河南省名师联盟2020届高三入学调研考试数学（文）试题 Word版含解析 22页

www.ks5u.com ‎2020届高三入学调研考试卷 文科数学 注意事项：‎ ‎1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.‎ ‎2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.‎ ‎3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.‎ ‎4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合2，，，则　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用交集的定义求解.‎ ‎【详解】，，则，选.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的运算，属基础题.‎ ‎2.若，则复数z的虚部是 A. 1 B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以根据复数的运算法则对复数进行化简，将复数化简为的形式，再通过复数的虚部的相关概念即可得出结果．‎ ‎【详解】，‎ - 22 -‎ 所以复数的虚部为．‎ ‎【点睛】本题考查复数的相关性质，主要考查复数的运算法则以及虚部的相关概念，考查计算能力，提高了学生对于复数运算的掌握，是简单题．‎ ‎3.现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得基本事件的总数为，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，‎ 基本事件的总数为，‎ 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为,‎ 所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎4.如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）‎ - 22 -‎ A. 134 B. 67 C. 182 D. 108‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论.‎ ‎【详解】解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为， 则小正方形的边长为，小正方形的面积， 则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为 ‎， 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键.‎ ‎5.已知，则的值域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二倍角余弦公式可得，再令，将函数化为二次函数的形式，配方即可求解.‎ ‎【详解】由，‎ 设，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 即的值域为.‎ 故选：D - 22 -‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的值域、同时考查了二倍角的余弦公式，二次函数配方求最值，解答此题注意换元中自变量的取值范围，属于基础题.‎ ‎6.已知正项等比数列满足：，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将已知条件转化为等比数列的基本量首项和公比，根据条件列出方程组，解出，再得到答案.‎ ‎【详解】设等比数列的公比为，‎ 因为，，‎ 所以，解得，‎ 故前4项的和，‎ 故选项.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列中基本量的计算，属于简单题.‎ ‎7.设、满约束条件，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出约束条件的可行域，利用简单的线性规划即可求解.‎ 详解】由、满约束条件作出可行域如图，‎ - 22 -‎ 联立，解得，‎ 化目标函数为，‎ 由图可得，当直线过点时，‎ 直线在轴上的截距最大，有最小值为.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出约束条件的可行域以及理解目标函数表示的几何意义，属于基础题.‎ ‎8.函数的大致图象是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由于，，且，‎ 故此函数是非奇非偶函数，排除；又当时，满足，即 - 22 -‎ 的图象与直线的交点中有一个点的横坐标为，排除， 故选B．‎ ‎【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除 ‎9.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的S的值是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以通过程序框图明确输入的数值以及程序框图中所包含的关系式，然后按照程序框图所包含的关系式进行循环运算，即可得出结果．‎ ‎【详解】由程序框图可知，输入，，，‎ 第一次运算：，；‎ 第二次运算：，；‎ 第三次运算：，；‎ 第四次运算：，；‎ 第五次运算：，；‎ - 22 -‎ 第六次运算：，；‎ 第七次运算：，；‎ 第八次运算：，；‎ 第九次运算：，；‎ 第十次运算：，，‎ 综上所述，输出结果为，故选B．‎ ‎【点睛】本题考查程序框图的相关性质，主要考查程序框图的循环结构以及裂项相消法的使用，考查推理能力，提高了学生从题目中获取信息的能力，体现了综合性，提升了学生的逻辑推理、数学运算等核心素养，是中档题．‎ ‎10.已椭圆：和双曲线：，若椭圆的离心率，椭圆和双曲线渐近线的交点与椭圆焦点的连线垂直于x轴则双曲线一条渐近线的斜率为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆以及双曲线的半焦距，求出双曲线的渐近线与椭圆的交点坐标，然后求解双曲线的渐近线的斜率即可．‎ ‎【详解】解：设椭圆的半焦距为c1，双曲线的半焦距为c2，双曲线的一条渐近线与椭圆的交点（c1，），‎ 所以双曲线的渐近线的斜率为：k，‎ 故选D．‎ - 22 -‎ ‎【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ ‎11.