【数学】2020届一轮复习（文）人教通用版4-7解三角形的实际应用学案 16页

§4.7 解三角形的实际应用 最新考纲 考情考向分析 能够运用正弦定理、余弦定理等 知识和方法解决一些与测量和几 何计算有关的实际问题. 以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实 际问题为主，常与三角恒等变换、三角函数的性质结合 考查，加强数学知识的应用性．题型主要为选择题和填 空题，中档难度. 实际测量中的常见问题 求 AB 图形 需要测量的元素 解法 求 竖 直 高 度 底部 可达 ∠ACB＝α，BC＝a 解直角三角形 AB＝atan α 底部 不可达 ∠ACB＝α，∠ADB＝β，CD＝a 解两个直角三角形 AB＝ atan αtan β tan β－tan α 求 水 平 距 离 山两侧 ∠ACB＝α，AC＝b，BC＝a 用余弦定理 AB＝ a2＋b2－2abcos α 河两岸 ∠ACB＝α，∠ABC＝β，CB＝a 用正弦定理 AB＝ asin α sinα＋β 河对岸 ∠ADC＝α，∠BDC＝β，∠BCD ＝δ，∠ACD＝γ，CD＝a 在 △ADC 中 ， AC ＝ asin α sinα＋γ ；在△BDC 中， BC＝ asin β sinβ＋δ ；在△ABC 中，应用余弦定理求 AB 概念方法微思考 在实际测量问题中有哪几种常见类型，解决这些问题的基本思想是什么？ 提示 实际测量中有高度、距离、角度等问题，基本思想是根据已知条件，构造三角形(建 模)，利用正弦定理、余弦定理解决问题． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)从 A 处望 B 处的仰角为α，从 B 处望 A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝ 180°.( × ) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为 0，π 2 .( × ) (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( √ ) (4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是 0，π 2 .( √ ) 题组二 教材改编 2.如图所示，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C，测出 A，C 的距离为 50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出 A，B 两点的距离为 ________ m. 答案 50 2 解析 由正弦定理得 AB sin∠ACB ＝ AC sin B ， 又 B＝30°， ∴AB＝ACsin∠ACB sin B ＝ 50× 2 2 1 2 ＝50 2(m)． 3．如图，在山脚 A 测得山顶 P 的仰角为 30°，沿倾斜角为 15°的斜坡向上走 a 米到 B，在 B 处测得山顶 P 的仰角为 60°，则山高 h＝______米． 答案 2 2 a 解析 由题图可得∠PAQ＝α＝30°， ∠BAQ＝β＝15°，在△PAB 中，∠PAB＝α－β＝15°， 又∠PBC＝γ＝60°， ∴∠BPA＝(90°－α)－(90°－γ)＝γ－α＝30°， ∴在△PAB 中， a sin 30° ＝ PB sin 15° ， ∴PB＝ 6－ 2 2 a， ∴PQ＝PC＋CQ＝PB·sin γ＋asin β ＝ 6－ 2 2 a×sin 60°＋asin 15°＝ 2 2 a. 题组三 易错自纠 4．要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度，在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45°，在 D 点测 得塔顶 A 的仰角 30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为( ) A．10 2 m B．20 m C．20 3 m D．40 m 答案 D 解析 设电视塔的高度为 x m，则 BC＝x，BD＝ 3x.在△BCD 中，由余弦定理得 3x2＝x2＋ 402－2×40x×cos 120°，即 x2－20x－800＝0，解得 x＝－20(舍去)或 x＝40.故电视塔的高度为 40 m. 5．在某次测量中，在 A 处测得同一半平面方向的 B 点的仰角是 60°，C 点的俯角是 70°，则 ∠BAC＝________. 答案 130° 解析 60°＋70°＝130°. 6．海上有 A，B，C 三个小岛，A，B 相距 5 3 海里，从 A 岛望 C 和 B 成 45°视角，从 B 岛 望 C 和 A 成 75°视角，则 B，C 两岛间的距离是________海里． 答案 5 2 解析 由题意可知∠ACB＝60°，由正弦定理得 AB sin∠ACB ＝ BC sin∠BAC ，即 5 3 sin 60° ＝ BC sin 45° ，得 BC＝5 2. 题型一 测量距离问题 1．(2018·营口检测)江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上， 由炮台顶部测得俯角分别为 45°和 60°，而且两条船与炮台底部连线成 30°角，则两条船相距 ____m. 答案 10 3 解析 如图， OM＝AOtan 45°＝30(m)， ON＝AOtan 30°＝ 3 3 ×30＝10 3(m)， 在△MON 中，由余弦定理得 MN＝ 900＋300－2×30×10 3× 3 2 ＝ 300＝10 3 (m)． 