2020-2021年新高三数学一轮复习考点：充分条件与必要条件 5页

2020-2021 年新高三数学一轮复习考点：充分条件与必要条件 该考点常常结合不等式、三角函数、数列、圆锥曲线、立体几何等知识进行综合考查，注意充分条件和 必要条件的区别，考查比较频繁，在历年高考题中时常以选择题的形式出现，难度较小。 一、充分、必要条件的判定； 二、充分、必要条件的应用； 三、充要条件的探求。 【易错警示】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当 q 是 p 的必要条件时，p 是 q 的充分条件．( ) (2)已知集合 A，B，则 A∪B＝A∩B 的充要条件是 A＝B.( ) (3)q 不是 p 的必要条件时，“p⇏q”成立．( ) (4)若 p⇒q，则 p 是 q 的充分不必要条件．( ) 答案：（1）√ （2）√ （3）√ （4）× 充分、必要条件的判定 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件 p 是 q 的充分不必要条件 p⇒q 且 q⇏p p 是 q 的必要不充分条件 p⇏q 且 q⇒p p 是 q 的充要条件 p⇔q p 是 q 的既不充分也不必要条件 p⇏q 且 q⇏p 【知识拓展】 若条件 p，q 以集合的形式出现，即 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由 A⊆B 可得，p 是 q 的充分条件，请写出 集合 A，B 的其他关系对应的条件 p，q 的关系． 提示 若 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件； 若 A⊇B，则 p 是 q 的必要条件； 若 A B，则 p 是 q 的必要不充分条件； 若 A＝B，则 p 是 q 的充要条件； 若 A⊈B 且 A⊉B，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件． 充分条件、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据 p⇒q，q⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题． (2)集合法：根据 p，q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题． 【典例】 例 1．设命题 p：x>4；命题 q：x2－5x＋4≥0，那么 p 是 q 的______________条件．(选填“充分不必要”必 要不充分“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要 解析 由 x2－5x＋4≥0 得 x≤1 或 x≥4，可知{x|x>4}是{x|x≤1 或 x≥4}的真子集，∴p 是 q 的充分不必要条 件． 例 2．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非 有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( ) A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 答案 D 解析 非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件． 例 3．设 p： 1 2 x<1，q：log2x<0，则 p 是 q 的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 B 解析 由 1 2 x<1 知 x>0，所以 p 对应的集合为(0，＋∞)，由 log2x<0 知 00)；q： x－1 2x－1>0.若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 m 的取值范围为__________． 答案 (0,2] 解析 由|2x＋1|0)，得－m<2x＋10，得 x<1 2或 x>1. ∵p 是 q 的充分不必要条件， ∴m－1 2 ≤1 2，∴04 C．a≥1 D．a>1 答案 B 解析要使“对任意 x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题，只需要 a≥4，所以 a>4 是命题为真的充分不必要条件． (2)(2020·武汉质检)关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是________． 答案 ac<0 解析 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是   Δ＝b2－4ac>0， c a<0. ，即ac<0.