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- 2021-06-16 发布
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专题十八 等差数列和等比数列
【等差数列的通项公式】
等差数列的定义:
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做公差,用符号语言表示为an+1-an=d。
an=a1+(n-1)d,n∈N*。
an=dn+a1-d,d≠0时,是关于n的一次函数,斜率为公差d;
an=kn+b(k≠){an}为等差数列,反之不能。
【等差数列的前n项和的公式】
【数列求和的常用方法】
1.裂项相加; 2、错位相减; 3、倒序相加法。4、分组转化法。5、公式法求和
等差数列的前n项和的公式:
【等差数列求解与证明的基本方法】
(1)学会运用函数与方程思想解题;
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键;
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量:a1,d,n,an,Sn,知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’).
【等比数列的通项公式】
等比数列的定义:
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做公比,公比通常用字母q表示(q≠0)。
an=a1qn-1,q≠0,n∈N*。
【等比数列的前n项和公式】
等比数列前n项和公式的变形
【2017年高考全国Ⅱ卷,文17】
已知等差数列的前项和为,等比数列的前项和为,.
(1)若,求的通项公式;
(2)若,求.
【答案】(1);(2)当 时,.当时,.
试题解析:设的公差为d,的公比为q,则,.由得
d+q=3.①
(1)由得②
联立①和②解得(舍去),
因此的通项公式为.
(2)由得.
解得.
当时,由①得,则.
当时,由①得,则.
【考点】等差、等比数列通项与求和
【点拨】在解决等差、等比数列的运算问题时,有两种处理思路:一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现,是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具,应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件,有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时,经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
答题思路
【命题意图】考查特殊数列的通项及前n项和或通项与前n项和间的递推关系,通过转化为等差数列或等比数列,考查数列运算及转化能力.
【命题规律】由递推关系求数列通项公式或特定项问题,有时以小题形式来考,主要以考查间的关系为主,通过转化为特殊数列求解;以解答题形式考查,会多步设问,通过提示或其他方式构造特殊数列求解.
【答题模板】作答数列问题,一般四个步骤:
1、判断所求解数列问题是否为等差等比数列问题;
2、利用等差、等比数列通项公式及前n项和公式列出等式或方程;
3、利用等差、等比定义将非等差、等比数列经过变形、构造等方法转化为等差、等比数列问题;
4、运用特殊方法求数列的前n项和,如错位相减法,分组求和或裂项求和法等.
【方法总结】
关于通项公式与前n项和间的递推关系问题,可以转化为项与的递推式,进而求;或者转化为与的递推式,先求,再求,其中转化关键为,通过转化为特殊数列或易求通项公式的递推式求解.
(一)主要知识:
有关等差、等比数列的结论
1.(1)等差数列证明方法:或;(2)等比数列的证明方法:或.
2. 等差数列的通项公式:,
或 .
3. 等差数列的前项和公式(由倒序相加法推得):
,.
4.数列是等差数列(为常数)
3.数列是等差数列 (为常数)
6.等差数列的任意连续项的和构成的数列仍为等差数列.
7.等差数列中,若,则
8.等比数列的通项公式: ().
9.当时: 或
当时:(有关等比数列的求和问题,当不能确定“”时,应分来讨论).
10.等比数列中,若,则
11.等比数列{an}的任意连续项的和构成的数列仍为等比数列.
12.两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列.
13.两个等比数列与的积、商、倒数的数列、、
仍为等比数列.
(二)主要方法:
1.解决等差数列和等比数列的问题时,通常考虑两类方法:①基本量法:即运用条件转化为关于和的方程;②巧妙运用等差数列和等比数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量.
2.深刻领会两类数列的性质,弄清通项和前项和公式的内在联系是解题的关键.
1.【2017年高考全国Ⅰ卷,文17】记Sn为等比数列的前n项和,已知S2=2,S3=−6.
(1)求的通项公式;
(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.
【答案】(1);(2),证明见解析.
(2)由(1)可得.
由于,
故,,成等差数列.
【考点】等比数列
【点拨】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现,是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具,应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件,有时需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时,经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
2.【2017年高考天津卷,文18】已知为等差数列,前n项和为,是首项为2的等比数列,且公比大于0,
.
(Ⅰ)求和的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前n项和.
【答案】(Ⅰ)..(Ⅱ).
试题解析:(Ⅰ)解:设等差数列的公差为,等比数列的公比为.由已知,得,而,所以.又因为,解得.所以,.
由,可得.由,可得,联立①②,解得,由此可得.
所以,的通项公式为,的通项公式为.
【考点】1.等差,等比数列;2.错位相减法求和.
【点拨】重点说说数列求和的一些方法:本题考查了数列求和,一般数列求和方法(1)分组转化法,一般适用于等差数列加等比数列,(2)裂项相消法求和,,
,等的形式,(3)错位相减法求和,一般适用于等差数列乘以等比数列,(4)倒序相加法求和,一般距首末两项的和是一个常数,这样可以正着写和和倒着写和,两式两式相加除以2得到数列求和,(5)或是具有某些规律求和.