2.如图，A，B 两点在河的同侧，且 A，B 两点均不可到达，要测出 A，B 的距离，测量者可 以在河岸边选定两点 C，D，若测得 CD＝ 3 2 km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°， ∠ACB＝45°，则 A，B 两点间的距离为________ km. 答案 6 4 解析 ∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°， ∴∠DAC＝60°， ∴AC＝DC＝ 3 2 km. 在△BCD 中，∠DBC＝45°， 由正弦定理，得 BC＝ DC sin∠DBC ·sin∠BDC＝ 3 2 sin 45° ·sin 30°＝ 6 4 (km)． 在△ABC 中，由余弦定理， 得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°＝3 4 ＋3 8 －2× 3 2 × 6 4 × 2 2 ＝3 8. ∴AB＝ 6 4 km. ∴A，B 两点间的距离为 6 4 km. 3．如图，为了测量两座山峰上 P，Q 两点之间的距离，选择山坡上一段长度为 300 3 m 且 和 P，Q 两点在同一平面内的路段 AB 的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则 P，Q 两点间的距离为________ m. 答案 900 解析 由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°. 又∠PBA＝∠PBQ＝60°， ∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ. 又 PB 为公共边，∴△PAB≌△PQB， ∴PQ＝PA. 在 Rt△PAB 中，AP＝AB·tan 60°＝900，故 PQ＝900， ∴P，Q 两点间的距离为 900 m. 思维升华 求距离问题的两个策略 (1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解； 若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 题型二 测量高度问题 例 1 (2018·赤峰测试)如图，小明同学在山顶 A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直 线匀速行驶，小明在 A 处测得公路上 B，C 两点的俯角分别为 30°，45°，且∠BAC＝135°， 若山高 AD＝100 m，汽车从 B 点到 C 点历时 14 s，则这辆汽车的速度约为________ m/s.(精 确到 0.1，参考数据： 2≈1.414， 5≈2.236) 答案 22.6 解析 因为小明在 A 处测得公路上 B，C 两点的俯角分别为 30°，45°，所以∠BAD＝60°， ∠CAD＝45°，设这辆汽车的速度为 v m/s，则 BC＝14v，在 Rt△ADB 中，AB＝ AD cos∠BAD ＝ AD cos 60° ＝200.在 Rt△ADC 中，AC＝ AD cos∠CAD ＝ 100 cos 45° ＝100 2.在△ABC 中，由余弦定理， 得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，所以(14v)2＝(100 2)2＋2002－2×100 2×200×cos 135°， 所以 v＝50 10 7 ≈22.6，所以这辆汽车的速度约为 22.6 m/s. 思维升华 (1)高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似 的，基本思想是把要求的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中． (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一 个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． 跟踪训练 1 如图所示，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为α，在塔底 C 处测得 A 处的俯角为β.已知铁塔 BC 部分的高为 h，则山高 CD＝____________. 答案 hcos αsin β sinα－β 解析 由已知得∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β. 在△ABC 中，由正弦定理得 AC sin∠ABC ＝ BC sin∠BAC ， 即 AC sin90°－α ＝ BC sinα－β ， ∴AC＝ BCcos α sinα－β ＝ hcos α sinα－β. 在 Rt△ACD 中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin β＝hcos αsin β sinα－β . 故山高 CD 为hcos αsin β sinα－β . 题型三 角度问题 例 2 如图所示，一艘巡逻船由南向北行驶，在 A 处测得山顶 P 在北偏东 15°(∠BAC＝15°) 的方向，匀速向北航行 20 分钟后到达 B 处，测得山顶 P 位于北偏东 60°的方向，此时测得 山顶 P 的仰角为 60°，已知山高为 2 3 千米． (1)船的航行速度是每小时多少千米？ (2)若该船继续航行 10 分钟到达 D 处，问此时山顶位于 D 处南偏东多少度的方向？ 解 (1)在△BCP 中，由 tan∠PBC＝PC BC ，得 BC＝ PC tan∠PBC ＝2， 在△ABC 中，由正弦定理得 BC sin∠BAC ＝ AB sin∠BCA ，即 2 sin 15° ＝ AB sin 45° ， 所以 AB＝2( 3＋1)， 故船的航行速度是每小时 6( 3＋1)千米． (2)在△BCD 中，BD＝ 3＋1，BC＝2，∠CBD＝60°，则由余弦定理得 CD＝ 6， 在△BCD 中，由正弦定理得 CD sin∠DBC ＝ BC sin∠CDB ， 即 6 sin 60° ＝ 2 sin∠CDB ，所以 sin∠CDB＝ 2 2 ， 所以，山顶位于 D 处南偏东 45°的方向． 思维升华 解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角和方向角的含义． (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步． (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用． 跟踪训练 2 如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40°的方向上，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60°的方向上，则灯塔 A 在灯塔 B 的 ______的方向上． 答案 北偏西 10° 解析 由已知得∠ACB＝180°－40°－60°＝80°， 又 AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°， ∴灯塔 A 位于灯塔 B 的北偏西 10°的方向上． 1．(2018·沈阳调研)已知 A，B 两地间的距离为 10 km，B，C 两地间的距离为 20 km，现测 得∠ABC＝120°，则 A，C 两地间的距离为( ) A．10 km B．10 3 km C．10 5 km D．10 7 km 答案 D 解析 如图所示，由余弦定理可得 AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，∴AC＝ 10 7. 2.如图所示，在坡度一定的山坡 A 处测得山顶上一建筑物 CD 的顶端 C 对于山坡的斜度为 15°，向山顶前进 100 m 到达 B 处，又测得 C 对于山坡的斜度为 45°，若 CD＝50 m，山坡对 于地平面的坡度为θ，则 cos θ等于( ) A. 3 2 B. 2 2 C. 3－1 D. 2－1 答案 C 解析 在△ABC 中，由正弦定理得 AB sin 30° ＝ AC sin 135° ， ∴AC＝100 2. 在△ADC 中， AC sinθ＋90° ＝ CD sin 15° ， ∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝AC·sin 15° CD ＝ 3－1. 3．一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行，30 分钟后 到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70°，在 B 处观察 灯塔，其方向是北偏东 65°，那么 B，C 两点间的距离是( ) A．10 2 海里 B．10 3 海里 C．20 3 海里 D．20 2 海里 答案 A 解析 如图所示，易知， 在△ABC 中，AB＝20， ∠CAB＝30°，∠ACB＝45°， 根据正弦定理得 BC sin 30° ＝ AB sin 45° ， 解得 BC＝10 2. 4.如图，两座相距 60 m 的建筑物 AB，CD 的高度分别为 20 m，50 m，BD 为水平面，则从 建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为( ) A．30° B．45° C．60° D．75° 答案 B 解析 依题意可得 AD＝20 10，AC＝30 5， 又 CD＝50，所以在△ACD 中， 由余弦定理得 cos∠CAD＝AC2＋AD2－CD2 2AC·AD ＝30 52＋20 102－502 2×30 5×20 10 ＝ 6 000 6 000 2 ＝ 2 2 ， 又 0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°， 所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45°. 5．(2018·呼和浩特质检)如图所示，测量河对岸的塔高 AB 时可以选与塔底 B 在同一水平面 内的两个测点 C 与 D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点 C 测得塔顶 A 的 仰角为 60°，则塔高 AB 等于( ) A．5 6 B．15 3 C．5 2 D．15 6 答案 D 解析 在△BCD 中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理得 BC sin 30° ＝ CD sin 135° ，所以 BC＝15 2. 在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan∠ACB＝15 2× 3＝15 6. 故选 D. 6．