【数学】2019届一轮复习人教A版常用逻辑用语学案 24页

专题2 常用逻辑用语 本专题要特别小心：‎ ‎1.命题与开语句混淆陷阱；‎ ‎2.否命题与命题的否定陷阱；‎ ‎3.隐含条件陷阱；‎ ‎4.互逆命题陷阱；‎ ‎5.分类讨论陷阱；‎ ‎6．充分性必要性混淆陷阱；‎ ‎7.新定义问题；‎ ‎8.全称与特称否定陷阱.‎ ‎【学习目标】‎ ‎1．理解命题的概念及命题构成，了解“若p，则q”形式命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；‎ ‎2．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义；‎ ‎3．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；‎ ‎4．理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．‎ ‎【知识要点】‎ 判断真假的陈述句 ‎ ‎1．命题 假命题 ‎ 真命题 ‎ 用语言、符号或式子表达的，可以__逆命题 ‎ ____________________叫做命题，其中判断为真的语句叫做_________，判断为假的语句叫做___________．‎ ‎2．四种命题及其关系 逆命题 ‎ 结论 ‎ 互逆命题 ‎ 条件 ‎ ‎(1)在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的________是第二个命题的________，那么这两个命题叫做____________；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的________．‎ 条件 ‎ 结论 ‎ ‎(2)同时否定原命题的________和________，所得的命题是原命题的否命题．‎ 注意：“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念．如果原命题是“若p，则q”，那么这个原命题的否定是“若p，则非q”，即只否定结论，而原命题的否命题是“若非p，则非q”，即既否定命题的条件，又否定结论．‎ 逆否命题 ‎ ‎(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得到的命题是原命题的____________．‎ 若q，则p ‎ ‎(4)一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p，q的否定，于是四种命题形式是：原命题：若p，则q；逆命题：____________；‎ 否命题：________________；逆否命题：________________．‎ ‎(5)四种命题之间的关系 注意：(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．‎ ‎(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性不一定相同．‎ p⇒q ‎ ‎3．充分条件与必要条件 p⇔q ‎ ‎(1)若__‎“或”、“且”、“非” ‎ ______，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．‎ ‎(2)若________，则p是q的充分必要条件，即充要条件．‎ ‎4．逻辑联结词 命题中的或，且，非‎“或”、“且”、“非” ‎ 叫逻辑联结词．‎ ‎(1)当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中至少有一个是假命题时，p∧q是假命题．‎ ‎(2)当p，q两个命题中至少有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题．‎ ‎5．全称量词、存在量词 全称量词 ‎ ‎(1)全称量词 ‎∀x∈M，p(x) ‎ 全称命题 ‎ ‎∀ ‎ 短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做________________，并用符号________表示．含有全称量词的命题，叫做________________，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”，简记作____________________．‎ 存在量词 ‎ ‎(2)存在量词 ‎∃x0∈M，p(x0) ‎ 特称命题 ‎ ‎∃ ‎ 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做____________，并用符号________表示．含有存在量词的命题，叫做____________，特称命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”，简记作________________．‎ ‎(3)两种命题的关系 全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．