【数学】2019届一轮复习全国通用版第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件学案 11页

第2讲　命题及其关系、充分条件与必要条件 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.理解命题的概念．‎ ‎2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．‎ ‎3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．‎ ‎2017·全国卷Ⅰ，3‎ ‎2017·天津卷，4‎ ‎2017·北京卷，6‎ ‎2016·四川卷，7‎ ‎2016·浙江卷，4‎ ‎1.判断命题的真假．‎ ‎2．写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题等．‎ ‎3．常以函数、不等式等其他知识为载体，考查一个命题是另一个命题的什么条件．‎ ‎4．考题多以选择题、填空题形式出现．‎ 分值：5分 ‎1．命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以__判断真假__的陈述句叫做命题，其中__判断为真__的语句叫做真命题，__判断为假__的语句叫做假命题．‎ ‎2．四种命题及其相互关系 ‎(1)四种命题间的相互关系 若原命题为：若p则q，则逆命题为__若q，则p__，否命题为__若綈p，则綈q__，逆否命题为__若綈q，则綈p__.‎ ‎(2)四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题，它们有__相同__的真假性；‎ 两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性__无关__.‎ ‎3．充分条件与必要条件 ‎(1)若p⇒q，则p是q的__充分__条件，q是p的__必要__条件．‎ ‎(2)若p⇒q，且qp，则p是q的__充分不必要__条件．‎ ‎(3)若pq，且q⇒p，则p是q的__必要不充分__条件．‎ ‎(4)若p⇔q，则p是q的__充要__条件．‎ ‎(5)若pq，且qp，则p是q的__既不充分也不必要__条件．‎ ‎(6)若p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的__充分不必要__条件．‎ ‎4．用集合关系判断充分条件、必要条件 以p：x∈A，q：x∈B的形式出现．‎ ‎(1)若p是q的充分条件，则A__⊆__B.‎ ‎(2)若p是q的必要条件，则B__⊆__A.‎ ‎(3)若p是q的充分不必要条件，则A__?__B.‎ ‎(4)若p是q的必要不充分条件，则B__?__A.‎ ‎(5)若p是q的充要条件，则A__＝__B.‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“?”)．‎ ‎(1)语句x2－3x＋2＝0是命题．(　?　)‎ ‎(2)一个命题的逆命题与否命题，它们的真假没有关系．(　?　)‎ ‎(3)命题“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．　(　√　)‎ ‎(4)“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”表达的意义相同．(　?　)‎ 解析　(1)错误．无法判断真假，故不是命题．‎ ‎(2)错误．一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题 ，它们的真假性相同．‎ ‎(3)正确．一个命题与其逆否命题等价．‎ ‎(4)错误．“p是q的充分不必要条件”即为“p⇒q且qp”，“p的充分不必要条件是q”即为“q⇒p且pq ”. ‎ ‎2．下列命题为真命题的是(　A　)‎ A．若＝，则x＝y　　　 B．若x2＝1，则x＝1‎ C．若x＝y，则＝　　　 D．若xb，则a－1>b－‎1”‎的否命题是(　C　)‎ A．若a>b，则a－1≤b－1　　　 B．若a>b，则a－11，则x2>‎1”‎的否命题 B．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题 C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝‎0”‎的否命题 D．命题“若x2>1，则x>‎1”‎的逆否命题 ‎(4)已知命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤‎1”‎，则下列结论正确的是(　D　)‎ A．否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>‎1”‎，是真命题 B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题 C．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题 D．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题 解析　(1)根据否命题的定义可知，命题“若a>b，则a－1>b－‎1”‎的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－‎1”‎．‎ ‎(2)将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.‎ ‎(3)对于A项，否命题为“若x≤1，则x2≤‎1”‎，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故A项为假命题；对于B项，逆命题为“若x>|y|，则x>y”，分析可知B项为真命题；对于选项C，否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠‎0”‎，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故C项为假命题；对于D项，逆否命题为“若x≤1，则x2≤‎1”‎，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故D项为假命题．‎ ‎(4)由f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝ex－m≥0恒成立，∴m≤1，∴命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤‎1”‎是真命题，∴其逆否命题是真命题．‎ 二　充分、必要条件的判断 充要条件的三种判断方法 ‎(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．‎ ‎(2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．‎ ‎(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，常用的是逆否等价法．‎ ‎①綈q是綈p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件；‎ ‎②綈q是綈p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件；‎ ‎③綈q是綈p的充要条件⇔p是q的充要条件．‎ ‎【例2】 (1)“a＝2”是“函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[2，＋∞)上为增函数”的(　A　)‎ A．充分不必要条件　　　　‎ B．必要不充分条件 C．充要条件　　　　‎ D．既不充分也不必要条件 ‎(2)设θ∈R，则“|θ－<”是“sin θ<”的(　A　)‎ A．充分而不必要条件　　　 B．必要而不充分条件 C．充要条件　　　 D．既不充分也不必要条件 解析　(1)“a＝2”⇒“函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[2，＋∞)上为增函数”，但反之不成立．