新教材数学北师大版（2019）必修第二册课件：5-1-1 复数的概念 课件（52张） 52页

1.1　复数的概念　 必备知识·自主学习 1.虚数单位 为了使得像方程x2=-1有解,我们引进一个新数i,叫作_________,并规定: (1)它的平方等于-1,即i2=-1; (2)实数与它进行四则运算时,原有的_________________仍然成立. 导思 1.实数集与复数集之间的关系是什么? 2.两个复数相等的条件是什么? 虚数单位 加法、乘法运算律 2.复数的概念及表示 形如a+bi(其中a,b∈R)的数叫作_____,通常用字母z表示,即z= a+bi(a,b∈R), 其中a称为复数z的_____,记作Re z,b称为复数z的_____,记作Im z. 3.复数的分类 复数a+bi(a,b∈R) 4.复数集 全体复数构成的集合称为复数集,记作C. 显然R ⫋ C. 复数 实部 虚部  【思考】 　(1)两个复数一定能比较大小吗? 提示:不一定,只有当这两个复数都是实数时,才能比较大小. 　(2)复数a+bi的实部是a,虚部是b吗? 提示:不一定,对于复数z= a+bi(a,b∈R),实部才是a,虚部才是b. 　(3)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系? 提示: 5.两个复数相等 两个复数a+bi与c+di(a,b,c,d∈R)相等定义为:它们的实部相等且虚部相等, 即:a+bi=c+di当且仅当a=c且b=d. 【思考】 　若复数z1,z2为z1=3+ai(a∈R),z2=b+i(b∈R),且z1=z2,则a-b的值为多少? 提示:因为z1=z2,所以a=1,b=3,故a-b=-2. 【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)若a,b为实数,则z=a+bi为虚数. (　　) (2) 若a为实数,则z=a一定不是虚数. (　　) (3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相等. (　　) 提示:(1)×.当b=0时, z=a+bi为实数. (2)√. (3)√.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,则这两个复数的实部和虚数 分别相等,则这两个复数相等. 2.复数z=a+i(a∈R)的虚部为 (　　) A.1 B.i C.-1 D.-i 【解析】选A.根据定义可得z的虚部b=1. 3.(教材二次开发:例题改编)已知x,y∈R,若x+y+(x-2y)i=-x-3+(y-19)i,则 x+yi= (　　) A.3+5i B.-4+5i C.4-5i　 D.-4-5i 【解析】选B.因为x,y∈R,所以利用两复数相等的充要条件可得 解得 所以x+yi=-4+5i. x y x 3 x 2y y 19     － － ， － － ， x 4 y 5    － ， ， 4.若复数z= 为纯虚数,则实数a的值等于________.  【解析】由纯虚数的定义可知 由①可解得a=0,或a=2, 但a=2与a2-a-2≠0矛盾. 答案:0 2 2a 2a a a 2 i（ － ）（ － － ） 2 2 a 2a 0 a a 2 0    － ，① － － ，② 关键能力·合作学习 类型一　复数的概念(数学抽象) 【题组训练】 1.已知下列命题: (1)复数a+bi不是实数;(2)当z∈C时,z2≥0;(3)若复数z=a+bi,当且仅当b≠0 时,z为虚数;(4)若a,b,c,d∈C时,有a+bi=c+di,则a=c且b=d.其中真命题的个数 是________.  【思路导引】根据复数的有关概念判断命题的真假. 【解析】(1)是假命题,因为当a∈R且b=0时, a+bi是实数.(2)是假命题,如当 z=i时,则z2=-1<0.(3)是假命题,因为没有说明a,b∈R.(4)是假命题,只有当 a,b,c,d∈R时,结论才成立. 答案:0 2.请说出下列复数的实部和虚部. (1)2+3i;(2)-3+ i;(3) +i;(4)π;(5)- i;(6)0. 【解析】(1)的实部为2,虚部为3;(2)的实部为-3,虚部为 ;(3)的实部为 , 虚部为1;(4)的实部为π,虚部为0;(5)的实部为0, 虚部为- ;(6)的实部为0, 虚部为0. 1 2 2 3 1 2 2 3 【解题策略】 　复数a+bi(a,b∈R)中,实数a,b分别叫作复数的实部和虚部.特别注意,虚部是 b,而不是bi. 类型二　复数的分类(数学抽象) 【典例】实数x分别取什么值时,复数z= +(x2-2x-15)i是(1)实数? (2)虚数? 2x x 6 x 3 － － ＋ 【思路导引】(1) 若复数z是实数, 则虚部为0,同时注意分式的分母不等于 0;(2)若复数z是虚数,则虚部不等于0,同时注意使分式有意义. 