‎ 注意：同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活地选择.‎ 命题 全称命题“∀x∈A，p(x)”‎ 特称命题“∃x0∈A，p(x0)”‎ 表述方法 ‎①对所有的x∈A，‎ p(x)成立；‎ ‎②对一切x∈A，‎ p(x)成立；‎ ‎③对每一个x∈A，‎ ‎①存在x∈A，‎ 使p(x)成立；‎ ‎②至少有一个x∈A，‎ 使p(x)成立；‎ ‎③对有些x∈A，‎ p(x)成立；‎ ‎④任取一个x∈A，‎ p(x)成立；‎ ‎⑤凡x∈A，都有p(x)成立.‎ 使p(x)成立；‎ p(x)成立；‎ ‎④对某个x∈A，‎ p(x)成立；‎ ‎⑤有一个x∈A，‎ 使p(x)成立.‎ 一、单选题 ‎1．【上海市2018二模】“”是“”成立的 ( )．‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】若，可能，充分性不成立，‎ 若且，则，必要性成立，‎ 综上可得：“”是“且”成立的必要非充分条件.‎ 本题选择B选项.‎ ‎2．【2018衡水金卷】设随机变量，则使得成立的一个必要不充分条件为（ ）‎ A. 或 B. C. D. 或 ‎【答案】A ‎3．【金华十校2018年4月高考模拟】“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】若，当时，有，必要性不成立，‎ 若时，则，充分性成立，‎ 故“”是“”的充分而不必要条件.‎ 本题选择A选项.‎ ‎4．【荆州市2018模拟】 “”是“直线与直线相互垂直”的（　　）条件 A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分也非必要 ‎【答案】B ‎5．【2018天一联考】“”是“方程表示双曲线”的（ ）‎ A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】表示双曲线，则有；当 或 时方程无意义，故“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件.故选C.‎ ‎6．【2018豫南联考】下列说法正确的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的否命题是“若，则”‎ B. 命题“，”的否定是“，”‎ C. 函数的最小值为 D. 若，则“”是“”的必要不充分条件 ‎【答案】D ‎【解析】对于选项A，命题“若，则”的否命题是“若，则”，所以选项A错误.‎ 对于选项B，命题“，”的否定是“，”，所以选项B错误.‎ 对于选项C，不能利用基本不等式求最小值，因为取等的条件不成立. 只能这样：设所以函数在上是增函数，所以t=3时函数取最小值所以选项C错误.‎ 对于选项D,由得a>1或a<0，由于a>1或a<0是“”的必要不充分条件，所以 ‎“”是“”的必要不充分条件，所以选项D正确.‎ 故选D.‎ ‎7．【2018豫南联考】已知，则是为纯虚数的（ ）‎ A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】C ‎8．设且，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】当时， ，所以；当时， ，所以，所以是必要不充分条件，故选B.‎ ‎9．【2018兰州市2018届高三一诊】设：实数，满足 ；：实数，满足，则是的（ ）‎ A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要的条件 ‎【 】2018年高考数学备考中等生百日捷进提升系列（捷进提升篇）专题07 不等式 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 画出表示的区域，如图所示的， 表示的区域是，为等腰直角三角形，表示的区域是以为圆心，以为半径的圆，而其内切球半径为，圆心，满足 的点在内切圆内，是的必要不充分条件，故选B．‎ ‎10．若命题：“存在，使成立”为假命题，则实数的取值范围为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎11．【衡水金卷调研卷】已知， ，则点在直线的右下方是双曲线的离心率的取值范围为的 A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】当点在直线的右下方时，则，所以双曲线的离心率；反过来，当双曲线的离心率的取值范围为时，由知，所以点在直线的右下方，故点在直线的右下方是双曲线的离心率的取值范围为的充要条件。选A.学 = ‎ ‎12．【荆州2018模拟】设等比数列的公比为，前项和为，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎13．【2018郑州二模】命题“”的否定为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】全称性命题的否定是特称性命题，所以选C.‎ ‎14．