3.【2017安徽阜阳二模】等比数列中, ,则数列前项和 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
4.【2017江西九江三模】已知数列为等比数列,若,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得: .
本题选择C选项.
5.【2017广西5月考前联考】已知等差数列的前项和为, ,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为,即,所以
,则,应选答案B.
6.【2017江西九江三模】已知数列的前 项和为 ,且满足,设,则数列的前 项和为__________.
【答案】
数列的前n项和为: .
点睛:使用裂项法求和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源与目的.
7.【2017河北唐山三模】是公差不为0的等差数列, 是公比为正数的等比数列, , , ,则数列的前项和等于__________.
【答案】
所以,整理得: .
方法点睛:用错位相减法求和时,要注意以下几个问题:(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“”的表达式;(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
8.【2017广东佛山二模】已知是等差数列, 是各项均为正数的等比数列,且, , .
(Ⅰ)求数列, 的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前项和.
【答案】(Ⅰ), ;(Ⅱ).
【解析】试题分析:(1)根据条件列出关于公差与公比的方程组,解方程组可得, ,再代入等差与等比数列通项公式,(2)利用错位相减法求和,注意相减时项的符号变化,中间部分利用等比数列求和时注意项数,最后要除以
试题解析:(Ⅰ)设数列的公差为, 的公比为,依题意得
解得, ,
所以,
【点拨】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式;(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
9.【2017重庆二诊】已知等差数列的前项和为, , .
(1)求;
(2)设数列的前项和为,证明: .
【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)见解析.
【解析】(1)由已知,根据等差数列的通项公式、前项公式,建立关于的方程,进行求解即可;(2)由(1)求出数列的通项公式,根据其表达式的特点,利用裂项求和的方法求出,由数列极限,从而不等式可得证.
试题解析:(Ⅰ) , ,
, ;
(Ⅱ)
.
10.【2017安徽马鞍山二模】已知数列是公差不为0的等差数列, ,且, , 成等比数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前2017项和.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】试题分析:(Ⅰ)等差数列的公差为,根据提议列出关于首项 和公差的方程组,解方程组即可得到结果;(Ⅱ) 根据数列每相邻四项的和为常数 ,可得数列的前2017项和.
11.【2017河北唐山二模】数列的前项和为, ,且.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若,求数列的前项和.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】试题分析:(Ⅰ)对已知等式利用化简整理得
,进而可推断出数列是一个以1为首项, 为公比的等比数列,根据等比数列的通项公式求得答案;(Ⅱ)利用错位相减法求结果.
试题解析:(Ⅰ)由,可得(),
两式相减,得,
,即,
故是一个以1为首项, 为公比的等比数列,
所以.
点睛:本题主要考查了等比数列的概念,以及数列的求和,属于高考中常考知识点,难度不大;常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式,分组求和类似于,其中和分别为特殊数列,裂项相消法类似于,错位相减法类似于,其中为等差数列, 为等比数列等.
12.【2017福建三明5月质检】已知数列的前项和为,且.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列前项和.
【答案】(I);(II).
试题解析:(Ⅰ) ,
当时, ,则,
当时, , ,
两式相减,得,所以.
所以是以首项为2,公比为2的等比数列,
所以.
(Ⅱ)因为,
,
,
两式相减,即得
,
,
,
,所以.
13.【2016年高考全国Ⅱ卷,文17】等差数列{}中,.
(Ⅰ)求{}的通项公式;
(Ⅱ) 设,求数列的前10项和,其中表示不超过的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)24.
【解析】
试题分析:(Ⅰ) 根据等差数列的通项公式及已知条件求,,从而求得;(Ⅱ)由(Ⅰ)求,再求数列的前10项和.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知.
当n=1,2,3时,;
当n=4,5时,;
当n=6,7,8时,;
当n=9,10时,.
所以数列的前10项和为.
【考点】等差数列的通项公式,数列的求和
【点拨】求解本题时常出现以下错误:对“表示不超过的最大整数”理解出错.
14.【2016年高考全国Ⅲ卷,文17】已知各项都为正数的数列满足,.
(I)求;
(II)求的通项公式.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
试题分析:(Ⅰ)将代入递推公式求得,将的值代入递推公式可求得;(Ⅱ)将已知的递推公式进行因式分解,然后由定义可判断数列为等比数列,由此可求得数列的通项公式.
试题解析:(Ⅰ)由题意,得.
(Ⅱ)由得.
因为的各项都为正数,所以.
故是首项为,公比为的等比数列,因此.
【考点】数列的递推公式、等比数列的通项公式
【点拨】等比数列的证明通常有两种方法:(1)定义法,即证明(常数);(2)中项法,即证明.根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形,转化为等比数列或等差数列来求解.