【解析】(1)当x满足 即x=5时,z是实数. (2)当x满足 即x≠-3且x≠5时,z是虚数. 2x 2x 15 0 x 3 0    － － ＝ ， ＋ ， 2x 2x 15 0 x 3 0     － － ， ＋ ， 【解题策略】 　解决复数分类问题的方法与步骤 (1)化标准式:解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部 和虚部. (2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题, 只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可. (3)下结论:设所给复数为z=a+bi(a,b∈R), ①z为实数⇔b=0; ②z为虚数⇔b≠0; ③z为纯虚数⇔a=0且b≠0. 【跟踪训练】 　已知m∈R,复数z= +(m2+2m-3)i,当m为何值时, (1)z为实数?(2)z为虚数?(3)z为纯虚数? m(m 2) m 1 ＋ － 【解析】(1)要使z为实数,m需满足m2+2m-3=0,且 有意义即m-1≠0,解得 m=-3. (2)要使z为虚数,m需满足m2+2m-3≠0,且 有意义,即m-1≠0,解得m≠1 且m≠-3. (3)要使z为纯虚数,m需满足 =0,且m2+2m-3≠0,解得m=0或m=-2. m(m 2) m 1 ＋ － m(m 2) m 1 ＋ － m(m 2) m 1 ＋ － 类型三　复数相等的条件及应用(数学运算) 【典例】1.若复数z=(m+1)+(m2-9)i<0,则实数m的值等于__________.  2.已知实数x满足x2+x-2xi=-3m+i,求实数m的值. 【思路导引】1.等价转化为虚部为零,且实部小于零; 2.根据复数相等的充要条件求解. 【解析】1.因为z<0,所以 所以m=-3. 答案:-3 2. 所以x=- 且 +3m=0,所以m= . 2m 9 0 m 1 0    － ＝ ＋ ， 2x x 3m 2x 1       ， ， 1 2 1 2 21 1 2 2 （ ）－ 1 12 【解题策略】 　复数相等问题的解题技巧 1.必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组求 解. 2.根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题,为应用方程思想提供了条件, 同时这也是复数问题实数化思想的体现. 【跟踪训练】 　已知x2-y2+2xyi=2i,则实数x,y的取值分别为________.  【解析】因为x2-y2+2xyi=2i, 所以 解得 或 答案:1,1或-1,-1 2 2x y 0 2xy 2    － ＝ ， ＝ ， x 1 y 1    ＝ ， ＝ ， x 1 y 1.    ＝－ ， ＝－ 1.若复数2-bi(b∈R)的实部与虚部之和为零,则b的值为 (　　) A.2 　　　B. 　　　C.- 　　　D.-2 【解析】选A.由复数2-bi(b∈R)的实部与虚部之和为零,得2-b=0,即b=2. 课堂检测·素养达标 2 3 2 3 2.已知a为实数,若复数z=(a2-1)+(a+1)i为纯虚数,则复数z的虚部为(　　) A.1 B.2i C.±1 D.2 【解析】选D.由已知 解得a=1,故z=2i,其虚部为2. 2a 1 0 a 1 0      － ， ， 3.(教材二次开发:练习改编)以 i- 的虚部为实部,以8i2+ i的实部为虚 部的复数是________.  【解析】 i- 的虚部为 ,8i2+ i=-8+ i的实部为-8. 答案: -8i 5 5 2 5 5 5 2 2 5 4.若实数x,y满足x+yi=-1+ i(i是虚数单位),则xy=________.  【解析】因为x+yi=-1+ i,所以 解得 因此,xy= . 答案: x y（ － ） x y（ － ） x 1 y x y    － ， － ， x 1 1y 2   － ， － ， 1 2 1 2 三十五　复数的概念 【基础通关--水平一】 (15分钟　30分) 1.(2020·武威高一检测)i2+i是 (　　) A.实数 B.虚数 C.0 D.1 【解析】选B.因为i2=-1所以i2+i=-1+i,-1+i为虚数. 课时素养评价 2.若复数z=(m+2)+(m2-9)i(m∈R)是正实数,则实数m的值为 (　　) A.-2 B.3 C.-3 D.±3 【解析】选B.由题知 解得m=3.2m 9 0, m 2 0    － ＝ ＋ ＞ ， 3.设a,b∈R.“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的 (　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选B.因为a,b∈R.a=0时,复数a+bi不一定是纯虚数.复数a+bi是纯虚 数,则a=0一定成立.所以a,b∈R.“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充 分条件. 【补偿训练】 　　设m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m=　　　　.   【解析】 ⇒m=-2. 答案:-2 2 2 m m 2 0 m 1 0   ＋ － ＝ － 4.z1=m2-3m+m2i,z2=4+ i,m为实数,若z1=z2,则m的值为 (　　) A.4 B.-1 C.6 D.0 【解析】选B.由题意 解得m=-1. 5m 6（ ） 2 2 m 3m 4 m 5m 6     － ， ， 5.