 设过点P(2,0)的直线l为y＝k(x－2)，‎ 则圆心到此直线的距离d＝，‎ 弦长|AB|＝2＝2，‎ 所以S△AOB＝××2 ‎≤＝1，‎ 当且仅当(2k)2＝2－2k2，即k2＝时等号成立，‎ 由图可得k＝－，‎ 故直线l的倾斜角为150°.‎ ‎4.在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　　)‎ 答案　B 解析　当a>0，b>0时，－a<0，－b<0.选项B符合.‎ ‎5.直线MN的斜率为2，其中点N(1，－1)，点M在直线y＝x＋1上，则(　　)‎ A.M(5,7) B.M(4,5)‎ C.M(2,1) D.M(2,3)‎ 答案　B 解析　设M的坐标为(a，b)，若点M在直线y＝x＋1上，‎ 则有b＝a＋1.①‎ 若直线MN的斜率为2，则有＝2.②‎ 联立①②可得a＝4，b＝5，‎ 即M的坐标为(4,5).故选B.‎ ‎6.已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是(　　)‎ A.k≥或k≤－4 B.－4≤k≤ C.≤k≤4 D.－≤k≤4‎ 答案　A 解析　如图所示，‎ ‎∵kPN＝＝，‎ kPM＝＝－4，‎ ‎∴要使直线l与线段MN相交，‎ 当l的倾斜角小于90°时，k≥kPN；‎ 当l的倾斜角大于90°时，k≤kPM，‎ ‎∴k≥或k≤－4.‎ ‎7.(2018·焦作期中)过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距相等的直线有(　　)‎ A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 答案　B 解析　①当所求的直线与两坐标轴的截距都不为0时，‎ 设该直线的方程为x＋y＝a，‎ 把(3，－1)代入所设的方程得a＝2，‎ 则所求直线的方程为x＋y＝2，即x＋y－2＝0；‎ ‎②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，‎ 设该直线的方程为y＝kx，‎ 把(3，－1)代入所设的方程得k＝－，‎ 则所求直线的方程为y＝－x，即x＋3y＝0.‎ 综上，所求直线的方程为x＋y－2＝0或x＋3y＝0，‎ 故选B.‎ ‎8.已知函数f(x)＝asin x－bcos x(a≠0，b≠0)，若f ＝f ，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　由f ＝f 知函数f(x)的图象关于x＝对称，所以f(0)＝f ，所以a＝－b，由直线ax－by＋c＝0知其斜率k＝＝－，所以直线的倾斜角为，故选C.‎ 二、填空题 ‎9.一条直线经过点A(2，－)，并且它的倾斜角等于直线y＝x的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是 .‎ 答案　x－y－3＝0‎ 解析　因为直线y＝ x的倾斜角为，所以所求直线的倾斜角为，即斜率k＝tan ＝.‎ 又该直线过点A(2，－)，‎ 故所求直线为y－(－)＝(x－2)，‎ 即x－y－3＝0.‎ ‎10.不论实数m为何值，直线mx－y＋2m＋1＝0恒过定点 .‎ 答案　(－2,1)‎ 解析　直线mx－y＋2m＋1＝0可化为m(x＋2)＋(－y＋1)＝0，∵m∈R，∴∴x＝－2，y＝1，‎ ‎∴直线mx－y＋2m＋1＝0恒过定点(－2,1).‎ ‎11.已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为 .‎ 答案　x＋13y＋5＝0‎ 解析　BC的中点坐标为，∴BC边上中线所在的直线方程为＝，即x＋13y＋5＝0.‎ ‎12.经过点A(4,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的3倍的直线l的方程的一般式为 .‎ 答案　x＋3y－10＝0或x－2y＝0‎ 解析　当截距为0时，设直线方程为y＝kx，则4k＝2，‎ ‎∴k＝，∴直线方程为x－2y＝0.‎ 当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，‎ 由题意得，＋＝1，∴a＝.∴x＋3y－10＝0.‎ 综上，直线l的一般式方程为x＋3y－10＝0或x－2y＝0.‎ ‎13.设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是 .‎ 答案　 解析　直线ax＋y＋2＝0恒过点M(0，－2)，且斜率为－a，‎ ‎∵kMA＝＝－，kMB＝＝，结合题意可知－a>－，且－a<，∴a∈.‎ ‎14.已知动直线l0：ax＋by＋c－3＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，且Q(4,0)到动直线l0‎ 的最大距离为3，则＋的最小值为 .‎ 答案　 解析　∵动直线l0：ax＋by＋c－3＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，‎ ‎∴a＋bm＋c－3＝0.‎ 又Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3，‎ ‎∴＝3，解得m＝0.‎ ‎∴a＋c＝3.‎ 则＋＝(a＋c) ‎＝≥＝，‎ 当且仅当c＝2a＝2时取等号.‎ 三、解答题 ‎15.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程.‎ 解　由题意可得kOA＝tan 45°＝1，‎ kOB＝tan(180°－30°)＝－，‎ 所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.‎ 设A(m，m)，B(－n，n)，‎ 所以AB的中点C，‎ 由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线得 解得m＝，所以A(，).‎ 又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，‎ 所以lAB：y＝(x－1)，‎ 即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.‎ ‎16.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).‎ ‎(1)证明：直线l过定点；‎ ‎(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；‎ ‎(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.‎ ‎(1)证明　直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，‎ 故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1).‎ ‎(2)解　直线l的方程可化为y＝kx＋2k＋1，‎ 则直线l在y轴上的截距为2k＋1，‎ 要使直线l不经过第四象限，则 故k的取值范围是k≥0.‎ ‎(3)解　依题意，直线l在x轴上的截距为－，‎ 在y轴上的截距为1＋2k，且k>0，‎ 所以A，B(0,1＋2k)，‎ 故S＝|OA||OB|＝××(1＋2k)‎ ‎＝≥×(4＋4)＝4，‎ 当且仅当4k＝，即k＝时取等号，‎ 故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.‎