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- 2021-06-16 发布
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专题40空间点直线平面之间的位置关系
1.理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解有关的可以作为推理依据的公理和定理;
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.
1.平面的基本性质
(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.
(2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.
(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
(4)公理2的三个推论
推论1:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面.
推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面.
推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面.
2.空间中两直线的位置关系
(1)位置关系的分类
(2)异面直线所成的角
①定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
②范围:.
(3)平行公理和等角定理
①平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
②等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
3.空间直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况.
(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.
高频考点一 平面基本性质的应用
例1、如图所示,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是AB和AA1的中点.求证:
(1)E、C、D1、F四点共面;
(2)CE、D1F、DA三线共点.
【感悟提升】(1)证明线共面或点共面的常用方法
①直接法,证明直线平行或相交,从而证明线共面.
②纳入平面法,先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内.
③辅助平面法,先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.
(2)证明点共线问题的常用方法
①基本性质法,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上.
②纳入直线法,选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.
【变式探究】如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥AD且BC=AD,BE∥AF且BE=AF,G、H分别为FA、FD的中点.
(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;
(2)C、D、F、E四点是否共面?为什么?
高频考点二 判断空间两直线的位置关系
例2、(1)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( )
A.l与l1,l2都不相交
B.l与l1,l2都相交
C.l至多与l1,l2中的一条相交
D.l至少与l1,l2中的一条相交
(2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列判断错误的是( )
A.MN与CC1垂直
B.MN与AC垂直
C.MN与BD平行
D.MN与A1B1平行
(3)在图中,G、N、M、H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号)
【答案】 (1)D (2)D (3)②④
(3)图①中,直线GH∥MN;
图②中,G、H、N三点共面,但M∉面GHN,
因此直线GH与MN异面;
图③中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面;
图④中,G、M、N共面,但H∉面GMN,
因此GH与MN异面.
所以图②④中GH与MN异面.
【感悟提升】 (1)异面直线的判定方法
①反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面.
②定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.
(2)点、线、面位置关系的判定,要注意几何模型的选取,常借助正方体为模型,以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.
【变式探究】(1)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列判断错误的是( )
A.MN与CC1垂直 B.MN与AC垂直
C.MN与BD平行 D.MN与A1B1平行
(2) a,b,c表示不同的直线,M表示平面,给出四个命题:①若a∥M,b∥M,则a∥b或a,b相交或a,b异面;②若b⊂M,a∥b,则a∥M;③若a⊥c,b⊥c,则a∥b;④若a⊥M,b⊥M,则a∥b.其中正确的为( )
A.①④ B.②③ C.③④ D.①②
【答案】 (1)D (2)A
【解析】 (1)如图,连接C1D,
在△C1DB中,MN∥BD,故C正确;
∵CC1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴CC1⊥BD,
∴MN⊥CC1,故A正确;
∵AC⊥BD,MN∥BD,∴MN⊥AC,故B正确;
∵A1B1与BD异面,MN∥BD,
∴MN与A1B1不可能平行,故选项D错误.
高频考点三 求两条异面直线所成的角
例3、(1)如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AC的中点,AA1∶AB=∶1,则异面直线AB1与BD所成的角为_______________________________________.
【答案】 60°
【解析】 取A1C1的中点E,连接B1E,ED,AE,
在Rt△AB1E中,∠AB1E即为所求,
设AB=1,则A1A=,AB1=,B1E=,
故∠AB1E=60°.
(2)空间四边形ABCD中,AB=CD且AB与CD所成的角为30°,E、F分别为BC、AD的中点,求EF与AB所成角的大小.
【感悟提升】(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法,平移方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.
(2)求异面直线所成角的三个步骤
①作:通过作平行线,得到相交直线的夹角.
②证:证明相交直线夹角为异面直线所成的角.
③求:解三角形,求出作出的角,如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角,如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.
【变式探究】如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
【答案】 D
【解析】 连接BC1,易证BC1∥AD1,
则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角.
连接A1C1,由AB=1,AA1=2,
则A1C1=,A1B=BC1=,
在△A1BC1中,由余弦定理得
cos∠A1BC1==.
11.【2016高考新课标1卷】平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,//平面CB1D1,平面ABCD=m,平面AB B1A1=n,则m、n所成角的正弦值为
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
选A.
2.【2016高考新课标1卷】(本小题满分为12分)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD, ,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是.
(I)证明:平面ABEF平面EFDC;
(II)求二面角E-BC-A的余弦值.
【答案】(I)见解析(II)
由已知,,所以平面.
又平面平面,故,.
由,可得平面,所以为二面角的平面角,
.从而可得.
所以,,,.
3.【2016高考新课标2理数】如图,菱形的对角线与交于点,,点分别在上,,交于点.将沿折到位置,.
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)求二面角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).