已知函数的图象与直线相切，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出，设切点横坐标为，根据导数的几何意义可得，再由切点在曲线上可得，解方程组即可求解.‎ ‎【详解】由，得，‎ 设切点横坐标为，依题意得，并且，‎ 解得，则实数的值为.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义以及由切线方程求参数值，解题的关键是求出导函数，需熟记基本初等函数的导数以及导数的运算法则，属于基础题.‎ ‎12.已知是偶函数，且对任意，，设，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得偶函数在上为增函数，可将问题转化为判断到y轴的距离的大小问题求解．‎ - 22 -‎ ‎【详解】∵对任意，，‎ ‎∴函数在上为增函数．‎ 又函数为偶函数，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增．‎ 又，‎ ‎∴，即．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】已知函数为偶函数判断函数值的大小时，由于函数在对称轴两侧的单调性不同，所以可根据单调性将比较函数值大小的问题转化为比较变量到对称轴的距离的大小的问题求解，解题时可结合图象进行求解，考查判断和计算能力，属于中档题．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13.已知，，，则__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量坐标的线性运算可得，再根据向量垂直的坐标表示即可求解.‎ ‎【详解】；‎ ‎，，；‎ ‎；.‎ 故答案为：2‎ ‎【点睛】本题考查了向量数量积坐标表示、向量模的坐标求法，属于基础题.‎ ‎14.已知数列的前项和公式为，则数列的通项公式为___．‎ ‎【答案】‎ - 22 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，根据数列的通项与前n项和之间的关系，即可求得数列的通项公式．‎ ‎【详解】由题意，可知当时，；‎ 当时，. ‎ 又因为不满足，所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用数列的通项与前n项和之间的关系求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的通项与前n项和之间的关系，合理准确推导是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎15.已知抛物线的焦点F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，则的最小值是______．‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 联立方程组消元，由根与系数的关系得出A，B横坐标＝4，利用抛物线的性质得出|FA|+4|FB|4+10，根据基本不等式得出最值．‎ ‎【详解】解：抛物线y2＝8x的焦点F（2，0），‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则|FA|+4|FB|＝x1+2+4（+2）＝+4+10，‎ 当直线AB斜率不存在时，|FA|+4|FB|＝2+4×2+10＝20，‎ 当直AB斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k（x﹣2），‎ 代入y2＝8x得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0，∴＝4，∴|FA|+4|FB|4+10≥210＝18，‎ 当且仅当x1＝1时取等号．‎ - 22 -‎ ‎|FA|+4|FB|的最小值是18．‎ 故答案为18．‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查均值不等式，属于中档题．‎ ‎16.《九章算术》卷第五《商功》中，有“假令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺：下底面宽3尺，长4尺，高1尺（如图，刍童为上下底面为相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体）”.若该几何体所有顶点在一球体的表面上，则该球体的表面积为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可得球心在几何体的外部，设球心到几何体下底面的距离为，从而可得，解方程可得，再利用球的面积公式即可求解.‎ ‎【详解】由已知得球心在几何体外部，‎ 设球心到几何体下底面的距离为，‎ 则，解得，‎ ‎，该球体的表面积.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了几何体的外接球问题，需熟记球的表面积公式，属于基础题.‎ 三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.某学校为培养学生的兴趣爱好，提高学生的综合素养，在高一年级开设各种形式的校本课程供学生选择（如书法讲座、诗歌鉴赏、奥赛讲座等）.现统计了某班50名学生一周用在兴趣爱好方面的学习时间（单位：）的数据，按照，，，，分成五组，得到了如下的频率分布直方图. ‎ - 22 -‎ ‎（1）求频率分布直方图中的值；‎ ‎（2）求该班学生一周用在兴趣爱好方面的平均学习时间.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率分布直方图，使小矩形的面积之和等于即可求解.‎ ‎（2）根据频率分布直方图中平均数小矩形的面积小矩形底边中点横坐标之和即可求解.‎ ‎【详解】（1）由频率分布直方图得：，解得.‎ ‎（2）学生平均学习时间为：.‎ ‎【点睛】本题考查了补全频率分布直方图、根据频率分布直方图求平均数，属于基础题.‎ ‎18.如图，在四边形ABCD中，，，.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若，，求AD的长.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在△ABC中，利用三角形的面积得AB＝BC，由，进而利用三角形内角和得∠ACB - 22 -‎ ‎；‎ ‎（2）由（1）与已知可求∠ACD＝，在△ABC中，由余弦定理可得AC，在△ACD中，由正弦定理可得AD．