已知下列命题中：（1）若，且，则或；（2）若，则或；（3）若不平行的两个非零向量， ，满足，则；（4）若与 平行，则其中真命题的个数是（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】（1）若 ∈R，且，则 =0或，正确；‎ ‎（2）若,则或错误．因为对于两个非零向量，如果⊥＜=＞，所以结论不一定成立；‎ ‎15．若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】若命题“，使得”为假命题，‎ 则命题“，使得”为真命题， :学 XX ]‎ 所以，解得.‎ 故选A.‎ ‎16．【沈阳市东北育才学校2018模拟】命题“”是命题“直线与直线平行”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】当两直线平行时， ，当m=2时，两直线均为x+y=0，不符。当m=-2时，两直线分别为x-y-4=0,x-y-2=0不重合，符合。所以m=-2是两直线平行的充要条件，选C.‎ ‎17．下列命题中，真命题的是 A. “,”的否定是“,”‎ B. 已知，则“”是“”的充分不必要条件 C. 已知平面满足，则 D. 若，则事件与是对立事件 ‎【答案】B ‎18．唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。”其中后一句中“成仙”是“到蓬莱”的（ ）‎ A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】因为：不到蓬莱→不成仙，∴成仙→到蓬莱，“成仙”是“到蓬莱”的充分条件，选A.‎ 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ ‎19．在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）；（2）；（3），相应的在向量运算中，下列式子：（1）；（2）；（3），正确的个数是（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为；,,‎ 所以① 正确，②③错误，选B ‎20．‎ 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的(　　)‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】的体积相等， 在同高处的截面积相等，由于A、B体积相等，A、B在同高处的截面积不恒相等，譬如一个为柱体另一个为椎体，所以条件不充分；反之成立，条件是必要的，因此是的必要不充分条件.选B.‎ ‎21．给定两个命题，“为假”是“为真”的    ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎22．设有下面四个命题：‎ ‎①“若，则与的夹角为锐角”及它的逆命题均为真命题 ‎②若,则 ‎③“”是“或”的充分不必要条件 ‎④命题“中，若，则”的逆命题为真命题 其中正确命题的个数是( )学 = ‎ A. 3 B. 2 C. 1 D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】①“若，则与的夹角为锐角,” 向量同向时不是锐角，故原命题为假，逆命题均为真，故①错误；命题②若,则，‎ ‎，故②错误；③原命题等价于“且”是“”的充分不必要条件，故③正确；④命题中，若 ，故 ④正确，故选B.‎ ‎23．已知等差数列的前项和为，“， 是方程的两根”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】∵， 是方程的两根 ‎∴，∴+‎ ‎∴‎ ‎∴充分性具备；‎ 反之，不一定成立.‎ ‎∴“， 是方程的两根”是“”的充分不必要条件 故选：A ‎24．给出下面四个命题：①；②；③； ‎ ‎④。其中正确的个数为（ ）‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】B ‎25．下列说法中正确的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与不是共线向量 ‎【答案】C ‎26．已知， ，则“”是“直线与 平行”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 ‎【答案】B ‎【解析】， ，则“”化为 ‎，即 直线与平行”可推出：‎ ‎， ‎ ‎， ，则“”是“直线与 平行”的必要不充分条件 故选 ‎27．命题函数且图像恒过点命题有两个零点，则下列结论中成立的是 A. 为真 B. 为真 C. 为假 D. 为真 ‎【答案】A ‎【解析】函数图像恒过点 所以命题不正确；根据偶函数可知命题正确，所以根据复合命题的判断方法可知正确，故选A.‎ ‎28．设，则“”是“ ”为偶函数的 （ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】如果为偶函数，则，‎ 所以,所以“”是“ ”为偶函数的充要条件.故选C. ‎ ‎29．