(Ⅱ)如图,以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系,则,,,,,,,.设是平面的法向量,则,即,所以可取.设是平面的法向量,则,即,所以可取.于是, .因此二面角的正弦值是.
1.【2015高考四川,理18】
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示,在正方体中,设的中点为,的中点为
(1)请将字母标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)
(2)证明:直线平面
(3)求二面角的余弦值.
【答案】(1)点F、G、H的位置如图所示.
(2)详见解析.(3)
【解析】(1)点F、G、H的位置如图所示.
(3)连结AC,过M作于P.
在正方形中,,
所以.
过P作于K,连结KM,
所以平面,
从而.
所以是二面角的平面角.
设,则,
在中,.
在中,.
所以.
即二面角的余弦值为.
(另外,也可利用空间坐标系求解)
2.【2015高考湖北,理19】《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马中,侧棱底面,且,过棱的中点,作交于点,连接
(Ⅰ)证明:.试判断四面体是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写
出结论);若不是,说明理由;
(Ⅱ)若面与面所成二面角的大小为,求的值.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).
(Ⅱ)如图1,在面内,延长与交于点,则是平面与平面
的交线.由(Ⅰ)知,,所以.
故是面与面所成二面角的平面角,
设,,有,
在Rt△PDB中, 由, 得,
则 , 解得.
所以
故当面与面所成二面角的大小为时,.
(解法2)
(Ⅰ)如图2,以为原点,射线分别为轴的正半轴,建立空间直角坐标系.
设,,则,,点是的中点,
所以,,
于是,即.
又已知,而,所以.
因, , 则, 所以.
由平面,平面,可知四面体的四个面都是直角三角形,
即四面体是一个鳖臑,其四个面的直角分别为.
(Ⅱ)由,所以是平面的一个法向量;
由(Ⅰ)知,,所以是平面的一个法向量.
若面与面所成二面角的大小为,
则,
解得. 所以
故当面与面所成二面角的大小为时,.
3.【2015高考广东,理18】如图2,三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直,,,.点是边的中点,点、分别在线段、上,且,.
(1)证明:;
(2)求二面角的正切值;
(3)求直线与直线所成角的余弦值.
图2
P
A
B
C
D
E
F
G
【答案】(1)见解析;(2);(3).
(2)解:由(1)知PE⊥平面ABCD,∴PE⊥AD,
又∵CD⊥AD且PE∩CD=E,
∴AD⊥平面PDC,
又∵PD⊂平面PDC,∴AD⊥PD,
又∵AD⊥CD,∴∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角,
在Rt△PDE中,由勾股定理可得:
PE===,
∴tan∠PDC==;
(3)如下图所示,连接,
1.(2014·辽宁卷)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n
C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α
D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α
【答案】B
【解析】由题可知,若m∥α,n∥α,则m与n平行、相交或异面,所以A错误;若m⊥α,n⊂α,则m⊥n,故B正确;若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,故C错误.若m∥α,m⊥n,则n∥α或n⊥α或n与a相交,故D错误.
2.(2014·福建卷)在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图15所示.
(1)求证:AB⊥CD;
(2)若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.
图15
3.(2014·新课标全国卷Ⅱ)直三棱柱ABCA1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
4.(2014·四川卷)三棱锥A BCD及其侧视图、俯视图如图14所示.设M,N分别为线段AD,AB的中点,P为线段BC上的点,且MN⊥NP.
(1)证明:P是线段BC的中点;
(2)求二面角A NP M的余弦值.
图14
【解析】解:(1)如图所示,取BD的中点O,连接AO,CO.
由侧视图及俯视图知,△ABD,△BCD为正三角形,
所以AO⊥BD,OC⊥BD.
因为AO,OC⊂平面AOC,且AO∩OC=O,
所以BD⊥平面AOC.
又因为AC⊂平面AOC,所以BD⊥AC.
取BO的中点H,连接NH,PH.
又M,N,H分别为线段AD,AB,BO的中点,所以MN∥BD,NH∥AO,
因为AO⊥BD,所以NH⊥BD.
因为MN⊥NP,所以NP⊥BD.
因为NH,NP⊂平面NHP,且NH∩NP=N,所以BD⊥平面NHP.
又因为HP⊂平面NHP,所以BD⊥HP.
又OC⊥BD,HP⊂平面BCD,OC⊂平面BCD,所以HP∥OC.
因为H为BO的中点,所以P为BC的中点.
因为在平面ABC内,NQ⊥AC,BR⊥AC,
所以NQ∥BR.
又因为N为AB的中点,所以Q为AR的中点,
所以NQ==.
同理,可得MQ=.
故△MNQ为等腰三角形,
所以在等腰△MNQ中,
cos∠MNQ===.
故二面角A NP M的余弦值是.
所以M,N,P,于是AB=(1,0,-),BC=(-1,,0),MN=(1,0,0),NP=.