(2018·丹东模拟)如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 75°，30°， 此时气球的高是 60 m，则河流的宽度 BC 等于( ) A．240( 3＋1)m B．180( 2－1)m C．120( 3－1)m D．30( 3＋1)m 答案 C 解析 如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60 m， 在 Rt△ACD 中， CD＝ AD tan∠ACD ＝ 60 tan 30° ＝60 3(m)， 在 Rt△ABD 中，BD＝ AD tan∠ABD ＝ 60 tan 75° ＝ 60 2＋ 3 ＝60(2－ 3)m， ∴BC＝CD－BD＝60 3－60(2－ 3)＝120( 3－1)m. 7．(2018·乌海模拟)如图，某工程中要将一长为 100 m，倾斜角为 75°的斜坡改造成倾斜角为 30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长________m. 答案 100 2 解析 设坡底需加长 x m， 由正弦定理得 100 sin 30° ＝ x sin 45° ，解得 x＝100 2. 8.如图所示，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险， 在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西 30°、相距 20 海里的 C 处的乙船， 现乙船朝北偏东θ的方向沿直线 CB 前往 B 处救援，则 cos θ的值为________． 答案 21 14 解析 在△ABC 中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°， 由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800， 得 BC＝20 7. 由正弦定理，得 AB sin∠ACB ＝ BC sin∠BAC ， 即 sin∠ACB＝AB BC·sin∠BAC＝ 21 7 . 由∠BAC＝120°，知∠ACB 为锐角， 则 cos∠ACB＝2 7 7 . 由θ＝∠ACB＋30°，得 cos θ＝cos(∠ACB＋30°) ＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝ 21 14 . 9．(2018·阜新模拟)一船向正北航行，看见正西方向相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条 直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 60°，另一灯塔在船的南偏西 75°， 则这艘船的速度是每小时________海里． 答案 10 解析 如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°， 所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而 CD＝CA＝10， 在 Rt△ABC 中，得 AB＝5， 于是这艘船的速度是 5 0.5 ＝10(海里/时)． 10．(2018·盘锦质检)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120°的扇形 AOB，C 是该小区 的一个出入口，且小区里有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 分钟，从 D 沿 DC 走到 C 用了 3 分钟．若此人步行的速度为每分钟 50 米，则该扇形的半径 为______米． 答案 50 7 解析 如图，连接 OC，在△OCD 中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得 OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500，解得 OC＝50 7. 11.如图，在山底 A 点处测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为 30°的斜坡走 1 000 米至 S 点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高 BC 为______米． 答案 1 000 解析 由题图知∠BAS＝45°－30°＝15°，∠ABS＝45°－(90°－∠DSB)＝30°， ∴∠ASB＝135°， 在△ABS 中，由正弦定理可得 1 000 sin 30° ＝ AB sin 135° ， ∴AB＝1 000 2，∴BC＝AB 2 ＝1 000. 12.如图，渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60°方向的 B 处，且与岛屿 A 相距 12 海里，渔船乙以 10 海里/时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东α的方 向追赶渔船乙，刚好用 2 小时追上． (1)求渔船甲的速度； (2)求 sin α的值． 解 (1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α. 在△ABC 中，由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784， 解得 BC＝28. 