如果(m2-1)+(m2-2m)i>1则实数m的值为　　　　. 【解析】由题意得 解得m=2. 答案:2 2 2 m 2m 0 m 1 1   － ＝ ， － ＞ ， 6.(2020·沈阳高一检测)若a+bi=i2,其中a,b∈R,i是虚数单位,则a+b=　　　 　.  【解析】由a+bi=i2⇒a+bi=-1 ⇒a=-1,b=0⇒a+b=-1. 答案:-1 【基础通关--水平二】 (20分钟　40分) 一、单选题(每小题5分,共15分) 1.(2020·南宁高一检测)若复数z满足z=1-2i,i为虚数单位,则z的虚部为(　 　) A.-2i B.2 C.-2 D.2i 【解析】选C.因为z=1-2i,所以z的虚部为-2. 2.已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是 (　　) A. ,1　 B. ,5 C.± ,5　 D.± ,1 【解析】选C.令 得a=± ,b=5. 2 2 2 2 2a 2, 2 b 3    ＝ － ＋ ＝ ， 2 3.(2020·济南高一检测)若4-3a-a2i=a2+4ai ,则实数a= (　　) A.2　 B.-2　 C.4 　 D.-4 【解析】选D.由题意 解得a=-4. a R（ ） 2 2 4 3a a a 4a    － ， － ， 　【补偿训练】 　(2020·哈尔滨高一检测)已知复数z=sin θ- 为纯虚数,则 tan θ=(　　) A.-2 　 　B.- 　 　C. 　 　D.2 2 2 1cos i3 3  （ － ） 2 2 4 2 4 2 【解析】选A.因为z=sin θ- 为纯虚数, 所以 解得sin θ= ,根据sin2θ+cos2θ=1,cos θ≠ , 可得cos θ=- .则tan θ= =-2 . 2 2 1cos i3 3  （ － ） 2 2sin 03 1cos 03       － ， － ， 2 2 3 1 3 1 3 sin cos   2 二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分) 4.下列命题错误的是 (　　) A.(a2+1)i(a∈R)是纯虚数 B.-i2=-1 C.若a>b,则a+i>b+i D.若z∈C,则z2>0 【解析】选BCD.∀a∈R,a2+1>0恒成立,所以A正确;-i2=- =1,B错误; 虚数无法比较大小,C错误; 若z=i,则z2=-1<0,D错误. 1（－ ） 【补偿训练】 　　(多选题)(2020·潍坊高一检测)已知i为虚数单位,下列命题中正确的是 (　　) A.若a≠0,则ai是纯虚数 B.虚部为- 的虚数有无数个 C.实数集是复数集的真子集 D.两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等 2 【解析】选BCD.对于A,若a=i,则ai=i2=-1,不是纯虚数,故A错误;对于B,虚部 为- 的虚数可以表示为m- i(m∈R),有无数个,故B正确;根据复数的分类, 判断C正确; 两个复数相等一定能推出实部相等,必要性成立,但两个复数的实部相等推不 出两个复数相等,充分性不成立,故D正确. 2 2 三、填空题(每小题5分,共10分) 5.(2020·巴楚高一检测)如果 其中x,y为实 数,则2x+y=　　　　.  【解析】因为 x,y∈R,所以 解得 所以2x+y=6. 答案:6 x y y 1 i 2x 3y 2y 1 i     （ ）（ － ） （ ）（ ） ， x y y 1 i 2x 3y 2y 1 i     （ ）（ － ） （ ）（ ） ， x y 2x 3y y 1 2y 1       － ， x 4 y 2,    － 6.复数z=cos +isin ,且θ∈ ,若z是实数,则θ的值 为　　　　;若z为纯虚数,则θ的值为　　　　. 【解析】若z为实数,则sin =cos θ=0, 又因为θ∈ ,所以θ=± .若z为纯虚数,则有 所以θ=0. 答案:± 　0 2  （ ＋ ） 2  （ ＋ ） 2 2       － ， 2  （ ＋ ） 2 2       － ， 2  cos( ) sin 02 sin( ) cos 02 2 2                  ＋ ＝－ ＝ ， ＋ ＝ ， － ， ， 2  四、解答题 7.(10分)(2020·阳江高一检测)设复数z= 其中a∈R,当 a取何值时:(1)z∈R; (2)z是纯虚数;(3)z是零. 2 2a a 2 a 7a 6 i  （ － ）（ － ） ， 【解析】(1)当a2-7a+6=0,即a=1或a=6时,z∈R; (2)当 即a=-2时z是纯虚数; (3)当 即a=1时,z是零. 2 2 a a 2 0 a 7a 6 0      － ， － ， 2 2 a a 2 0 a 7a 6 0      － ， － ， 【补偿训练】 　　(2020·上海高一检测)设z= (m∈R),若Re z≥ Im z,求实数m的取值范围. 【解析】由题意可知Re z=m2-2m-2,Im z=2m2+3m+4, 因为Re z≥Im z,所以m2-2m-2≥2m2+3m+4,即m2+5m+6≤0解得-3≤m≤-2. 2 2(m 2m 2) (2m 3m 4)i  － －