设平面ABC的一个法向量n1=(x1,y1,z1),
设二面角A NP M的大小为θ,则cos θ===.
故二面角ANPM的余弦值是.
1.在下列命题中,不是公理的是( )
A.平行于同一个平面的两个平面相互平行
B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面
C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内
D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
【答案】 A
【解析】 选项A是面面平行的性质定理,是由公理推证出来的,而公理是不需要证明的.
2.已知直线a和平面α,β,α∩β=l,a⊄α,a⊄β,且a在α,β内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是( )
A.相交或平行 B.相交或异面
C.平行或异面 D.相交、平行或异面
【答案】 D
【解析】 依题意,直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面,选D.
3.给出下列说法:①梯形的四个顶点共面;②三条平行直线共面;③有三个公共点的两个平面重合;④三条直线两两相交,可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是( )
A.① B.①④ C.②③ D.③④
【答案】 B
4. a,b,c是两两不同的三条直线,下面四个命题中,真命题是( )
A.若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面
B.若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交
C.若a∥b,则a,b与c所成的角相等
D.若a⊥b,b⊥c,则a∥c
【答案】 C
【解析】 若直线a,b异面,b,c异面,则a,c相交、平行或异面;若a,b相交,b,c相交,则a,c相交、平行或异面;若a⊥b,b⊥c,则a,c相交、平行或异面;由异面直线所成的角的定义知C正确.故选C.
5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,CC1的中点,那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 连接DF,则AE∥DF,
∴∠D1FD为异面直线AE与D1F所成的角.
设正方体棱长为a,
则D1D=a,DF=a,D1F=a,
∴cos∠D1FD==.
6.如图所示,平面α,β,γ两两相交,a,b,c为三条交线,且a∥b,则a与c,b与c的位置关系是________.
【答案】 a∥b∥c
【解析】 ∵a∥b,a⊂α,b⊄α,∴b∥α.
又∵b⊂β,α∩β=c,∴b∥c.∴a∥b∥c.
7.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.
【答案】 4
【解析】 EF与正方体左、右两侧面均平行.所以与EF相交的侧面有4个.
8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线有________条.
【答案】 无数
9.如图,空间四边形ABCD中,E、F、G分别在AB、BC、CD上,且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD
=3∶1,过E、F、G的平面交AD于点H.
(1)求AH∶HD;
(2)求证:EH、FG、BD三线共点.
【解析】(1)解 ∵==2,∴EF∥AC,
∴EF∥平面ACD,而EF⊂平面EFGH,
平面EFGH∩平面ACD=GH,
∴EF∥GH,∴AC∥GH.
∴==3.∴AH∶HD=3∶1.
(2)证明 ∵EF∥GH,且=,=,
∴EF≠GH,∴四边形EFGH为梯形.
令EH∩FG=P,则P∈EH,而EH⊂平面ABD,
又P∈FG,FG⊂平面BCD,
平面ABD∩平面BCD=BD,
∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点.
10.以下四个命题中,
①不共面的四点中,其中任意三点不共线;
②若点A、B、C、D共面,点A、B、C、E共面,则点A、B、C、D、E共面;
③若直线a、b共面,直线a、c共面,则直线b、c共面;
④依次首尾相接的四条线段必共面.
正确命题的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
【答案】 B
【解析】 ①中显然是正确的;②中若A、B、C三点共线,则A、B、C、D、E五点不一定共面;③构造长方体或正方体,如图显然b、c异面,故不正确;④中空间四边形中四条线段不共面,故只有①正确.
11.如图,矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点,则在△ADE翻折过程中,下面四个命题中不正确的是( )
A.|BM|是定值
B.点M在某个球面上运动
C.存在某个位置,使DE⊥A1C
D.存在某个位置,使MB∥平面A1DE
【答案】 C
12.如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中心,H为直线B1D与平面ACD1的交点.求证:D1、H、O三点共线.
证明 连接BD,B1D1,如图.
则BD∩AC=O,
∵BB1綊DD1,
∴四边形BB1D1D为平行四边形,又H∈B1D,
B1D⊂平面BB1D1D,
则H∈平面BB1D1D,
∵平面ACD1∩平面BB1D1D=OD1,∴H∈OD1.
即D1、H、O三点共线.
13.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点.问:
(1)AM和CN是否是异面直线?说明理由;
(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.
(2)直线D1B和CC1是异面直线.
理由:因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,所以B,C,C1,D1不共面.假设D1B与CC1不是异面直线,
则存在平面α,使D1B⊂平面α,CC1⊂平面α,
所以D1,B,C,C1∈α,
这与B,C,C1,D1不共面矛盾.所以假设不成立,
即D1B和CC1是异面直线.
14. 如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中点.已知∠BAC=,AB=2,AC=2,PA=2.求:
(1)三棱锥P-ABC的体积;
(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.