‎ ‎【详解】（1）在△ABC中，S△ABC＝AB•BC•sin∠ABC，得sin＝，‎ ‎∴，∴AB＝BC，又∵，∴∠ACB；‎ ‎（2）∵BC⊥CD，由（1）得∠ACD，在△ABC中，‎ 由余弦定理可得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos＝（）2+（）2﹣2×＝9，‎ ‎∴AC＝3，∴在△ACD中，由正弦定理可得：AD＝＝＝．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，三角形内角和定理，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．‎ ‎19.如图，在四棱锥中，平面 平面，，， .‎ ‎(1)证明 ‎ ‎(2)设点在线段上，且，若的面积为，求四棱锥的体积 - 22 -‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）推导出BA⊥AD，BA⊥PD，AP⊥PD，从而PD⊥平面PAB，由此能证明PD⊥PB．‎ ‎（2）设AD＝2a，则AB＝BC＝AP＝a，PDa，，得为等腰三角形，利用推得面积，进而求出a＝2，由此能求出四棱锥P﹣ABCD的体积．‎ ‎【详解】(1) 平面平面 ，‎ 平面，， ‎ 在中，，，‎ 由正弦定理可得： ，，∴PD⊥PA,又PA∩AB=A,‎ ‎∴ 平面，.‎ ‎(2)取的中点，连结， ，设AD＝2a，则AB＝BC＝AP＝a，PDa,则，∴为等腰三角形，且底边BC上的高为 ‎，的面积为. ‎ 的面积为，解得：，‎ 四梭锥的体积为 .‎ ‎【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ - 22 -‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）当时，，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导之后，通过对分子的二次函数的图像进行讨论，依次得到在不同范围中时，导函数的符号，从而求得单调区间；（2）根据（1）中所求在不同范围时的单调区间，得到的图像，通过图像找到恒成立所需条件，从而求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎①当时，‎ 令，解得，，且 当时，；当时，‎ 所以，的单调递增区间是，单调递减区间是和；‎ ‎②当时，‎ 所以，的单调递增区间是，单调递减区间是；‎ ‎③当时，令，解得，，并且 当时，；当时，.‎ - 22 -‎ 所以的单调递增区间是和，单调递减区间是；‎ ‎④当时，，所以的单调递增区间是 ‎⑤当时，令，解得，，且 当时，；当时，‎ 所以，的单调递减区间是，单调递增区间是和 ‎（2）由及（1）知，‎ ‎①当时，，不恒成立，因此不合题意；‎ ‎②当时，需满足下列三个条件：‎ ‎⑴极大值：，得 ‎⑵极小值：‎ ‎⑶当时，‎ 当时，，，故 所以；‎ ‎③当时，在单调递增，‎ 所以；‎ ‎④当时，‎ - 22 -‎ 极大值：‎ 极小值：‎ 由②中⑶知，解得 所以 综上所述，的取值范围是 ‎【点睛】本题考查利用导数讨论含有参数的函数的单调性问题以及导数恒成立问题，难点在于需要根据的不同范围，准确得到函数的单调性.讨论含有参数的函数单调性，通常结合二次函数图像确定二次函数的符号，主要从以下三个角度考虑：①开口方向；②判别式；③根的大小关系.‎ ‎21.已知椭圆C：的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线相切．‎ ‎1求椭圆C的标准方程；‎ ‎2设过椭圆右焦点且不重合于x轴的动直线与椭圆C相交于A、B两点，探究在x轴上是否存在定点E，使得为定值？若存在，试求出定值和点E的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）定点为.‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）根据一个焦点与短轴两端点的连线相互垂直，以椭圆的长轴为直径的圆与直线相切，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 、，即可得结果；(2) 设直线联立，得 - 22 -‎ ‎. 假设轴上存在定点，由韦达定理，利用平面向量数量积公式可得，要使为定值，则的值与无关，所以，从而可得结果.‎ 详解：（1）由题意知，，解得 则椭圆的方程是 ‎（2）①当直线的斜率存在时，设直线 联立，得 所以 假设轴上存在定点，使得为定值。‎ 所以 要使为定值，则的值与无关，‎ 所以 解得，‎ 此时为定值，定点为 - 22 -‎ ‎②当直线的斜率不存在时，，也成立 所以，综上所述，在轴上存在定点，使得为定值 点睛：本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎【选修4−4：坐标系与参数方程】‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)把的参数方程化为极坐标方程：‎ ‎(2)求与交点的极坐标.‎ ‎【答案】（1）（2）与交点的极坐标为，和 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先把曲线化成直角坐标方程，再化简成极坐标方程；‎ ‎（2）联立曲线和曲线的方程解得即可.‎ ‎【详解】(1)曲线的直角坐标方程为：，即 . 的参数方程化为极坐标方程为；‎ - 22 -‎ ‎(2)联立可得：，与交点的极坐标为，和.‎ ‎【点睛】本题考查了参数方程，直角坐标方程，极坐标方程的互化，也考查了极坐标方程的联立，属于基础题.‎ ‎【选修4-5：不等式选讲】‎ ‎23.已知函数．‎ ‎(1)当时，解不等式；‎ ‎(2)若的值域为[2，+∞)，求证：.‎ ‎【答案】(1)或；(2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）代入a，b的值，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出a+b＝2，根据绝对值不等式的性质证明即可．‎ ‎【详解】(1)解：当a=b=1时，‎ i)当时，不等式可化为：，即，所以 ii)当时，不等式可化为：2>x+2，即x<0，所以 iii)当x>1时，不等式可化为：2x>x+2，即x>2，所以x>2‎ 综上所述：不等式的解集为 ‎(2)证明，‎ ‎∵f(x)的值域为，∴a+b=2，‎ ‎∴a+1+b+1=4‎ ‎∴‎ - 22 -‎ ‎，‎ 当且仅当，即a=b=1时取“=”‎ 即.‎ ‎【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，熟练利用绝对值三角不等式得到a,b的关系是关键，是一道中档题．‎ - 22 -‎ - 22 -‎