【数学】2018届一轮复习人教A版（理）9-3圆的方程学案 12页

‎§9.3　圆的方程 考纲展示►　‎ ‎1.掌握确定圆的几何要素．‎ ‎2．掌握圆的标准方程与一般方程．‎ 考点1　圆的方程 ‎1.圆的定义及方程 答案：定点　定长　(a，b)　r　‎ ‎2．点与圆的位置关系 ‎(1)理论依据：________到________的距离与半径的大小关系．‎ ‎(2)三种情况：‎ 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．‎ ‎①(x0－a)2＋(y0－b)2________r2⇔点在圆上；‎ ‎②(x0－a)2＋(y0－b)2________r2⇔点在圆外；‎ ‎③(x0－a)2＋(y0－b)2________r2⇔点在圆内．‎ 答案：(1)点　圆心　(2)①＝　②>　③<‎ ‎(1)[教材习题改编]圆x2＋y2－2ax＋4ay＝0(a≠0)的圆心坐标是________，半径r＝________.‎ 答案：(a，－‎2a)　|a|‎ 解析：根据圆的一般方程的圆心公式和半径公式，可得圆的圆心坐标为(a，－‎2a)，半径为|a|.‎ ‎(2)[教材习题改编]以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为________．‎ 答案：(x－1)2＋(y－1)2＝2‎ 解析：线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)的两端点分别为(2,0)，(0,2)，‎ 所以圆心为(1,1)，圆的半径为＝，‎ 所以圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.‎ 圆的一般方程：注意表示圆的条件．‎ ‎(1)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋‎2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________．‎ 答案：－20，‎ 解得－20)，半径r＝2b.‎ 又圆C截x轴所得弦的长为2，圆心C到x轴的距离为b，‎ 所以由勾股定理＝，解得b＝1.‎ 因此圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.‎ 解法二：因为圆C的圆心在直线x－2y＝0上，设圆心C(2b，b)，‎ 所以圆C的方程为(x－2b)2＋(y－b)2＝r2，‎ 因为圆C与y轴正半轴相切，则r＝2b>0.①‎ 又圆C截x轴所得弦的长为2，‎ 由勾股定理，得圆心C到x轴的距离为＝.②‎ 联立①②，得b＝1，r＝2.‎ 因此圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.‎ ‎[点石成金]　求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：‎ ‎(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．‎ ‎(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．‎ 考点2　与圆有关的最值问题 ‎[考情聚焦]　与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．‎ 主要有以下几个命题角度：‎ 角度一 斜率型最值问题 ‎[典题2]　[2017·辽宁抚顺模拟]已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求的最大值和最小值．‎ ‎[解]　原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，‎ 表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．‎ 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，‎ 所以设＝k，即y＝kx.‎ 当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，‎ 此时＝，‎ 解得k＝±.‎ 所以的最大值为，最小值为－.‎ 角度二 截距型最值问题 ‎[典题3]　在[角度一]条件下求y－x的最大值和最小值．‎ ‎[解]　y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，如图所示，‎ 当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，‎ 解得b＝－2±.‎ 所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.‎ 角度三 距离型最值问题 ‎[典题4]　在[角度一]条件下求x2＋y2的最大值和最小值．‎ ‎[解]　如图所示，‎ x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，‎ 由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．‎ 又圆心到原点的距离为＝2，‎ 所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.‎ 角度四 建立目标函数求最值问题 ‎[典题5]　已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1 和两点A(－m,0)，B(m,0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(　　)‎ A．7 B．‎6 C．5 D．4‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由(x－3)2＋(y－4)2＝1知，圆上点P(x0，y0)可化为 ‎∵∠APB＝90°，即·＝0，‎ ‎∴(x0＋m)(x0－m)＋y＝0，‎ ‎∴m2＝x＋y＝26＋6cos θ＋8sin θ ‎＝26＋10sin(θ＋φ)≤36，‎ ‎∴0＜m≤6，即m的最大值为6.‎ ‎[点石成金]　求解与圆有关的最值问题的两大规律 ‎(1)借助几何性质求最值 处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．‎ ‎(2)建立函数关系式求最值 根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的．‎ 考点3　与圆有关的轨迹问题 ‎(1)[教材习题改编]已知点P与两个定点O(0,0)，A(－3,3)的距离之比为，则点P的轨迹方程是________．‎ 答案：x2＋y2－2x＋2y－6＝0‎ 解析：依题意，得＝.‎ 设P(x，y)，则＝，‎ 整理得x2＋y2－2x＋2y－6＝0.‎ ‎(2)[教材习题改编]若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．‎ 答案：(－1,1)‎ 解析：因为点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，即a2<1，故－1