已知四个命题：‎ ‎①如果向量与共线，则或；‎ ‎②是的必要不充分条件；‎ ‎③命题： ， 的否定： ， ；‎ ‎④“指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数”‎ 此三段论大前提错误，但推理形式是正确的.‎ 以上命题正确的个数为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】①错，如果向量与共线，则 ；‎ ‎②是的必要不充分条件；正确，由可以得到，但由不能得到 ‎，如 ；‎ ‎③命题： ， 的否定： ， ‎ ‎；‎ 正确 ‎④“指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数”‎ 此三段论大前提错误，但推理形式是正确的.，正确.‎ 故选D.‎ ‎30．下列命题中为真命题的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的逆命题 B. 命题“若，则”的否命题 C. 命题“若，则”的逆否命题 D. 命题“若，则”的逆命题 ‎【答案】D ‎【解析】命题“若，则”的逆命题为“若，则”，由于 ，所以为假命题；‎ 命题“若，则”的否命题为“若，则”，由于，所以为假命题；‎ 命题“若，则”的逆否命题与原命题同真假，因为，所以为假命题；‎ 命题“若，则”的逆命题为“若，则”，因为，所以为真命题；选D.‎ ‎31．是“函数的最小正周期为”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎32．设是由一平面内的个向量组成的集合．若，且的模不小于中除外的所有向量和的模．则称是的极大向量.有下列命题：‎ ‎①若中每个向量的方向都相同，则中必存在一个极大向量；‎ ‎②给定平面内两个不共线向量，在该平面内总存在唯一的平面向量，使得中的每个元素都是极大向量；‎ ‎③若中的每个元素都是极大向量，且中无公共元素，则中的每一个元素也都是极大向量．‎ 其中真命题的序号是_______________．‎ ‎【答案】②③‎ ‎33．已知命题， 恒成立，命题，使得，若命题为真命题，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当P为真命题时， 恒成立，所以， ，当Q为假命题时， 为真命题，即，所以，又命题为真命题，所以命题都为真命题，则 ，即。故实数的取值范围是。‎ ‎34．在中， ， ，则是以为斜边的直角三角形的充要条件是__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】因为角C为直角，所以 ‎ ‎35．下列命题：‎ ‎①若，则；[来 ‎ ‎②已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是；‎ ‎③已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的重心；‎ ‎④在中，，边长分别为，则只有一解；‎ ‎⑤如果△ABC内接于半径为的圆，且 则△ABC的面积的最大值；‎ 其中正确的序号为_______________________。‎ ‎【答案】①③⑤‎ ‎【解析】① 若,则 代入上式得到，故正确；‎ ‎②已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是且，故选项不正确；‎ ‎③已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，记BC中点为E，则，则2，AE直线过重心，故P一定过重心；‎ ‎④根据正弦定理得，asinC=csinA，∴sinC=，故不成立.‎ ‎∵2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，∴根据正弦定理，得a2﹣c2=（a﹣b）b=‎ ab﹣b2，‎ 可得a2+b2﹣c2=ab ‎∴cosC=，‎ ‎∵角C为三角形的内角，∴角C的大小为 ‎∵c=2Rsin=R ‎∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2a•bcosC，可得 ‎2R2=a2+b2﹣a•b≥2ab﹣ab=（2﹣）ab，当且仅当a=b时等号成立 ‎∴ab≤‎ ‎∴S△ABC=absinC≤• R2•=[ : xx ]‎ 即△ABC面积的最大值为；故⑤正确，‎ 故答案为：①③⑤‎ ‎36．若“”为真命题，则实数的最大值为________.‎ ‎【答案】0‎ ‎37．已知命题，使得成立；命题抛物线的焦点在直线的右侧.‎ ‎(Ⅰ)若命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎(Ⅱ)若命题“或”，为真命题，且“且”为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) 或 ‎【解析】试题分析：(Ⅰ) 命题为真不等式无解，则 即可求得的取值范围. (Ⅱ) 命题为真不等式有解，则 即可求得的取值范围；为真命题则焦距大于1即；依题意命题，一真一假，分情况讨论：当真假时；当假真时，综上可得出的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎(Ⅰ)∵命题，使得成立 ‎∴恒成立，‎ 要使命题为真命题，则需，解得.