所以渔船甲的速度为BC 2 ＝14(海里/时)． (2)在△ABC 中，因为 AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得 AB sin α ＝ BC sin 120° ， 即 sin α＝ABsin 120° BC ＝ 12× 3 2 28 ＝3 3 14 . 13.如图，在水平地面上有两座直立的相距 60 m 的铁塔 AA1 和 BB1.已知从塔 AA1 的底部看塔 BB1 顶部的仰角是从塔 BB1 的底部看塔 AA1 顶部的仰角的 2 倍，从两塔底部连线中点 C 分别 看两塔顶部的仰角互为余角，则从塔 BB1 的底部看塔 AA1 顶部的仰角的正切值为________； 塔 BB1 的高为________ m. 答案 1 3 45 解析 设从塔 BB1 的底部看塔 AA1 顶部的仰角为α， 则 AA1＝60tan α，BB1＝60tan 2α. ∵从两塔底部连线中点 C 分别看两塔顶部的仰角互为余角， ∴△A1AC∽△CBB1，∴AA1 30 ＝ 30 BB1 ， ∴AA1·BB1＝900，∴3 600tan αtan 2α＝900， ∴tan α＝1 3 ，tan 2α＝3 4 ，则 BB1＝60tan 2α＝45. 14.如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东 45°方向 600 km 处的热带风暴中心正以 20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心 450 km 以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热 带风暴影响的时间为________h. 答案 15 解析 记现在热带风暴中心的位置为点 A，t 小时后热带风暴中心到达 B 点位置，在△OAB 中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°，根据余弦定理得 OB2＝6002＋400t2－2×600×20t× 2 2 ， 令 OB2≤4502，即 4t2－120 2t＋1 575≤0，解得30 2－15 2 ≤t≤30 2＋15 2 ，所以该码头将受 到热带风暴影响的时间为30 2＋15 2 －30 2－15 2 ＝15(h)． 15.某舰艇在 A 处测得一艘遇险渔船在其北偏东 40°的方向距离 A 处 10 海里的 C 处，此时得 知，该渔船正沿南偏东 80°的方向以每小时 9 海里的速度向一小岛靠近，若舰艇的时速为 21 海里，则舰艇追上渔船的最短时间是______小时. 答案 2 3 解析 如图所示，设舰艇追上渔船的最短时间是 t 小时，经过 t 小时渔船到达 B 处，则舰 艇也在此时到达 B 处.在△ABC 中，∠ACB＝40°＋80°＝120°，CA＝10，CB＝9t，AB＝21t， 由余弦定理得(21t)2＝102＋(9t)2－2×10×9t×cos 120°，即 36t2－9t－10＝0，解得 t＝2 3 或 t＝－ 5 12(舍). 16.如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径．一种是从 A 沿直线步行到 C，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C，现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后，乙从 A 乘缆车到 B， 在 B 处停留 1 min 后，再匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min，山路 AC 长为 1 260 m，经测量得 cos A＝12 13 ，sin B＝63 65. (1)问乙出发多少 min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (2)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 解 (1)∵cos A＝12 13 ，sin B＝63 65 ， ∴sin A＝ 5 13 ，cos B＝－16 65 ， ∴sin C＝sin(A＋B)＝4 5 ， 在△ABC 中，由正弦定理 AC sin B ＝ AB sin C ， 得 AB＝1 040 m， 设乙出发 t min 后，甲、乙距离为 d， 由余弦定理得 d2＝(130t)2＋(100＋50t)2－2×130t×(100＋50t)×12 13 ， 即 d2＝200(37t2－70t＋50)＝200 37 t－35 37 2＋625 37 . ∵0≤t≤1 040 130 ，即 0≤t≤8，∴当 t＝35 37 时， 即乙出发35 37 min 后，乙在缆车上与甲的距离最短． (2)∵sin A＝ 5 13 ， ∴由正弦定理，得 BC sin A ＝ AC sin B ，即BC 5 13 ＝1 260 63 65 ， ∴BC＝500 m. 乙从 B 出发时，甲已经走了 50(2＋8＋1)＝550(m)，还需走 710 m 才能到达 C. 设乙的步行速度为 v m/min，则|500 v －710 50 |≤3， 故－3≤500 v －710 50 ≤3，解得1 250 43 ≤v≤625 14 . 故为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min，乙步行的速度应控制在 1 250 43 ，625 14 范 围内.