‎ ‎(2)由|θ－<，得0<θ<，故sin θ<.由sin θ<，得－＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z.得不到|θ－<.‎ 三　根据充分、必要条件求参数的取值范围 根据充分、必要条件求参数取值范围的注意点 解决此类问题常将充分、必要条件问题转化为集合间的子集关系求解．但是，在求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的验证，不等式中的等号是否能够取得决定着端点的取值．‎ ‎【例3】 (1)(2018·江西南昌高三模拟)已知条件p：|x－4|≤6；条件q：(x－1)2－m2≤0(m>0)，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是(　B　)‎ A．[21，＋∞)　　　 B．[9，＋∞)‎ C．[19，＋∞)　　　 D．(0，＋∞)‎ ‎(2)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为__[0,3]__.‎ 解析　(1)条件p：－2≤x≤10，条件q：1－m≤x≤m＋1，又p是q的充分不必要条件，故有解得m≥9.‎ ‎(2)由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}，‎ 由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P，又集合S非空．‎ 则∴0≤m≤3.∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．‎ ‎1．“直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交”是“00)；q：>0.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为__(0,2]__.‎ 解析　由|2x＋1|0)，得－m<2x＋10，得x<或x>1.∵p是q的充分不必要条件，又m>0，∴≤，∴03，即m>2.‎ 易错点2　不会“正难则反”‎ 错因分析：以否定形式给出的命题不易直接解决时，不要忘记了判断与之等价的逆否命题．‎ ‎【例2】 已知条件甲：“a＋b≠‎4”‎，条件乙：“a≠1且b≠‎3”‎，则甲是乙的________条件．‎ 解析　直接看甲、乙之间的推出关系易产生错误．由逆否命题与原命题的等价性可转化为判断“a＝1或b＝‎3”‎是“a＋b＝‎4”‎的什么条件．易知应为既不充分也不必要条件．‎ 答案 既不充分也不必要 ‎【跟踪训练2】 (2018·福建南平一模)“tan α≠”是“α≠”的(　D　)‎ A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 解析　tan α≠⇔α≠＋kπ(k∈Z)，故“tan α≠”是“α≠”的充分不必要条件，故选D．‎ 课时达标　第2讲 ‎[解密考纲]考查命题及其相互关系、充分条件及必要条件的定义，与高中所学知识交汇考查，常以选择题、填空题的形式呈现，考卷中常排在靠前的位置．‎ 一、选择题 ‎1．(2018·湖南衡阳五校联考)命题“若x≥a2＋b2，则x≥2ab”的逆命题是(　D　)‎ A．若x0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题 C．“x＝‎4”‎是“x2－3x－4＝‎0”‎的充分条件 D．命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝‎0”‎的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠‎‎0”‎ 解析　命题“若x2－3x－4＝0，则x＝‎4”‎的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠‎0”‎，故A项正确；命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>‎0”‎，由Δ＝1＋‎4m≥0， 解得m≥－，是假命题，故B项错误；x＝4时，x2－3x－4＝0，是充分条件，故C项正确；命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝‎0”‎的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠‎0”‎，故D项正确，故选B．‎ ‎3．(2018·山东淄博期中)“x(x－5)<0成立”是“|x－1|<4成立”的(　A　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　∵x(x－5)<0⇔02 018且a>－b”的逆否命题是__若a＋b≤2018或a≤－b，则a＜b__.‎ 解析　若a＋b≤2 018或a≤－b，则a9__.‎ 解析　设f(x)＝x2－mx＋‎2m，‎ 由f(x)＝0有一根大于3一根小于3，及f(x)的图象得f(3)<0，解得m>9，即方程x2－mx＋‎2m＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是m>9.‎ ‎9．已知“命题p：(x－m)2>3(x－m)”是“命题q：x2＋3x－4<0成立”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为__(－∞，－7]∪[1，＋∞)__.‎ 解析　由(x－m)2>3(x－m)，得(x－m)(x－m－3)>0，解得xm＋3.由x2＋3x－4<0，得(x－1)·(x＋4)<0，解得－4m＋3}，所以m＋3≤－4或m≥1，解得m≤－7或m≥1.所以m的取值范围为(－∞，－7]∪[1，＋∞)．‎ 三、解答题 ‎10．写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有实数解，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．‎ 解析　(1)逆命题：已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有实数解，为真命题．‎ ‎(2)否命题：已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有实数解，则a2<4b，为真命题．‎ ‎(3)逆否命题：已知a，b∈R，若a2<4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有实数解，为真命题．‎ ‎11．已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B ‎”的充分条件，求实数m的取值范围．‎ 解析　y＝x2－x＋1＝2＋，‎ ‎∵≤x≤2，∴≤y≤2，‎ ‎∴A＝≤y≤2.‎ 由x＋m2≥1，得x≥1－m2，∴B＝{x|x≥1－m2}，‎ ‎∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，‎ ‎∴A⊆B，∴1－m2≤，解得m≥或m≤－，‎ 故实数m的取值范围是∪.‎ ‎12．已知p：x2－8x－20≤0；q：x2－2x＋1－m4≤0.‎ ‎(1)若p是q的必要条件，求m的取值范围；‎ ‎(2)若綈p是綈q的必要不充分条件，求m的取值范围．‎ 解析　由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，‎ 即p：－2≤x≤10，q：1－m2≤x≤1＋m2.‎ ‎(1)若p是q的必要条件，则[1－m2,1＋m2]⊆[－2,10]，‎ 所以即即m2≤3，解得－≤m≤，‎ 即m的取值范围是[－，]．‎ ‎(2)∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．‎ 即即m2≥9，解得m≥3或m≤－3.‎ 即m的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．‎