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知，若命题是真命题，则需或；‎ 若命题为真命题，则需.‎ ‎∵命题“或”为真，且“且”为假，‎ ‎∴命题，一真一假.‎ ‎①当真假时，则即；‎ ‎②当假真时，则，即；[ :学_ _ _X_X_ ]‎ ‎∴实数的取值范围是或.‎ ‎38．设命题关于的不等式，；命题关于的一元二次方程的一根大于零，另一根小于零；命题的解集.‎ ‎（1）若为值命题，为假命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或.（2）．‎ ‎（1）若为真命题，为假命题，‎ 则，一真一假， ‎ 当真假时， 解得；‎ 当假真时，解得，‎ 综上可知，实数的取值范围是或.‎ ‎（2）若是的必要不充分条件，则，所以，‎ 所以或或，‎ 所以解得．‎ 综上，实数的取值范围是．‎ ‎39．已知下列两个命题： 函数在[2，＋∞)单调递增； 关于的不等式的解集为.若为真命题， 为假命题，求的取值范围．‎ ‎【答案】{m|m≤1或2＜m＜3}．‎ ‎【解析】试题分析:先根据二次函数对称轴与定义区间位置关系确定P为真命题时的取值范围，根据二次函数图像确定一元二次不等式恒成立的条件，解得为真命题时的取值范围，再根据为真命题， 为假命题得P与Q一真一假，最后分类讨论真假性确定的取值范围．‎ ‎40．设命题实数使曲线表示一个圆；命题实数使曲线表示双曲线.若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据圆的性质先求出命题成立时的取值范围，根据双曲线的性质求出命题成立时，根据是的充分不必要条件列出不等式，解不等式即可.‎ ‎41．【2018新余模拟】已知命题： ，命题： .‎ ‎（1）若，求实数的值；‎ ‎（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)2;(2) 实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用一元二次不等式的解法把集合化简后，由，借助于数轴列方程组可解的值；（2）把是 的充分条件转化为集合和集合之间的包含关系，运用两集合端点值之间的关系列不等式组求解的取值范围.‎ 试题解析：（1）B={x|x2﹣4x+3≥0}={x|x≤1，或x≥3}，A={x|a﹣1＜x＜a+1}，‎ 由A∩B=∅，A∪B=R，得 ，得a=2，所以满足A∩B=∅，A∪B=R的实数a的值为2；‎ ‎（2）因p是q的充分条件，所以A⊆B，且A≠∅，所以结合数轴可知，‎ a+1≤1或a﹣1≥3，解得a≤0，或a≥4，‎ 所以p是q的充分条件的实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．‎ ‎37．【2018安徽师大模拟】设命題方程有两个不相等的负根，命题 恒成立.‎ ‎（1）若命题均为真命题，求的取值范围；‎ ‎（2）若命题为假，命题为真，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）首先分析命题：根据方程有两个不相等的负根，可根据判别式和根与系数的关系列式，命题 ，当均为真命题时，即求两个命题取值范围的交集；（2）若满足条件，根据真值表可知一真一假，分真假，或假真解得的取值范围.‎ ‎[ :学 ]‎ ‎（2）若命题为假，命题为真，则一真一假.‎ 当真假，则，解得；‎ 当假真，则，解得；‎ 所以的取值范围为.‎ 方法规律总结：‎ ‎1．逻辑中“或”、“且”、“非”的含义与集合中“并”、“交”、“补”的含义非常类似，在一定条件下可相互转化．‎ ‎2．判定复合命题真假的办法是：首先判定简单命题的真假，再判定复合命题的真假．‎ ‎3．否命题与命题的否定是两个不同的概念，要会区别，另外要掌握一些常见词的否定词．‎ ‎4．原命题⇔它的逆否命题，原命题的逆命题⇔原命题的否命题，因此，判定四种命题的真假时，只需5．因为“p⇒q”⇔“非q⇒非p”，意思为若“p⇒q”等价于没有q就没有p，所以p是q的充分条件等价于q是p的必要条件，他们是同一逻辑关系的不同表述．‎ ‎6．求充要条件与证充要条件一样，必须注意充分性与必要性两个方面，二者的差异是：证明时，条件结论都已知道，但求充要条件时，一般不知道条件，故必须先由结论出发，求出必要条件，再验证充分性．‎ ‎7．要判断一个全称命题的真假，必须对限定的集合M中的每一元素x，验证p(x)是否成立．要判断一个特称命题是真命题，只要能在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素不存在，那么这个特称命题是假命题．‎ ‎8．注意：一个全称命题的否定是特称命题，如命题“∀x∈M，p(x)成立”的否定“∃x0∈M，p(x0)不成立”；特称命题的否定是全称命题，如命题 ‎“∃x0∈M，p(x0)成立”的否定“∀x∈M，p(x)不成立”．‎